數學分析課件一般項級數ppt

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1、3 一般項級數 三、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法 由于非正項級數(一般項級數)的收斂性問題要比正項級數復雜得多,所以本節只對某些特殊類型級數的收斂性問題進行討論.一、交錯級數 二、絕對收斂級數及其性質一、交錯級數11234(1)(1)nnuuuuu(0,1,2,),nun若級數的各項符號正負相間若級數的各項符號正負相間,即即則稱為則稱為交錯級數交錯級數.定理定理12.11(萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法)若交錯級數若交錯級數(1)滿足滿足:(i);nu數列單調遞減數列單調遞減(ii)lim0,nnu則級數則級數(1)收斂收斂.證證 考察交錯級數考察交錯級數(1)的部分和數列的部分和數列Sn,它的

2、奇數項它的奇數項和偶數項分別為和偶數項分別為211232221()(),mmmSuuuuu21234212()()().mmmSuuuuuu由條件由條件(i),上述兩式中各個括號內的數都是非負的上述兩式中各個括號內的數都是非負的,212.mmSS從從而而數數列列是是遞遞減減的的,而而數數列列是是遞遞增增的的(ii)又又由由條條件件知知道道從而從而 S2m,S2m-1 是一個區間套是一個區間套.由區間套定理由區間套定理,存存 212200(),mmmSSum 212limlim.mmmmSSS,(1).nS所所以以數數列列收收斂斂 即即級級數數收收斂斂推論推論 若級數若級數(1)滿足萊布尼茨判別

3、法的條件滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂則收斂 級數級數(1)的余項估計式為的余項估計式為1.nnRu對于下列交錯級數對于下列交錯級數,應用萊布尼茨判別法應用萊布尼茨判別法,容易容易檢驗檢驗 它們都是收斂的它們都是收斂的:在惟一的實數在惟一的實數 S,使得使得 111111(1);(3)3!5!7!(21)!nn12341234(1).(4)1010101010nnn 11111(1);(2)231nn 12(5)nuuu12(6)nuuu收斂收斂,則稱原級數則稱原級數(5)為為絕對收斂級數絕對收斂級數.各項絕對值組成的級數各項絕對值組成的級數定理定理12.12 絕對收斂的級數是收斂的絕對收斂

4、的級數是收斂的.證證 由于級數由于級數(6)收斂收斂,根據級數的柯西收斂準則根據級數的柯西收斂準則,對對 二、絕對收斂級數及其性質若級數若級數 ,NnN 于于任任意意正正數數,總總存存在在正正數數使使得得對對和和任任意意正正由于由于 12mmm ruuu因此由柯西準則知級數因此由柯西準則知級數(5)也收斂也收斂.12mmm ruuu 對于級數對于級數(5)是否絕對收斂是否絕對收斂,可引用正項級數的各種可引用正項級數的各種 判別法對級數判別法對級數(6)進行考察進行考察.整整數數 r,有有12mmm ruuu 2.!2!nnnn 1limlim0,1nnnnuun 的各項絕對值所組成的級數是的各

5、項絕對值所組成的級數是因此因此,所考察的級數對任何實數所考察的級數對任何實數 都絕對收斂都絕對收斂.例例1 級數級數 21!2!nnnnn,應應用用比比式式判判別別法法,對對于于任任意意實實數數都都有有例如級數例如級數(2)是條件收斂是條件收斂,而級數而級數(3)、(4)則是絕對收則是絕對收 斂斂.全體收斂的級數可分為絕對收斂級數與條件收斂級全體收斂的級數可分為絕對收斂級數與條件收斂級 數兩大類數兩大類.下面討論絕對收斂級數的兩個重要性質下面討論絕對收斂級數的兩個重要性質.1.級數的重排級數的重排 我們把正整數列我們把正整數列1,2,n,到它自身的一一映射到它自身的一一映射 若級數若級數(5)

6、收斂收斂,但級數但級數(6)不收斂不收斂,則稱級數則稱級數(5)為為條條 件收斂件收斂.原數列的重排原數列的重排.相應地稱級數相應地稱級數 ()1k nnu為級數為級數(5)的重的重 ()()1.,nk nk nnvuu排為敘述上的方便 記即把級數寫排為敘述上的方便 記即把級數寫12,(7)nvvv作作 定理定理12.13 設級數設級數(5)絕對收斂絕對收斂,且其和等于且其和等于S,則任則任 意重排后所得到的級數意重排后所得到的級數(7)絕對收斂且和也為絕對收斂且和也為S.:()fnk n稱為正整數列的重排稱為正整數列的重排,相應地對于數列相應地對于數列 ()():nnk nk nuF uuu

7、按映射所得到的數列稱為按映射所得到的數列稱為第一步第一步 設級數設級數(5)是正項級數是正項級數,用用Sn表示它的第表示它的第 n 個個 部分和部分和.用用12mmvvv 表示級數表示級數(7)的第的第m個部分和個部分和.因為級數因為級數(7)為級數為級數(5)(1)kvkmkiu的重排的重排,所以每一所以每一應等于某一應等于某一(1).km記記12max,mni ii*證證 只要對正項級數證明了定理的結論只要對正項級數證明了定理的結論,對絕對收對絕對收 斂級數就容易證明定理是成立的斂級數就容易證明定理是成立的.即級數即級數(7)收斂收斂,且其和且其和.S 由于級數由于級數(5)也可看作級數也

8、可看作級數(7)的重排的重排,所以也有所以也有 S S ,從而得到從而得到 .這就證明了對正項級數定這就證明了對正項級數定 理成立理成立.第二步第二步 證明證明(7)絕對收斂絕對收斂.設級數設級數(5)是一般項級數是一般項級數 且絕對收斂且絕對收斂,則由級數則由級數(6)收斂第一步結論收斂第一步結論,可得可得 nv收斂收斂,即級數即級數(7)是絕對收斂的是絕對收斂的.,.mnmnS 都都存存在在使使則對于任何則對于任何 lim,nmnSSmS 由由于于所所以以對對任任何何正正整整數數都都有有,.(8)22nnnnnnuuuupq0,0,0;nnnnupuq當當時時0,0,0.nnnnnupqu

9、u當當時時從從而而 0,0,(9)nnnnpuqu,.(10)nnnnnnpqupqu要把一般項級數要把一般項級數(5)分解成正項級數的和分解成正項級數的和.為此令為此令第三步第三步 證明絕對收斂級數證明絕對收斂級數(7)的和也等于的和也等于S.根據第根據第 一步的證明一步的證明,收斂的正項級數重排后和不變收斂的正項級數重排后和不變,所以先所以先.nnnSupq對于級數對于級數(5)重排后所得到的級數重排后所得到的級數(7),也可按也可按(8)式的式的 ,nnnvpq,nnnnpqpq顯顯然然分分別別是是正正項項級級數數的的重重排排,辦法辦法,把它表示為兩個收斂的正項級數之差把它表示為兩個收斂

10、的正項級數之差其和不變其和不變,從而有從而有.nnnnnvpqpqS,nnpq由級數由級數(5)絕對收斂絕對收斂,及及(9)式式,知知都是收都是收 斂的正項級數斂的正項級數.因此因此注注 定理定理12.13只對絕對收斂級數成立只對絕對收斂級數成立.條件收斂級條件收斂級 數重排后得到的新級數數重排后得到的新級數,不一定收斂不一定收斂,即使收斂即使收斂,也也 不一定收斂于原來的和不一定收斂于原來的和.更進一步更進一步,條件收斂級數條件收斂級數 適當重排后適當重排后,既可以得到發散級數既可以得到發散級數,也可以收斂于也可以收斂于 任何事先指定的數任何事先指定的數.例如級數例如級數(2)是條件收斂的是

11、條件收斂的,設設 其和為其和為A,即即111111111(1)1.2345678nAn1,2乘以常數后 有乘以常數后 有1111111(1).224682nAn1111131.325742A將上述兩個級數相加將上述兩個級數相加,得到的是得到的是(2)的重排的重排:我們也可以重排我們也可以重排(2)使其發散使其發散(可參考數學分析學習可參考數學分析學習 指導書下冊指導書下冊39頁頁).2.級數的乘積級數的乘積,nnauaunu由定理由定理12.2知道知道,若若為收斂級數為收斂級數,a為常數為常數,則則 由此可以立刻推廣到收斂級數由此可以立刻推廣到收斂級數 1nnu與有限項和的乘與有限項和的乘 積

12、積,即即12111(),mmnknnnkaaaua u那么無窮級數之間的乘積是否也有上述性質那么無窮級數之間的乘積是否也有上述性質?12,(11)nnuuuuA12.(12)nnvvvvB將級數將級數(11)與與(12)中每一項所有可能的乘積列成下中每一項所有可能的乘積列成下 設有收斂級數設有收斂級數表表:1 1121312 1222323 132333123(13)nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vijuv這些乘積這些乘積可以按各種方法排成不同的級數可以按各種方法排成不同的級數,常常 用的有按正方形順序或按對角線順

13、序用的有按正方形順序或按對角線順序.1 11213121222323132333123nnnnnnnnu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu v正正方方形形順順序序111213212223313233u vu vu vu vu vu vu vu vu v對對 角角 線線 順順 序序1 11 22 11 3223 1.(15)u vu vu vu vu vu v定理定理12.14 (柯西定理柯西定理)若級數若級數(11)、(12)都絕對收斂都絕對收斂,依次相加依次相加,于是分別有于是分別有和和ijuvnw則對則對(13)中中按任意順序排列所得

14、到的級數按任意順序排列所得到的級數也絕對收斂也絕對收斂,且其和等于且其和等于AB.*證證,nnSw以以表表示示級級數數的的部部分分和和 即即2333323 1(14)u vu vu vu v1 112222 113u vu vu vu vu v12,nnSwww(1,2,),kkkijwu vkn其其中中記記1122max,nnmij ij ij12,mmAuuu12,mmBvvv.(16)nmmSA B則必有則必有nv與與nnAB和和的部分和數列的部分和數列都是有界的都是有界的.由定理條件由定理條件,級數級數(11)與與(12)都絕對收斂都絕對收斂,因而因而 nunSnw于是由不等式于是由不

15、等式(16)知知 是有界的是有界的,從而級數從而級數 nw.SAB 絕對收斂絕對收斂.下面證明下面證明的和的和由于絕對收斂級數具有可重排的性質由于絕對收斂級數具有可重排的性質,即級數的和即級數的和 與采用哪一種排列的次序無關與采用哪一種排列的次序無關,為此為此,采用正方形采用正方形 123,(17)npppp順序并對各被加項取括號順序并對各被加項取括號,即即 將每一括號作為一項將每一括號作為一項,得到新級數得到新級數1 112222 1()u vu vu vu v132333323 1(),u vu vu vu vu vnw它它與與級級數數nP同收斂同收斂,且和相同且和相同.用用表示表示(17

16、)的的 .nnnPA Blimlimlimlim.nnnnnnnnnSPA BABABnP與與nnAB與與部分和部分和,則則有關系式有關系式:從而從而211,11nrrrrr例例2 等比級數等比級數2()nr是絕對收斂的是絕對收斂的.將將按按(15)的順序排列的順序排列,則得則得 到到 2222111()()(),(1)nnnrrrrrrrr 2123(1).nrrnr注注 級數乘積在冪級數級數乘積在冪級數(第十四章第十四章)中有重要應用中有重要應用.三、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法下面介紹兩個判別一般項級數收斂性的方法下面介紹兩個判別一般項級數收斂性的方法.引理引理 (分部求和公式分部求和公

17、式,也稱阿貝爾變換也稱阿貝爾變換),(1,2,),ijv in 設兩組實數 若令設兩組實數 若令12(1,2,),kkvvvkn 121232111()()().(18)niinnnnniv 則有如下分部求和公式成立則有如下分部求和公式成立:證證111,(2,3,)kkkvvkn以以 分別乘以分別乘以 (1,2,),kkn 整理后就得到所要證的公式整理后就得到所要證的公式(18).12(i),max;nkk 是是單單調調數數組組,記記(ii)(1),kkknA 對對任任一一正正整整數數有有則則有有13.(19)nkkkvA12231,nn 推論推論(阿貝爾引理阿貝爾引理)若若證證 由由(i)知

18、知都是同號的都是同號的.于是由分部求和公式及條件于是由分部求和公式及條件(ii)推得推得121232111()()()nkknnnnnkv 12231()()()nnnAA1nnAA1(2)nA3.A 1 122(20)nnnna ba ba ba b現在討論形如現在討論形如級數的收斂性的判別法級數的收斂性的判別法.定理定理12.15 (阿貝爾判別法阿貝爾判別法)若若na為單調有界數列為單調有界數列,且級數且級數nb收斂收斂,則級數則級數(20)收斂收斂.na0,nMaM使使證證 由于數列由于數列單調有界單調有界,故存在故存在(阿貝爾引理條件阿貝爾引理條件(i).又由于級數又由于級數nb收斂收

19、斂,依柯西依柯西 準則準則,對任給正數對任給正數,存在正數存在正數N,使當使當 n N 時時,對對 任任一正整數一正整數 p,都有都有.n pkk nb(阿貝爾引理條件阿貝爾引理條件(ii).應用應用(19)式得到式得到 3.n pkkk na bM 這就說明級數這就說明級數(20)收斂收斂.定理定理12.16 (狄利克雷判別法狄利克雷判別法)若數列若數列an單調遞減單調遞減,lim0,nnanb且且 又級數又級數的部分和數列有界的部分和數列有界,則級則級 數數(20)收斂收斂.nb1nnnkVb 證證 由于由于部分和數列部分和數列有界有界,故存在正故存在正 數數M,使使|,nVM 因此當因此

20、當 n,p為任何正整數時為任何正整數時,12|2.nnn pn pnbbbVVMnalim0,nna0,又由于數列又由于數列單調遞減單調遞減,且且 對對,|.(19)nNnNa 當當時時 有有于于是是根根據據式式得得到到111|2(|2|)nnn pn pnn pababMaa 6.M 有了阿貝爾判別法就知道有了阿貝爾判別法就知道:若級數若級數nu收斂收斂,則則(0),1nnpuupnn級級數數都都收收斂斂.例例3 3 若數列若數列an具有性質具有性質:12,lim0,nnnaaaasincos(0,2)nnanxanxx 則則級級數數和和對對任任何何都收斂都收斂.1132sincossins

21、insin22222nkxxxkxx11sinsin22nxnx解解 因為因為1sin,2nx(0,2),sin0,2xx 當時故得到當時故得到11sin12cos.(21)22sin2nknxkxxcosnx(0,2)x 所以級數所以級數的部分和數列當的部分和數列當時有時有 cos.nanx界界,由由狄狄利利克克雷雷判判別別法法得得級級數數收收斂斂 同同sin.nanx理理可可證證級級數數也也是是收收斂斂的的sincosnxnxnn和和(0,2).x 對對一一切切都都收收斂斂作為例作為例3 的特殊情形的特殊情形,得到級數得到級數例例4 級數級數21sin(1)nnnn收斂但不絕對收斂收斂但不

22、絕對收斂.解解 由于由于21sin(1)nnnn的絕對值級數的絕對值級數211sin11cos2,2nnnnnnn111cos2,(3),nnnnn其其中中發發散散收收斂斂 根根據據例例 結結論論故故21sinnnn發發散散.21sin(1cos2),2nn又又因因得得211sin11cos2(1)(1)2nnnnnnnnn，11(1),nnn由于級數收斂 而由于級數收斂 而11cos2cos(2)(1),nnnnnnn 21sin3(1).nnnn根根據據例例 也也收收斂斂,因因此此級級數數收收斂斂21sin(1)nnnn所以級數所以級數 為條件收斂為條件收斂.復習思考題nu nv 1.假設級數假設級數絕對收斂絕對收斂,級數級數條件收斂條件收斂,問問 級數級數()nnuv 是絕對收斂還是條件收斂是絕對收斂還是條件收斂?lim0,2,nnnnnuuvlv對對于于一一般般項項級級數數與與從從.能能?nnuv 否否得得出出與與同同斂斂散散3.總結一般項級數條件收斂或絕對收斂的判別步總結一般項級數條件收斂或絕對收斂的判別步 驟驟.