(精品)用待定系數法求三角函數最值

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1、用待定系數法求三角函數最值武增明用均值不等式求三角函數最值時，“各數相等”及“和（或積）為定值”是兩個需要刻意湊出的條件，從何處入手，怎樣拆項，如何湊出定值且使等號成立，又能使解答過程簡捷明快，這確實既“活”又“巧”，對此問題，現利用待定系數法探析。例1. 設x（0，），求函數的最小值。分析：拿到此題，很容易想到下面的解法。因為sinx0，所以。故ymin=2。顯然，這種解法是錯誤的！錯誤的原因是沒有考慮“=”號成立的條件。由得sinx=2，這樣的x不存在，故為錯解。事實上，此題是可以用均值不等式來解答的，但需要拆項，如何拆，既能使其積為定值，又能使“=”號成立，這確實是一個難點，筆者認為，待

2、定系數法就能很好地解決這個問題，為此，先引入一個待定系數（02，使。由均值不等式及正弦函數的有界性，得。當且僅當且sinx=1，即=時，上式等號成立。將=代入，得ymin=。另解：y=。令sinx=t(0t1，易證在（0，1上單調遞減，所以。例2. 當x(0，)時，求函數的最小值。分析：因為x(0，)，所以sinx0，cosx0，引入大于零的待定系數k，則函數可變形為+kcos2xk3+k=12，等號成立當且僅當，時成立。由sin2x+cos2x=1,。得，即k2=64，又k0，所以k=8。故函數y的最小值為，此時x=。例3. 設x(0，)，求函數y=sinx+的最小值。分析：因為x(0，)，所以sinx0，y=sinx+可變形為。由均值不等式得。但，故上式不能取等號。下面引入待定系數k進行配湊解之。解：因為x(0，)，所以sinx0。因為故，等號當且僅當且sinx=1，即k=時等號同時成立。從而，故函數y=sinx+的最小值為2。例4. 求函數y=sin2xcos2x+的最小值。分析：易得，由均值不等式得。但，故上式不能取等號。于是引入待定正實數，且+=4，則有=。當且僅當且sin22x=1時等號同時成立，此時，所以當sin22x=1時，y有最小值為。第3頁（共3頁）-