蒙特卡洛方法在高分子材料中的應用ppt課件

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1、我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物第六章第六章 高分子科學中的高分子科學中的Monte Carlo 方法方法 Monte Carlo方法方法一個十分獨特的名字一個十分獨特的名字Monte-Carlo,MonacoMonte Carlo原為地中海沿岸原為地中海沿岸Monaco的一個城市的地名，氣候溫和，景色的一個城市的地名，氣候溫和，景色怡人，人口不到一萬，是世界聞名的怡人，人口不到一萬，是世界聞名的大賭場。將大賭場。將Monte Carlo作為一種計作為一種計算方法的命名固然已經賦予了新的內算

2、方法的命名固然已經賦予了新的內容。然而，顧名思義，容。然而，顧名思義，Monte Carlo方法的隨機抽樣特征在它的命名上得方法的隨機抽樣特征在它的命名上得到了反映。到了反映。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物MC方法的發展歸功于核武器早期工作期間方法的發展歸功于核武器早期工作期間Los Alamos（美國國家實驗室中子散射研究中心）的一（美國國家實驗室中子散射研究中心）的一批科學家。批科學家。von Neumann,Metropolis,Ulam和和Kahn等人在電子計算機上對中子行為進行隨

3、機抽樣模擬，等人在電子計算機上對中子行為進行隨機抽樣模擬，通過對大量中子行為的觀察推斷出所要求算的參數。通過對大量中子行為的觀察推斷出所要求算的參數。Los Alamos小組的基礎工作刺激了一次巨大的學科小組的基礎工作刺激了一次巨大的學科文化的迸發，并鼓勵了文化的迸發，并鼓勵了MC在各種問題中的應用。在各種問題中的應用。學術界一般將學術界一般將Metropolis和和Ulam在在1949年發表的論年發表的論文作為文作為Monte Carlo方法誕生的標志。方法誕生的標志。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有

4、一個活的生物6.1 Monte Carlo方法的基本思想方法的基本思想Monte Carlo方法方法在數學上稱其為隨機模擬在數學上稱其為隨機模擬(random simulation)方法、隨機抽樣方法、隨機抽樣(random sampling)技術或統計技術或統計試驗試驗(statistical testing)方法方法它的最基本思想是：為了求它的最基本思想是：為了求解數學、物理及化學等問題，建立一個概率模型或隨機過解數學、物理及化學等問題，建立一個概率模型或隨機過程，使它的參數等于問題的解；當所解的問題本身屬隨機程，使它的參數等于問題的解；當所解的問題本身屬隨機性問題時，則可采用直接模擬法，

5、即根據實際物理情況的性問題時，則可采用直接模擬法，即根據實際物理情況的概率法則來構造概率法則來構造Monte Carlo模型；然后通過對模型或過程模型；然后通過對模型或過程的觀察抽樣試驗來計算所求參數的統計特征，最后給出所的觀察抽樣試驗來計算所求參數的統計特征，最后給出所求解的近似值。在高分子科學中的求解的近似值。在高分子科學中的Monte Carlo模擬主要采模擬主要采用直接模擬方法。用直接模擬方法。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte Carlo方法的突出特點是，它的解是由試驗方法

6、的突出特點是，它的解是由試驗得到的，而不是計算出來的。其程序結構簡單，解得到的，而不是計算出來的。其程序結構簡單，解題時受問題條件限制的影響較小，具有廣泛的適應題時受問題條件限制的影響較小，具有廣泛的適應性。但性。但不能解決精確度要求很高的問題不能解決精確度要求很高的問題。蒙特卡洛方法需要大量的隨機數，計算量很大，人蒙特卡洛方法需要大量的隨機數，計算量很大，人工計算需耗費大量的時間，利用計算機可大大減少工計算需耗費大量的時間，利用計算機可大大減少計算時間，增加試驗次數以提高計算精度，因此，計算時間，增加試驗次數以提高計算精度，因此，蒙特卡洛方法的廣泛應用與計算機技術的發展是不蒙特卡洛方法的廣泛

7、應用與計算機技術的發展是不可分割的?？煞指畹?。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物設所要求的量設所要求的量x是隨機變量是隨機變量的數學期望的數學期望E()，那么用那么用Monte Carlo方法來近似確定方法來近似確定x的方法是對的方法是對進行進行N次重復抽次重復抽樣，產生相互獨立的樣，產生相互獨立的值的序列值的序列l，2，N，并計算其，并計算其算術平均值：算術平均值：根據根據Kolmogorov的大數定理則有：的大數定理則有：11NNiiN(lim)1NNPx即當即當N充分大時，充分大時，成立

8、的概率等于成立的概率等于1，亦，亦即可以用即可以用 作為所求量作為所求量x的估算值。的估算值。()NExN我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物例例6-1 用統計試驗方法求圓周率用統計試驗方法求圓周率考慮邊長為考慮邊長為1的正方形，以其一角為圓心和邊長為半的正方形，以其一角為圓心和邊長為半徑，在正方形內畫一條徑，在正方形內畫一條14圓弧，如圖所示。圓弧，如圖所示。在正方形內等概率地產生在正方形內等概率地產生n個隨機個隨機點點(xi，yi)，i=l，2，3，n，設設n個隨機點中有個隨機點中有k個點落

9、在四分之一個點落在四分之一圓弧內，顯然，當圓弧內，顯然，當n 時有以下時有以下關系成立：關系成立：因而，圓周率因而，圓周率的估值為：的估值為：22/44krnr四分之一圓面積正方形面積4kn我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物判斷隨機點判斷隨機點(xi，yi)是否位于圓內的判別式為：是否位于圓內的判別式為：221iixy用一對用一對(0，1)隨機數隨機數Ul，U2分別模擬隨機變量的取值分別模擬隨機變量的取值xi和和yi，當當 時，則計數器時，則計數器k值增值增1。這個判別式就是蒙特這個判別式就是

10、蒙特卡洛方法的概率模型卡洛方法的概率模型。當試驗次數。當試驗次數n足夠大時，所得的估值足夠大時，所得的估值的精度也隨之提高。的精度也隨之提高。22121UU我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物例例6-2.蒲豐氏問題蒲豐氏問題Comte de Buffon(1707-1788)French Needle experiment,1777 我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Buffon投針問題投針問題

11、：平面上畫很多平行線，間距為：平面上畫很多平行線，間距為a。向此平面投。向此平面投擲長為擲長為l（la）的針）的針,求此針與任一平行線相交的概率求此針與任一平行線相交的概率p。alP2可以證明可以證明 求出求出值值)(22nNalaPl其中其中為投計次數，為投計次數，n為針與平行線相交次數。這就是古典概為針與平行線相交次數。這就是古典概率論中著名的率論中著名的蒲豐氏問題蒲豐氏問題。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物 一些人進行了實驗，其結果列于下表一些人進行了實驗，其結果列于下表：我嚇了一跳，

12、蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物6.2 Monte Carlo方法與高分子科學方法與高分子科學Monte Carlo模擬與高分子科學結下了不解之緣是由于高分模擬與高分子科學結下了不解之緣是由于高分子科學本身的特點所決定的，因為在高分子科學中存在著子科學本身的特點所決定的，因為在高分子科學中存在著大量可供大量可供進行進行Monte Carlo直接模擬的隨機性問題直接模擬的隨機性問題。如：由于聚合反應本身的隨機性特點，高分子系綜內各個如：由于聚合反應本身的隨機性特點，高分子系綜內各個成員之間存在著與其生成機

13、理密切相關的特定分布，即體成員之間存在著與其生成機理密切相關的特定分布，即體系中所生成的高分子鏈并非具有相同的分子量，而是存在系中所生成的高分子鏈并非具有相同的分子量，而是存在著所謂的分子量分布問題；在多元聚合中，多元共聚物不著所謂的分子量分布問題；在多元聚合中，多元共聚物不僅具有分子量分布，而且導致了不同種單元在高分子鏈上僅具有分子量分布，而且導致了不同種單元在高分子鏈上的排列問題，即所謂的序列分布；在多官能團的聚合反應的排列問題，即所謂的序列分布；在多官能團的聚合反應中的支化和凝膠化問題；高分子鏈的熱降解和輻射降解等中的支化和凝膠化問題；高分子鏈的熱降解和輻射降解等等，無一不是隨機性問題。

14、等，無一不是隨機性問題。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte Carlo方法在現代高分子科學中方法在現代高分子科學中的應用主要具有以下特征的應用主要具有以下特征:由于高分子凝聚態物理的發展，高分子體系的由于高分子凝聚態物理的發展，高分子體系的Monte Carlo研究從對單鏈的研究轉向對高濃度多鏈體系的研究。研究從對單鏈的研究轉向對高濃度多鏈體系的研究。由靜態平衡態問題向動態和非平衡態問題發展也是當前高由靜態平衡態問題向動態和非平衡態問題發展也是當前高分子分子Monte Carlo模擬

15、的重要特征。高分子鏈的分子運動模擬的重要特征。高分子鏈的分子運動學，尤其是高濃度多鏈體系的分子運動問題是當前研究的學，尤其是高濃度多鏈體系的分子運動問題是當前研究的重要方面。重要方面。人們對共混和嵌段共聚物的界面、高分子和液晶的界面、人們對共混和嵌段共聚物的界面、高分子和液晶的界面、高分子鏈的吸附、晶態和非晶態的界面性質和相互擴散問高分子鏈的吸附、晶態和非晶態的界面性質和相互擴散問題開展了題開展了Monte Carlo模擬研究。模擬研究。高分子高分子Monte Carlo方法的新算法也是值得研究的。方法的新算法也是值得研究的。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的

16、世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物6.3 隨機數與偽隨機數隨機數與偽隨機數產生均勻分布隨機數的方法可以采用物理方法和數學方法。產生均勻分布隨機數的方法可以采用物理方法和數學方法。最簡單的產生隨機數的物理方法是擲骰子游戲；采用電學噪最簡單的產生隨機數的物理方法是擲骰子游戲；采用電學噪聲的變化也可產生隨機數。但物理方法產生隨機數的聲的變化也可產生隨機數。但物理方法產生隨機數的“費用費用”很高，且速度慢。因此，實際應用的隨機數一般均在計算機很高，且速度慢。因此，實際應用的隨機數一般均在計算機上上采用數學方法來產生采用數學方法來產生。用數學方法產生的隨機數一般均采用某

17、種確定性的表達式來用數學方法產生的隨機數一般均采用某種確定性的表達式來實現，因此其并非真正的隨機，故通常稱其為實現，因此其并非真正的隨機，故通常稱其為“偽隨機數偽隨機數”。用數學方法產生偽隨機數的優點是因為它借助于迭代公式，用數學方法產生偽隨機數的優點是因為它借助于迭代公式，所以特別適合于計算機。而且其產生的速度快、費用低。目所以特別適合于計算機。而且其產生的速度快、費用低。目前，多數的計算機均附帶有前，多數的計算機均附帶有“隨機數發生器隨機數發生器”。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物用數學

18、迭代方法產生的隨機數存在用數學迭代方法產生的隨機數存在兩個問題兩個問題：1、遞推公式和初始值、遞推公式和初始值a1、a2、ak確定后，整個隨機數確定后，整個隨機數序列便被唯一確定下來。即任意一個隨機數被前面的隨機序列便被唯一確定下來。即任意一個隨機數被前面的隨機數唯一確定了，不滿足隨機數相互獨立的要求。數唯一確定了，不滿足隨機數相互獨立的要求。2、既然隨機數序列是用遞推公式確定的，而在計算機上所既然隨機數序列是用遞推公式確定的，而在計算機上所能表示的能表示的0，1上的數又是有限多的，因此這樣的隨機數上的數又是有限多的，因此這樣的隨機數序列就不可能不出現重復地無限繼續下去。序列就不可能不出現重復

19、地無限繼續下去。這種隨機數序這種隨機數序列出現周期性的循環現象是與隨機數的要求相矛盾的列出現周期性的循環現象是與隨機數的要求相矛盾的。對第一個問題不能從本質上改變，但只要遞推公式選得好隨機數對第一個問題不能從本質上改變，但只要遞推公式選得好隨機數的相互獨立性是可近似滿足；第二個問題，則不是本質的，因為的相互獨立性是可近似滿足；第二個問題，則不是本質的，因為用用Monte Carlo方法解任何問題時，所用隨機數個數總是有限的，方法解任何問題時，所用隨機數個數總是有限的，只要保證不超過偽隨機數序列出現循環現象的長度即可。只要保證不超過偽隨機數序列出現循環現象的長度即可。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和

20、恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物用數學迭代方法產生隨機數均存在周期現象，隨用數學迭代方法產生隨機數均存在周期現象，隨著迭代過程的不同，其效果也各不相同。一般滿著迭代過程的不同，其效果也各不相同。一般滿足下列要求的產生方法才可被認為是好的：足下列要求的產生方法才可被認為是好的：(1)隨機性和統計獨立性要好；隨機性和統計獨立性要好；(2)容易在計算機上實現；容易在計算機上實現；(3)省時，存貯量??；省時，存貯量??；(4)偽隨機數的周期長。偽隨機數的周期長。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的

21、世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物乘同余法乘同余法乘同余法由乘同余法由Lehmer首先提出。由于采用乘同余法具有首先提出。由于采用乘同余法具有在計算機上容易實現、快速等優點，因此乘同余法已被在計算機上容易實現、快速等優點，因此乘同余法已被廣泛采用。乘同余法的迭代公式為，廣泛采用。乘同余法的迭代公式為，1(mod)nnxxM作為作為0，1區間上均勻分布的偽隨機數序列。（給出初始值區間上均勻分布的偽隨機數序列。（給出初始值x0及參數及參數、M）當周期很大時，可用當周期很大時，可用 /nnrxM我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界

22、里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物一個簡單的例子一個簡單的例子1n6(mod11),/11 6,11nnnxxrxM（）0 1,x 1,6,3,7,9,10,5,8,4當時 得到序列:,1,6,3.,2.003,1,1,3,9.3,2,2,1,3,9,5,42,6,7,16.,.0 8.xx如果令 得到序列:如果令 得到序列：我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物上面的例子中，第一個隨機數生成器的周期長上面的例子中，第一個隨機數生成器的周期長度是度是 10，而后兩個的

23、周期長度只有它的一半。，而后兩個的周期長度只有它的一半。我們自然希望隨機數的周期越長越好，這樣得我們自然希望隨機數的周期越長越好，這樣得到的分布就更接近于真實的均勻分布。到的分布就更接近于真實的均勻分布。0 (Mx在給定的情況下，隨機數的周期與和初值種子)選擇有關。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物表：乘同余法的參數及周期表：乘同余法的參數及周期 我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte

24、Carlo方法的核心就是隨機數方法的核心就是隨機數的使用，因此計算機模擬結果的優劣的使用，因此計算機模擬結果的優劣將強烈地依賴于偽隨機數的質量。將強烈地依賴于偽隨機數的質量。偽隨機數的偽隨機數的均勻性均勻性 偽隨機數的偽隨機數的獨立性獨立性對于已經產生的隨機數質量的檢驗主要是：對于已經產生的隨機數質量的檢驗主要是：我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物偽隨機數的均勻性檢驗可用偽隨機數的均勻性檢驗可用xn的矩來判別的矩來判別，均勻均勻性好的隨機數序列在性好的隨機數序列在N時應滿足下列要求：時應滿足下

25、列要求：一階矩一階矩二階矩二階矩三階矩三階矩四階矩四階矩偽隨機數獨立性檢驗一般采用偽隨機數獨立性檢驗一般采用2檢驗。檢驗。10111lim2NiNixxdxN1220111lim3NiNixx dxN1330111lim4NiNixx dxN1440111lim5NiNixx dxN我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物隨機變量的抽樣：隨機變量的抽樣：前面討論了前面討論了0，1均勻分布的偽隨機數的產生，然均勻分布的偽隨機數的產生，然而在實際應用中概率分布的形式是多種多樣的。而在實際應用中概率分布的

26、形式是多種多樣的。liilnlppp1)()0(),2,1(,0并滿足：并滿足：niip11產生產生0，1隨機數隨機數r，如果條件如果條件滿足，則認為事件滿足，則認為事件Ai發生。發生。)()1(llprp一、從隨機事件中抽樣：一、從隨機事件中抽樣：假設隨機事件的出現概率分別為假設隨機事件的出現概率分別為Pi(i1，2，n)。為了對隨機事件。為了對隨機事件Ai進行抽樣，首先需構造進行抽樣，首先需構造累積概率：累積概率：我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物例例6-3.擲骰子點數的抽樣擲骰子點數的抽

27、樣擲骰子點數擲骰子點數X=n的概率為：的概率為：選取隨機數選取隨機數，如，如 則則在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：其中其中 表示取整數。表示取整數。61)(nXP661nnnXF16FX我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物二、連續型分布的抽樣：二、連續型分布的抽樣：連續型分布的一般形式如下：連續型分布的一般形式如下：這里這里f(t)為分布的為分布的概率密度函數概率密度函數。如果分布函數的反函數存在，則連續型分布的一般抽樣方法如果分布函數的反函數

28、存在，則連續型分布的一般抽樣方法是通過其反函數直接抽樣：是通過其反函數直接抽樣：這里這里r是是0，1均勻分布的隨機數，均勻分布的隨機數，F-1為為F(x)的反函數。的反函數。()()xF xf t dt1()Fr我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物在在a,b上均勻分布的分布函數為：上均勻分布的分布函數為：例例6-4.在在a,b上均勻分布的抽樣上均勻分布的抽樣0()1xaxaF xaxbbaxb我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的

29、猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物其抽樣方法為：其抽樣方法為：()aba r這里這里r是是0,1區間均勻分布的隨機數。區間均勻分布的隨機數。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte Carlo方法的估值精度方法的估值精度與試驗次數與試驗次數N的平方根成反比，若精度提高的平方根成反比，若精度提高10倍，則倍，則試驗次數試驗次數N要增加要增加100倍。倍。收斂速度慢是蒙收斂速度慢是蒙特卡洛方法的主要缺點特卡洛方法的主要缺點。蒙特卡洛方法的精度估算有蒙特卡洛方法的精度估算有概率性質概率性質，它，它

30、并不斷言精度一定好于并不斷言精度一定好于，而只是表明，而只是表明，所算精度以接近于所算精度以接近于1的概率不超過某一界的概率不超過某一界限，這是蒙特卡洛方法與其它確定性誤差限，這是蒙特卡洛方法與其它確定性誤差計算的根本區別之處。計算的根本區別之處。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物例例6-5：中子擴散問題：中子擴散問題原子核反應堆的壁是鉛制的，對中子起屏蔽作用。中子從反原子核反應堆的壁是鉛制的，對中子起屏蔽作用。中子從反應堆內側進入壁內與鉛原子發生碰撞。求出穿透鉛壁中子數應堆內側進入壁內與鉛原

31、子發生碰撞。求出穿透鉛壁中子數的百分比，被吸收入鉛壁中子數的百分比，以及重新返回反的百分比，被吸收入鉛壁中子數的百分比，以及重新返回反應堆中子數的百分比。應堆中子數的百分比。1入入口口鉛墻（長為鉛墻（長為3d）2d我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物解：設壁厚為常量解：設壁厚為常量3d，中子是垂直進入壁內的，中子是垂直進入壁內的，并設每個中子在壁內每次走過并設每個中子在壁內每次走過d（平均自由程）平均自由程）才與鉛原子碰撞，碰撞后以隨機的方向彈射，才與鉛原子碰撞，碰撞后以隨機的方向彈射，再走過再

32、走過d的距離，和第二個鉛原子碰撞，如此繼的距離，和第二個鉛原子碰撞，如此繼續下去。續下去。最后，有三種情況最后，有三種情況（1）中子穿透鉛壁；（中子穿透鉛壁；（2）被鉛壁吸收（假定經過被鉛壁吸收（假定經過8次碰撞后，沒有穿透或次碰撞后，沒有穿透或返回，則認為被吸收；（返回，則認為被吸收；（3）重新返回反應堆。）重新返回反應堆。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物現在研究對中子運動的模擬：現在研究對中子運動的模擬：假設一個中子在壁內處于與壁內側距離為假設一個中子在壁內處于與壁內側距離為x的位置上與

33、鉛的位置上與鉛原子碰撞，然后以原子碰撞，然后以角的方向彈射，那么角的方向彈射，那么是是0，2之間之間的均勻分布的隨機數。中子經過彈射后，與壁內側的距的均勻分布的隨機數。中子經過彈射后，與壁內側的距離離x變為：變為：x+d cos(2 y)若若（1）x 3d 則中子穿透則中子穿透鉛壁鉛壁 （2）x 0 則中子返回反應堆則中子返回反應堆 （3）0 x 3d 則繼續下一次碰撞，重復這個過程直則繼續下一次碰撞，重復這個過程直至中子脫離至中子脫離鉛壁或鉛壁或8次碰撞后被吸收為止。次碰撞后被吸收為止。對對5000個中子進行模擬的結果為：個中子進行模擬的結果為：穿透穿透 26.3%；吸收吸收 22%；返回；

34、返回 51.7%我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物6.4 Monte Carlo方法在聚合物研方法在聚合物研究中的應用示例究中的應用示例 聚乙烯分子結構的模擬聚乙烯分子結構的模擬 共聚物序列分布的共聚物序列分布的Monte Carlo算法算法 高分子無規行走高分子無規行走(random walks)鏈的模擬鏈的模擬 研究高濃度多鏈體系動力學的研究高濃度多鏈體系動力學的“空格擴空格擴散算法散算法”我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實

35、我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物聚乙烯分子結構的模擬聚乙烯分子結構的模擬 聚乙烯分子是由重復的聚乙烯分子是由重復的 (CH2)單體組成的長單體組成的長分子鏈，由于碳原子有分子鏈，由于碳原子有四個共價鍵，其空間構四個共價鍵，其空間構型如圖所示。型如圖所示。Flory根據統計力學理論，導出柔性分子鏈的非晶態根據統計力學理論，導出柔性分子鏈的非晶態結構取無規線團的構象，各高分子鏈之間可以相互結構取無規線團的構象，各高分子鏈之間可以相互貫通，它們可以纏結。該無規線團模型在貫通，它們可以纏結。該無規線團模型在70年代利年代利用中子小角散射技術得到了證實。用中子小角散射技術得到了證實。我嚇了一跳，蝎子

36、是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物聚乙烯分子的空間構型在平面上的投影，可以近似地看聚乙烯分子的空間構型在平面上的投影，可以近似地看成如圖所示的結構。模擬程序先定義八個方向，并給出成如圖所示的結構。模擬程序先定義八個方向，并給出每個方向對應的數值，如圖。當分子鏈段方向為每個方向對應的數值，如圖。當分子鏈段方向為3時，其時，其后面分子鏈的可能取向方向為后面分子鏈的可能取向方向為2、3或或4，它們在聚乙烯中，它們在聚乙烯中是等概率的。至于下面分子鏈向哪個方向運動，可由計是等概率的。至于下面分子鏈向哪個方向運動，可由

37、計算機產生的隨機數來決定。這樣就可模擬出聚乙烯的算機產生的隨機數來決定。這樣就可模擬出聚乙烯的無無規線團狀分子結構規線團狀分子結構。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物共聚物序列分布的共聚物序列分布的Monte Carlo算法算法共聚反應的共聚反應的Monte Carlo研究開展得較早，所涉研究開展得較早，所涉及的主要問題是組成和序列分布問題，其主要及的主要問題是組成和序列分布問題，其主要目的是通過共聚產物的序列分布來獲得單體的目的是通過共聚產物的序列分布來獲得單體的活性比和鑒別不同的反應機理。

38、共聚反應的活性比和鑒別不同的反應機理。共聚反應的Monte Carlo算法比較簡單，因此我們只是簡要算法比較簡單，因此我們只是簡要地介紹其基本算法。地介紹其基本算法。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物具有末端效應兩元共聚反應：具有末端效應兩元共聚反應：末端效應是指只有端點上的單體單元對聚合反應的速末端效應是指只有端點上的單體單元對聚合反應的速率常數有影響。對于兩元共聚反應的四種增長反應可率常數有影響。對于兩元共聚反應的四種增長反應可記為：記為：12211122*122*211*111*222M

39、MMMMMMMMMMMkkkk 由此還可定義活性比，由此還可定義活性比，1111222221/,/rkkrkk我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物假定，各速率常數與鏈長無關，而且引發和終止過程可忽假定，各速率常數與鏈長無關，而且引發和終止過程可忽略略(一般當高分子的鏈長很長時均可認為引發和終止過程一般當高分子的鏈長很長時均可認為引發和終止過程的影響可忽略的影響可忽略)，則由，則由M1*到到M1*的轉變概率為：的轉變概率為：這里這里M1表示投料濃度，而由表示投料濃度，而由M1*轉變為轉變為M2*的

40、轉變概的轉變概率為：率為：相應地有：相應地有：*1111111*11111212121 M M M M M M M/M krpkkr211211121M/M 1M/M ppr 222212M/M rpr122122212M/M 1M/M ppr 我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte Carlo模擬程序可由如下步驟構成模擬程序可由如下步驟構成:(1)設增長鏈的第一個單元為設增長鏈的第一個單元為Mi(i1，2)，根據根據M1、M2、M1*、M2*的濃度可計算活性比的濃度可計算活性比r1，r

41、2和和轉變概率轉變概率pij；(2)產生一個單位區間內均勻分布的隨機數產生一個單位區間內均勻分布的隨機數。(3)因因pi1+pi2l，故若故若 pi1則在增長鏈上加上一個則在增長鏈上加上一個Ml單體，并認為其生成了單體，并認為其生成了M1*。若認為單體。若認為單體Ml和和M2的的濃度在增長過程中一直保持恒定，則轉回步驟濃度在增長過程中一直保持恒定，則轉回步驟(2)繼續繼續進行模擬。但若認為單體濃度是可變的，則由于進行模擬。但若認為單體濃度是可變的，則由于Mi單單體消耗了一個分子故必須重新計算濃度體消耗了一個分子故必須重新計算濃度Mi(il，2)，然后再回到步驟然后再回到步驟(1)繼續進行模擬。

42、繼續進行模擬。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物(4)若上式不滿足，即若上式不滿足，即pi1，則表明發生則表明發生M1*到到M2*的增長反應。因此，在增長鏈上加上一個的增長反應。因此，在增長鏈上加上一個M2單體，并認單體，并認為增長鏈的端基己轉變為為增長鏈的端基己轉變為M2*。對于恒定濃度的情況，。對于恒定濃度的情況，轉回步驟轉回步驟(2)，而對于非恒定濃度的情況，則計算變化后，而對于非恒定濃度的情況，則計算變化后的濃度再轉回步驟的濃度再轉回步驟(1)；(5)上述步驟一直重復，直至達到所需的鏈

43、長或所需的單上述步驟一直重復，直至達到所需的鏈長或所需的單體轉化率。在模擬過程中可統計各感興趣的量，如鏈上體轉化率。在模擬過程中可統計各感興趣的量，如鏈上Ml和和M2單體的組成和序列分布等。單體的組成和序列分布等。必須指出，上述過程只模擬了一根鏈的情況。為了獲得必須指出，上述過程只模擬了一根鏈的情況。為了獲得較高的統計精度，可重復多條鏈后進行平均。較高的統計精度，可重復多條鏈后進行平均。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物采用上述采用上述Monte Carlo算法，算法，Motoc等模擬了等模擬

44、了丙烯酸甲酯丙烯酸甲酯(M1)和氯丙烯和氯丙烯(M2)的共聚反應。的共聚反應。他們設他們設r1=0.08，r2=5.1，模擬所得的共聚物模擬所得的共聚物組成和三元組的百分數與實驗值的比較見表。組成和三元組的百分數與實驗值的比較見表。結果表明，對于該體系可近似地認為只存在結果表明，對于該體系可近似地認為只存在末端效應。末端效應。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物Monte Carlo模擬結果與實驗結果的比較模擬結果與實驗結果的比較 我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美

45、麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物高分子無規行走高分子無規行走(random walks)鏈的模擬鏈的模擬無規行走無規行走(random walks，簡稱簡稱RW)鏈模型用來鏈模型用來研究柔性高分子鏈在稀溶液中的大尺度性質。研究柔性高分子鏈在稀溶液中的大尺度性質。RW鏈即所謂的自由連接鏈鏈即所謂的自由連接鏈(freely jointed chain，簡稱簡稱FJC)。其基本特征是：鏈中兩相鄰鍵的夾。其基本特征是：鏈中兩相鄰鍵的夾角角(鍵角鍵角)可任意選擇，每個鍵的內旋轉角也可任可任意選擇，每個鍵的內旋轉角也可任意取值，鏈中非直接鍵接的鏈單元與鏈單元之意取值

46、，鏈中非直接鍵接的鏈單元與鏈單元之間不存在任何相互作用。間不存在任何相互作用。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物以計算均方末端距以計算均方末端距R2為例，為例，RW鏈的簡單抽樣法鏈的簡單抽樣法計算過程計算過程如下如下：(1)鍵向量鍵向量r1的起點放在坐標原點，并令的起點放在坐標原點，并令k1；(2)對于其后的鍵向量通過產生在半徑為對于其后的鍵向量通過產生在半徑

47、為a(通常令通常令a1)的球的球面上均勻分布的隨機點，并以其作為面上均勻分布的隨機點，并以其作為rk向量的終點以及向量的終點以及rk+1向向量的起點；量的起點；(3)計算末端距向量計算末端距向量RkRk-1+rk；(4)如果如果k=n，則將令則將令Rk=R，并求并求R2，如果如果kn，則將則將k+l替替代代k，并返回到并返回到(2)。對于對于RW鏈的最基本特征是：鏈的最基本特征是：RW n高分子物理：高分子物理：RW=n l2我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物格子鏈模型格子鏈模型格子鏈格子鏈(

48、lattice chain)模型模型的基本做法是將空間離散化，即的基本做法是將空間離散化，即鏈單元只能取空間中某些人為規定的鏈單元只能取空間中某些人為規定的格點格點(lattice site)。顯。顯然，格子鏈在細節上與真實鏈有較大的差別，但高分子鏈然，格子鏈在細節上與真實鏈有較大的差別，但高分子鏈的許多統計性質的許多統計性質(大尺度行為大尺度行為)并不依賴于鏈模型的細節。并不依賴于鏈模型的細節。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物方格子模型是把空間離散化為一個立方點陣，方格子模型是把空間離散化

49、為一個立方點陣，即鏈單元的空間坐標只能在這個點陣空間所即鏈單元的空間坐標只能在這個點陣空間所定義的格點上取值。為了便于計算，通常格定義的格點上取值。為了便于計算，通常格子的邊長取為子的邊長取為1。因其空間維數的不同，人們。因其空間維數的不同，人們給予方格子鏈以不同的名稱。在兩維空間里，給予方格子鏈以不同的名稱。在兩維空間里，人們一般稱其為人們一般稱其為方格子鏈方格子鏈(square lattice chain)；在三維空間中，稱其為在三維空間中，稱其為立方格子鏈立方格子鏈(cubic lattice chain)。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但

50、是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物一、一、RW鏈的抽樣：鏈的抽樣：采用直接抽樣法生成采用直接抽樣法生成RW鏈的方法十分簡單，以兩維方鏈的方法十分簡單，以兩維方格子鏈為例，可由如下幾個步驟構成：格子鏈為例，可由如下幾個步驟構成：(1)將第一個鏈節固定在坐標原點上，并設格子的邊將第一個鏈節固定在坐標原點上，并設格子的邊 長為長為1；(2)產生產生(0，3)整數序列的隨機數；整數序列的隨機數；(3)由隨機數的數值按預先規定的規則，決定下一個鏈由隨機數的數值按預先規定的規則，決定下一個鏈節所達的格點。設有一鏈單元的坐標為節所達的格點。設有一鏈單元的坐標為(x，y)，則由偽則由偽隨

51、機數的具體數值來決定下一個鏈單元的坐標位置；隨機數的具體數值來決定下一個鏈單元的坐標位置；我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物當隨機數為當隨機數為0時，時，x+1x；當隨機數為當隨機數為l時，時，y+1y；當隨機數為當隨機數為2時，時，x-1x；當隨機數為當隨機數為3時，時，y-1 y；我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物(4)重復重復(2)，(3)直至所需鏈長直至所需鏈長n，記錄所需的結果，記錄

52、所需的結果，諸如最后一個鏈單元的坐標位置諸如最后一個鏈單元的坐標位置rn等；等；(5)重復重復(1)(4)直至達到所需的高分子鏈的分子數直至達到所需的高分子鏈的分子數(樣樣本容量本容量)M，由所生成的鏈的樣本，可計算鏈構象統由所生成的鏈的樣本，可計算鏈構象統計的特征量，如均方末端距。計的特征量，如均方末端距。22RW11()MnllRrM222nnnrxy這里，這里，為樣本中第為樣本中第l條鏈的末端距平方，條鏈的末端距平方，2()nlr我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物研究高濃度多鏈體系動力學

53、的研究高濃度多鏈體系動力學的“空格擴散算法空格擴散算法”為了使得格子鏈模型能更為有效地推廣到研究高濃度為了使得格子鏈模型能更為有效地推廣到研究高濃度直至直至熔體熔體”的高分子體系的動力學問題，陸建明和的高分子體系的動力學問題，陸建明和楊玉良在楊玉良在Larson等提出的鍵長漲落模型的基礎上提出等提出的鍵長漲落模型的基礎上提出了適合于研究高濃度多鏈體系動力學的了適合于研究高濃度多鏈體系動力學的“空格擴散算空格擴散算法法”。按照按照鍵長漲落模型鍵長漲落模型，模型鏈的鍵長允許取兩個數值，模型鏈的鍵長允許取兩個數值，即方格子的邊長即方格子的邊長(一般取為一般取為1)和格子的對角線和格子的對角線(邊長的

54、邊長的2倍倍)。由于鍵長的可漲落性，因此每個格點的配位數分。由于鍵長的可漲落性，因此每個格點的配位數分別為別為8(兩維兩維)和和18(三維三維)。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物下圖給出了典型的微松弛模式和禁阻運動模式?？紤]下圖給出了典型的微松弛模式和禁阻運動模式?？紤]到主要想模擬高濃度多鏈體系，因此采用空格作為算到主要想模擬高濃度多鏈體系，因此采用空格作為算法的運動主體，具體算法可歸結為以下幾個步驟。法的運動主體，具體算法可歸結為以下幾個步驟。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么

55、把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物在具有周期邊界條件的元胞中規則地按所需濃度排入在具有周期邊界條件的元胞中規則地按所需濃度排入所需鏈長的鏈，設鏈長為所需鏈長的鏈，設鏈長為n，鏈的總數為鏈的總數為N條，而少量條，而少量的空格在排布中盡可能分布均勻。本文元胞大小取為的空格在排布中盡可能分布均勻。本文元胞大小取為LXLY=4444，高分子鏈長取為高分子鏈長取為n=21，高分子數為高分子數為N=88。鏈所占的格子分數鏈所占的格子分數(濃度濃度)為為0.9545 周期邊界條件：即某個高分子鏈單元離開元胞的周期邊界條件：即某個高分子鏈單元離開元胞的某

56、一邊界時，則在元胞中與該邊界相對的邊界上有一某一邊界時，則在元胞中與該邊界相對的邊界上有一鏈單元進入元胞。鏈單元進入元胞。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物由于數據統計的需要和節省計算耗時，不僅要記錄第由于數據統計的需要和節省計算耗時，不僅要記錄第l條鏈條鏈的第的第m鏈單元的坐標位置鏈單元的坐標位置M(l,m)，而且還需知道某一坐標點而且還需知道某一坐標點P(

57、i,j)為哪條鏈的第幾個單元所占據。為此采用編碼技術，為哪條鏈的第幾個單元所占據。為此采用編碼技術，以二維情況為例，即定義：以二維情況為例，即定義：M(l，m)i 100+j P(i，j)l 100+mM(l，m)和和P(i，j)的關系是顯而易見的。設的關系是顯而易見的。設P(10，10)1014，其表明坐標點其表明坐標點(10，10)被編號為被編號為10的鏈上的第的鏈上的第14號單元所占號單元所占據。由此可知據。由此可知M(10，14)1010。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物隨機地選擇一

58、個空格，并在空格周圍的配位格點上隨機地選擇一個空格，并在空格周圍的配位格點上隨機地選擇一個鏈單元，并嘗試與空格交換位置；隨機地選擇一個鏈單元，并嘗試與空格交換位置；若交換后與該鏈單元連接的鍵的鍵長不大于若交換后與該鏈單元連接的鍵的鍵長不大于2，并，并且不出現禁阻情況，則運動接受，若這個交換不能且不出現禁阻情況，則運動接受，若這個交換不能接受，則放棄交換，但體系再參加一次統計，這樣接受，則放棄交換，但體系再參加一次統計，這樣的交換直至體系達到平衡。的交換直至體系達到平衡。(3)對平衡的體系仍然執行步驟對平衡的體系仍然執行步驟(2)，并統計相應的靜，并統計相應的靜態和動態性質。在動態問題的模擬中，

59、時間的取法態和動態性質。在動態問題的模擬中，時間的取法采用一個采用一個Monte Carlo cycle作為時間單位，更具體作為時間單位，更具體地說即在地說即在(2)中的嘗試次數中的嘗試次數(空格選擇次數空格選擇次數)等于等于nN時，時間取為時，時間取為1。我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物我嚇了一跳，蝎子是多么丑惡和恐怖的東西，為什么把它放在這樣一個美麗的世界里呢？但是我也感到愉快，證實我的猜測沒有錯：表里邊有一個活的生物表中的表中的1，2，3三點是初始單純形的三次實驗，其中三點是初始單純形

60、的三次實驗，其中1點為最點為最壞點，壞點，2點為次壞點，點為次壞點，3點為最好點（轉化率最高）。舍去最點為最好點（轉化率最高）。舍去最壞點壞點3。求出重心點后，求出。求出重心點后，求出1點的反射點點的反射點4點。因此，第四次點。因此，第四次實驗結果所得轉化率為實驗結果所得轉化率為97%，明顯高于，明顯高于2，3點。所以將反射點。所以將反射點點4點進行擴展到點進行擴展到5點點(取取為為1.618)，其轉化率為，其轉化率為81.5%，此轉，此轉化率小于化率小于3點，擴展失敗。因而點，擴展失敗。因而2，3，4三點構成新的單純形。三點構成新的單純形。依次調優到第依次調優到第6點，其結果為點，其結果為97.5%，第六次實驗即得到最佳，第六次實驗即得到最佳實驗條件。實驗條件。