概率論與數理統計第2講

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1、概率論與數理統計概率論與數理統計第第2講講本文件可從網址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄)第一章 隨機事件及其概率試驗為了研究隨機現象,就要對客觀事物進行觀察.觀察的過程稱為試驗.概率論里所研究的試驗有下列特點:(1)在相同的條件下試驗可以重復進行;(2)(2)每次試驗的結果具有多種可能性,而且在試驗之前可以明確試驗的所有可能結果;(3)(3)在每次試驗之前不能準確地預言該次試驗將出現哪一種結果試驗也稱隨機試驗,記為E樣本空間給定一個試驗,所有可能的結果的全體構成一個集合,這個集合稱作樣本空間,用S或表示,這個樣本空間中的每一個元素也稱作此樣本空間的一個樣本點,用e或表

2、示.試驗和樣本空間的例1,擲一次硬幣為一個試驗,則有兩個可能的試驗結果,正面和反面,則S=正面,反面試驗和樣本空間的例2,擲一次骰子為一個試驗,則有六個可能的試驗結果,1點,2點,3點,4點,5點和6點,因此樣本空間為S=1點,2點,3點,4點,5點,6點更多的試驗和樣本空間的例3,擲兩次硬幣作為一次試驗,將兩次試驗結果排序,則共有四種可能的結果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)因此樣本空間 S=(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)更多的試驗和樣本空間的例4,擲兩次骰子作為一次試驗,將兩次試驗結果排序,則共有36種可能的結果:S=(1,1),(1,2),(1,3),(1

3、,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),=(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6隨機事件隨機事件簡稱事件,就是樣本空間的子集,或者說事件就是試驗結果的集合,通常用大寫英文字母A,B,C,等表示.通俗地說,一個隨機事件,可構成一個嚴格的打賭的條件

4、.例如,擲兩次硬幣這個試驗,事件A=至少一次正面朝上包括三個樣本點(正,反),(反正),(正正).也可以表示為A=(正,反),(反,正),(正正)擲兩次骰子的試驗,事件B=兩次點數相同,則B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)幾個特殊的事件基本事件:只包括一個樣本點,或者說一個試驗結果的事件稱為基本事件.請注意,在數學上,基本事件也是一個集合,是只包括一個元素的集合.幾個特殊的事件必然事件:包括整個樣本空間S的所有元素的事件,或者就用S表示,則每次試驗必然發生,因此稱為必然事件.幾個特殊的事件不可能事件:不包括任何元素的空集,即每次試驗一定不會發生,稱為不可

5、能事件,用表示,則=.事件的圖示為了直觀,經常使用圖示來表示事件,一般地,用一個平面上某個方(或矩)形區表示必然事件或者整個樣本空間S,其中的一個子區域表示一具體的事件.AS事件間的關系及其運算事件的包含如果事件A發生必然導致事件B發生,即屬于A的每一個樣本點都屬于B,則稱事件B包含事件A或稱事件A含于事件B,記作BA或AB圖示BAS事件的相等如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,稱事件A與B相等.即A與B中的樣本點完全相同.記作A=B事件的并(和)兩個事件A,B 中至少有一個發生,即A或B,是一個事件,稱為事件A與B的并(和).它是屬于A或B的所有樣本點構成的集合.記作A+B 或 ABA

6、BS易知A+S=SA+=An個事件A1,A2,An中至少有一個發生是一個事件,稱為事件A1,A2,An的和,記作 A1+A2+An 或 A1A2An或記作11,nniiiiAA可列個事件的和表示可列個事件A1,A2,中至少有一個事件發生,記作11iiiiAA或事件的交(積)兩個事件A與B同時發生,即A且B,是一個事件,稱為事件A與B的交.它是由既屬于A又屬于B的所有公共樣本點構成的集合.記作AB或AB易知A S=AA =ABS對立事件事件非A稱為A的對立事件(或逆事件).它是由樣本空間中所有不屬于A的樣本點組成的集合.記作A圖示AAS,AAAASAA 顯然事件的差事件A發生而事件B不發生,是一

7、個事件,稱為事件A與B的差.它是由屬于A但不屬于B的那些樣本點構成的集合.記作AB圖示ABS易知ABABSAA互不相容事件如果事件A與B不能同時發生,即AB=,稱事件A與B互不相容(或稱互斥).互不相容事件A與B沒有公共的樣本點.顯然,基本事件間是互不相容的.圖示ABS對立事件一定互不相容,但互不相容事件未必對立完備事件組若事件A1,A2,An為兩兩互不相容事件,并且A1+A2+An=S,稱構成一個完備事件組或構成一個劃分.圖示A1A2A3A4最常用的完備事件組是某事件A與它的逆A例1 擲一顆骰子的試驗，觀察出現的點數事件A表示奇數點,事件B表示點數小于5,C表示小于5的偶數點.用集合的列舉表

8、示法表示下列事件:,S A B C AB ABBA AB AC AB解:S=1,2,3,4,5,6A=1,3,5B=1,2,3,4C=2,4A+B=1,2,3,4,5AB=5BA=2,4AB=1,3AC=CA=2,46,4,3,2,1 BA例2從一批產品中每次取出一個產品進行檢驗(每次取出的產品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).試用事件的運算符號表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有兩次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有兩次取到合格品:三次中至

9、多有一次取到合格品:323121AAAAAA321321321AAAAAAAAA例3 一名射手連續向某個目標射擊三次事件Ai表示該射手第i次射擊時擊中目標(i=1,2,3).試用文字敘述下列事件:323121323221212323321321221;AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA解:三次射擊至少兩次中中后兩次至少有一次未擊前兩次均未中第三次中但第二次未中三次都中三次中至少一次中第二次未中前兩次至少有一次中:323121323221212323321321221AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例4 如果x表示一個沿數軸做隨機運動的質點的位置,試說明下列各事件的關系.A=x|x20B=x|x3C=x|x9D=x|x3C=x|x9D=x|x5E=x|x9 5 D C A 0 3 9 20 B E x 解:由圖可見ACD,BED與B,D與E互不相容C與E為對立事件,B與C,B與A,E與A相容,顯然A與C,A與D,C與D,B與E也是相容的 5 D C A 0 3 9 20 B E x 作業:習題集第2頁,習題1-1第2,3,4題