特殊平行四邊形(超實用)

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1、青島六十三中王緒峰一、教材：九年制義務教育課程標準實驗教科書（北師大版）數學九年級上冊，第三章，第二節“特殊平行四邊形”。二、教材分析：特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形是常見的幾何圖形。結合本節課知識特點，制定教學目標如下：1、經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展、經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展推理能力。推理能力。2、能夠利用綜合法證明矩形、菱形、正方形的、能夠利用綜合法證明矩形、菱形、正方形的性質定理及其他相關結論。性質定理及其他相關結論。3、進一步體會證明的必要性以及計算與證明在、進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。解決問題中的作用。4、體會證明過程中所運用

2、的歸納、概括以及轉、體會證明過程中所運用的歸納、概括以及轉化等數學思想方法?；葦祵W思想方法。5、培養學生實事求是的辯證唯物主義思想及積、培養學生實事求是的辯證唯物主義思想及積極探究的思想意識。極探究的思想意識。三、教學指導：本節課共分為三課時內容，教學過程中可分為三大步完成，即：理論、方法積累、思路梳理合作交流，互助探索學習自主探索，拓展延伸，歸納新知。這充分體現了螺旋上升的原則。對于第一課時的學習，重點以講授、引導思路為主。對于第二課時，在第一課時的基礎上，放手讓學生合作探索。對于第三課時則采取探究式的教學方式，有了前兩課時的培訓，大可放開手，讓學生自主探索，自己調整思路，透過現象看本質，

3、尋其根源，歸納總結知識。四、學法指導：本章的內容與證明（二）的聯系是很密切的，因此在學習方法上也很相近。首先，我們應培養學生很好地掌握已熟悉的邏輯方法，包括證明的思路和證明過程的準確表達。其次，對不同證明方法的探索可以提高學生的邏輯思維水平。因此，在證明了一個命題以后，同學們還應該思考是否還有其他的證明方法，如輔助線的添加方法唯一嗎？還可以從什么角度解決問題。五、評價建議：1、關注學生探索結論、分析思路和方法的過程。2、關注學生推理論證的能力和水平。六、教學過程：特殊平行四邊形（一）特殊平行四邊形（一）為順利完成教學目標，本節課在教學中設置以下環節。1、復習提問理順知識，作好輔墊。2、新課引入

4、導入新課，激發興趣。3、新課講解積累知識，培養思維。4、應用訓練熟練知識，加強理解。5、拓展延伸開闊知識面，訓練思維。6、小 結總結收獲，暢談體會。7、布置作業加強練習，加深理解。第一環節復習提問第二環節新課引入第三環節新課講解第四環節應用訓練第五環節拓展延伸第六環節感悟與收獲第七環節布置作業（一）平行四邊形定義：平行四邊形性質：兩組對邊分別平行的四邊形對邊平行對邊相等邊對角相等鄰角互補角對角線互相平分對角線平行四邊形判別：邊：線：兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等一組對邊平行且相等對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明命題的一般步驟：1、審（找條件、結論）2、作（作圖，并標明字母、符號）3、寫

5、（把文字語言轉化為幾何符 號語言，寫已知、求證）4、證（證明結論）在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的形狀，如圖：經歷上述運動及變化過程，回想一下矩形是怎樣定義的？它又具有哪些性質？矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形性質：邊：角：線：具有平行四邊形所有邊的性質四個角都是直角對角線相等且互相平分與平行四邊形的性質相對比，有什么不同之處？為什么？你能證明矩形的特殊性質嗎？證明：矩形的對角線相等ABCDO已知：矩形ABCD中，AC、BD相交于點O 求證：AC=BD證明：證明:四邊形ABCD是矩形，AB=CD，ABD=AD

6、C=90RTABD與RTDCA中AB=CD，ABD=ADC=90AD=AD ABD DCA（SAS）AC=BDABCDO下列是小剛的證明過程，這樣做對嗎？為什么？ABCDO證明:矩形ABCD中ABCD OAB=OCD,OBA=ODCABO與DCO中 OAB=OCD,AB=CD,OBA=ODC ABO DCO,AO=OD,BO=COAO+OC=BO+OD,即:AC=BDD如圖：矩形的對角線相交于點E，你可以找到那些相等的線段？如果擦去ADC，則剩余的RTABC中，BE是怎樣的一條特殊的線段？它具有什么特性？為什么？ABCEABCED經歷上述的探討過程，你能證明以下結論嗎？推論：直角三角形斜邊上的

7、中線等于斜邊的一半。ABCED已知：RtABC中，BE是斜邊AC上的中線，求證：BE=AC/2證明：1、分別過A、C作BC、AB的平行線AD、DC，交點為D，連接BD證:ABCD為矩形BD平分AC，即：BD過EBE=AC/2ABCED證明：2、過A作BC的平行線與BE的延長線交于點D，連接CD 證：BCE DAE（SAS）BC=AD四邊形ABCD為矩形BE=AC/23、延長BE到D，使BE=DE，連接AD、DC。證：四邊形ABCD為平行四邊形（對角線互相平分）四邊形ABCD為矩形BE=AC/2回顧剛才的證明過程，證明結論的關鍵是什么？其中用了哪種思維方式？運用了那些知識？你有什么體會？例：如圖

8、：矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，已知AOD=120，AB=2.5厘米，求矩形對角線的長。ABCD1、直角三角形斜邊上的中線長為4厘米，則他的兩條直角邊的中點的連線長是 2、已知矩形的一條對角線長為8厘米，兩條對角線的一個交角為60，則矩形的邊長為：。40厘米3、用8塊相同的長方形地磚拼成一個矩形，則每個長方形地磚的面積為 。A、200cm B、300cm C、600cm D、240cm 4、已知：在矩形ABCD中E、F分別為BC、AD上的點，且AE=CF，求證：四邊形AECF為平行四邊形ABCDEF矩形都有哪些判別方式？你能設法證明它們嗎？定義：角：對角線：請你設計一個方案，看怎樣利用刻

9、度尺檢查一個四邊形零件是否是矩形。矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形性質：具有平行四邊形所有邊的性質四個角都是直角對角線相等且互相平分證明：過程 解答過程：證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。例：ABCD特殊平行四邊形（二）特殊平行四邊形（二）在認真學習第一課時的基礎上，本節課的教學可按以下環節逐步展開：1.知識回顧回想知識，加強記憶、理解。2.新課引入動手實踐，發現新知。3.新課講解互助合作，探索性質，判別。4.訓練應用強化訓練，加深應用。5.拓展延伸類比菱形，探索正方形。6.小 結綜合思想，歸納思路。7.作 業綜合知識，強化訓練。下面就每個環節，逐層分析。第一環節：知識

10、回顧第二環節：新課引入第三環節：新課講解第四環節：訓練應用第五環節：拓展延伸第六環節：感悟與收獲第七環節：布置作業 (二)性質判別判別邊角線平行四邊形平行相等鄰角互補,對角相等互相平分1、2、3、4、矩形平行相等全為直角互相平分且相等1、2、3、菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形試一試：你能用折紙的方式得到一個菱形嗎？折紙的過程中你發覺菱形有何特性？總結一下。菱形的特點：邊：對角線：四條邊都相等，對邊平行互相垂直平分，且每條對角線平分每一組對角以小組為單位討論、證明菱形的這些性質定理。證明：菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角ABCD1 2O已知：菱形ABCD中，AC、BD

11、相交與點O，求證：ACBD，且AC、BD分別平分每一組對角。ABCD1 2O證明：菱形ABCD中，BO=OD，而ABD中，AB=AD，BO=OD，AO BD，1=2（三線合一）即：AC BD，1=2同理可得AC、BD平分每一組對角以上的證明過程中你用到了哪些知識？進一步體驗折紙過程，折疊之后的三角形具有什么特點？你有何體會？證明：菱形的面積等于其對角線乘積的一半。ABCDO例2：如圖，四邊形ABCD是邊長為13厘米的菱形，其中對角線BD長10厘米，求：（1）對角線AC的長度 （2）菱形ABCD 的面積以小組為單位，回想、探討菱形的判別方法，并證明其相關結論1、下面是菱形具有而矩形不具有的性質為

12、：A、對邊平行 B、對角相等 C、對角線互相平分 D、對角線互相垂直2、菱形的兩條對角線的長分別為6厘米和8厘米，則其周長為 ，面積為 。3、菱形的周長為40厘米，它的一條對角線長為10厘米，則它的另一條對角線長為 。ABCDEFO12344、先閱讀下列題目及小明給出的證明。再根據要求回答下列問題：已知:如圖：在平行四邊形ABCD中，A的平分線與BC交于點E，B的平分線與AD邊交于點F，AE與BF相交于O求證：四邊形ABEF是菱形ABCDEFO1234證明（1）四邊形ABCD是平行四邊形（2）ADBC（3）ABE=BAF=180（4）AE、BF分別是BAF、ABE的平分線（5）1=2=BAF/

13、2 3=4=ABE/2（6）1+3=180 /2=90 （7）AOB=90（8）AE BF（9）四邊形ABEF是菱形問：1、上述證明是否正確？2、如果有錯誤，指出在第 步到第 步推理錯誤，應在第 步后添加如下證明過程：。如果想探討正方形的性質、判別方式，你會從那些方面入手來解決這個問題？小組討論一下，你們會得到那些性質、判別，你們能迅速的思考出證明方法嗎？總結 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質及判別方式，比較其異同點，加深理解、認識區別。平行四邊形 矩 形菱 形性質定義判別邊對角線ABCD例2：證明：證明過程 特殊平行四邊形（三）特殊平行四邊形（三）在認真學習“矩形、菱形、正方形基本知識”

14、的基 礎上，第三節的教學可按以下步驟逐步展開：1、課前復習梳理知識點，對比特點，加深理 解，作好鋪墊。2、探究交流自我探索，歸納知識，交流成果3、拓展延伸開拓思維，強化探索過程4、綜合應用聯系生活，激發興趣，強化探索 應用5、小結體會探索過程，疏理探索思路6、視野窗開闊眼界，綜合知識，體會原 本價值(三）性質判別平行四邊形對邊平行相等，對角相等，對角線互相平分1、2、3、4、矩形四角都是直角，對角線相等 1、2、3、菱形四條邊相等，對角線互相垂直1、2、3、正方形四角相等，四邊相等，對角線相等、互相垂直平分矩形+菱形 在學習第一節平行四邊形的時候，曾研究過這樣一道題目：任做一個四邊形，并將其四

15、邊的中點依次連接起來，得到一個新的四邊形，這個新的四邊形的形狀有何特征？怎樣證明？（1）猜想一下，如果依次連接矩形各邊中點能得到什么圖形？（2）連接菱形各邊中點呢？連接正方形各邊中點呢？連接平行四邊形各邊中點呢？畫圖試一試，設法證明你的猜想。ABCDABCDABCDABCD經歷上述猜想、探索、證明過程，你有何體會？有什么發現？依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形形狀與哪些線段有關系？有怎樣的關系？對所有的四邊形都適應嗎？你能用文字語言將你的成果表達出來，讓大家一起分享嗎？ABCDEFGH如圖：梯形ABCD中，ABCD，E、F、G、H分別是梯形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點，當梯形ABCD

16、滿足 條件時，四邊形EFGH是菱形。證明你的發現。ABCDEFGH2、如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形是一個怎樣的四邊形？若四邊形E、F、G、H是一個菱形，則四邊形ABCD應滿足什么條件？ABCDX如圖：ABCDXA表示一條環行高速公路，X表示一座水庫，B、C表示兩個大市鎮。已知ABCD是一個正方形，XAD是一個等邊三角形。假使政府要鋪設兩條輸水管XB和XC，從水庫向B、C兩個市鎮供水，那么這兩條水管的夾角（即BXC）是多少度？歐幾里得及其歐幾里得及其原理原理 在數學上，我們已經了解了很多有關圖形方面的知識和結論，“

17、全等”“相似”“三角形內角和”“勾股定理”等等都是我們所熟悉的。另外，我們還接觸到了“公理”“定理”“推論”等一系列術語，同時我們也學會了證明由已知結論經邏輯推理得到新結論。然而，除了這些，你了解我們教科書上的幾何內容的背景嗎？實際上，我們教科書上的許多幾何內容都源于歐幾里得的原本。歐幾里得是古希臘數學家，他生于雅典，當時，由于實際的需要，人們已經積累了大量豐富的幾何再系知識，如一些平面圖形和立體圖形的面積和體積計算方法、物體高度的測量、的近似值的計算等等。另一方面，古希臘是邏輯學的發祥地，隨著邏輯學的不斷發展，促使人們逐漸重視邏輯的方法重新整理大量零散的幾何知識，使他們成為一個邏輯體系。許多

18、數學家參與了這一工作，歐幾里得是其中最突出的代表。他選擇了一些命題作為公理，這些命題都是無須證明的。因為我們知道，在證明一個命題之前，總要用到排在它前面的已知其正確性的命題，而所用到的這些命題又需要另外一個命題作保證，這樣總有一些命題是不能證明的，即“原始命題”，也就是前面所說的公理。因此，公理就像一個水系中的源頭一樣，從任何一個支流或者支流的支流出發，逆著水流的方向都可以找到他們的源頭。同樣，毆幾里得還給出一系列定義，這些定義原則上是用已有的概念去定義新的概念，因此必然有一些概念是無法定義的，即“原始概念”。這樣，整個歐幾里得幾何體系就由兩個體系組成：由“原始體系”（即公理）推出一系列定理；

19、由“原始概念”定義的一系列概念。原本正是呈現這一幾何體系的鴻篇巨制。它匯集了大量前人積累的幾何知識，采用了前所未有的獨特編寫方式，在公理、定理的基礎上，由簡到繁地證明了一系列定理。毆幾里得的這一幾何系統稱為歐幾里得幾何，簡稱歐氏幾何。歐幾里得建立其幾何體系的方法稱為公理化方法。翻開我們的教科書，看看證明（）證明（=）證明（）是不是也就是從定理和定義出發，推出一系列定理及推論的？事實上，自從原本問世后，它的內容就曾經或仍然是許多國家中學幾何課的 重點學習素材。不僅如此，它所體現的公理化方法對數學及其他學科都產生了深遠的影響。性質判別平行四邊形對邊平行相等，對角相等，對角線互相平分1、2、3、4、矩形四角都是直角，對角線相等 1、2、3、菱形四條邊相等，對角線互相垂直1、2、3、正方形四角相等，四邊相等，對角線相等、互相垂直平分矩形+菱形ABCDX解題過程: