高中數學知識梳理與解題指要

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1、高中數學知識梳理高中數學知識梳理 與與解題指要解題指要 二五年四月九日 尤善培一、數學高考介紹二、數學知識梳理三、數學試題簡析四、數學解題指要 (99全國全國)向高為向高為H的水瓶中注水，的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量注滿為止，如果注水量V與水深與水深h的的函數關系的圖象如右圖所示，那么函數關系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是（水瓶的形狀是（）一、高考數學命題的特點與要求高考數學命題的特點B(A)(B)(C)(D)位置數值 h H V V0 O 2H02V f()=x122)1(1)1(xx211x f(x)+f()=1.x1（2002 全國）已知函數全國）已知函數f(x)=則則 f(1

2、)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=.,122xx21314172結構特征 高考數學是考查數學基礎的考試基礎知識基本技能基本數學思想方法、數形結合（轉換策略）、函數與方程（分析策略）、分類討論（分解策略）、等價轉換（分析策略）在高考數學命題中，經歷了“以知識立意”到以“問題立意”，再發展為“以能力立意”的過程。以能力立意命題，保障了高考突出能力與學習 潛能考查的要求。以能力立意命題拓展了命題思路。以能力立意命題于題型設計，易于形成綜合自 然、新穎脫俗的試題。以能力立意命題在全卷的整合時，對試題的整體布局、層次安排有高屋建瓴之勢。以能力立意命題促進了高考改革的深入發展。高考

3、數學注重能力考查 （2001 全國）全國）如圖，小圓圈表示網絡的結如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表承它們有網線相聯連點，結點之間的連線表承它們有網線相聯連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量現從結點過的最大信息量現從結點A向結點向結點B傳遞信息，傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞則單位信息可以分開沿不同的路線同時傳遞則單位時間內傳遞的最大信息量為時間內傳遞的最大信息量為（）AB121266683457A.26 B.24 C.20 D.19 3+4+6+6=19D高考數學對難度和速度均有要求 木 桶 原 理知識要求了解

4、理解和掌握靈活和綜合運用能力要求思維能力運算能力空間想像能力實踐能力創新意識個性品質要求高考數學的要求二、高考數學知識梳理與復習高考數學知識梳理 平面向量理解向量的概念，掌握向量的幾何表，了解共線向量的概念。掌握向量的加法與減法。掌握實數與向量的積，理解兩個向量 共線的充要條件。了解平面向量的基本定理，理解平面向量 的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了 解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的 定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運 用、掌握平移公式。理解集合、子集、補集、交集、并集的概

5、念。了解空集和全集的意義。了解屬于、包含、相等關系的意義。掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合。理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義。理解四種命題及其相互關系，掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義。集合、簡易邏輯函數了解映射的概念，理解函數的概念。了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判 斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法。了解反函數的概念及互為反函數的函數圖 像間的關系，會求一些簡單函數的反函數。理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪 的運算性質。掌握指數函數的概念、圖象 和性質。理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖像和性質。能夠運用函數的性質、指

6、數函數和對數函 數的性質解決某些簡單的實際問題。理解不等式的性質及其證明。掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術 平均數不小于它們的幾何平均數的定 理，并會簡單的應用。掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單 的不等式。掌握簡單不等式的解法。理解不等式 a-b a+b a+b不等式理解任意角的概念、弧度的意義，能正 確地進行弧度與角度的換算。掌握任意角的正弦、余弦、正切的定 義。了解余切、正割、余割的定義，掌 握 同 角 三 角 函 數 的 基 本 關 系 式：sin2+cos2=1，tancot=1。掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期 函數與最小正周期的意義。掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切 公式

7、。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。atancossin三角函數能正確運用三角公式，進行簡單的三角函 數式的化簡、求值和恒等式證明。了解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖 像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y=Asin（x+）的簡圖，理解A、的物理意義。會由已知三角函數值求角，并會用符號 arcsinx、arccosx、arctanx表示。掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用 它們解斜三角形。理解數列的概念，了解數列通項公式的 意義，了解遞推公式是給出數列的一種 方法，并能根據遞推公式寫出數列的前 幾項。理解等差數列的概念，掌握等差數列的 通項公式與前n項和公式，并能解決簡單 的

8、實際問題。理解等比數列的概念，掌握等比數列的 通項公式與前n項和公式，并能解決簡單 的實際問題。數列理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過 兩點的直線的斜率公式。掌握直線方程的 點斜式、兩點式、一般式，并能根據條件 熟練地求出直線方程。掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直 線所成的角和點到直線的距離公式。能夠 根據直線的方程判斷兩條直線的位置關 系。了解二元一次不等式表示平面區域。直線和圓的方程了解線性規劃的意義，并會簡單的應用。了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。掌握圓的標準方程和一般方程，理解圓的 參數方程。掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡 單幾何性質。理解橢圓的參數方程。掌握雙曲線的定義

9、、標準方程和雙曲線 的簡單幾何性質。掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線 的簡單幾何性質。了解圓錐曲線的初步應用。圓錐曲線方程掌握平面的基本性質，會作斜二測的畫 法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；能 夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各 種益關系的圖形，能夠根據圖形想像它 們的位置關系。掌握直線和平面平行的判定定理和性質 定理；掌握直線和平面垂直的判定定 理；掌握三垂線定理及其逆定理。理解空間向量的概念，掌握空間向量的 加法、減法和數乘。直線、平面、簡單幾何體了解空間向量的基本定理；理解空間向量 坐標的概念，掌握空間向量的坐標運算。掌握空間向量的數量積的定義及其性質；掌握用直角坐標計算空間向量數量積

10、的 公式；掌握空間兩點間距離公式。理解直線的方向向量、平面的法向量、向 量在平面內的射影等概念。掌握直線和直線、直線和平面、平面和平 面所成的角、距離的概念。了解多面體、凸多面體的概念，了解正多 面體的概念。了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫 直棱柱的直觀圖。了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會 畫正棱錐的直觀圖。11了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的 表面積、體積公式 掌握分類計數原理與分步計數原理，并 能用它們分析和解決一些簡單的應用問 題。理解排列的意義，掌握排列數計算公 式，并能用它解決一些簡單的應用問題。理解組合的意義，掌握組合數計算公式和 組合數的性質，并能用它們解決一些簡單

11、的應用問題。掌握二項式定理和二項展開式的性質，并 能用它們計算和證明一些簡單的問題。排列、組合、二項式定理了解隨機事件的發生存在著規律性的隨 機事件概率的意義。了解等可能性事件的概率的意義，會用 排列組合的基本公式計算一些等可能性 事件的概率。了解互斥事件與相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨 立事件的概率乘法公式計算一些事件的 概率。會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發 生k次概率。概率了解隨機抽樣，了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣。會用樣本頻率分布估計總體分布。會用樣本估計總體期望值和方差。統計了解導數概念的實際背景。理解導數的幾何意義。掌握函數y=c（

12、C為常數）、y=xn（nN+）的導數公式，會求多項式函數的導數。理解極大值、極小值、最大值、最小值的 概念，并會用導數求多項式函數的單調區 間、極大值、極小值及閉區間上的最大值 和最小值。會利用導數求某些簡單實際問題的最大 值和最小值。導數設函數設函數f(x)的導數為的導數為f (x),且且 f(x)=x3+2x f (1)則則 f (0)=()A.0 B.-3 C.-6 D.6關鍵關鍵 理解理解 f (1)是常量是常量 f (x)=3x2+2f (1),f (0)=2f (1).又又 f (1)=3+2f (1),f (1)=-3.代入代入 式式,得得 f (0)=-6.高考復習“四字訣”實

13、：小處不可隨便活：海闊憑魚躍 解題后的再思考例 求證：sin（n+）cos（n-）=sin2（nz）它的通常解法是：證明：（1）當n為偶數時，設n=2k（kz）sin（n+）cos（n-）=sincos=sin21212（2）當n為奇數時，設n=2k+1（nz）sin（n+）cos（n-=sin（2k+）cos（2k+-）=（-sin）（-cos）=sin2 綜上得：sin（n+）cos（n-）=sin2 無論是n為偶數，還是n為奇數，都有：sin（n+）cos（n-）=sin2，這就引起了我們的再思考。思考：上面的討論是雷同的，是否可以回避?121212深層次挖掘教材如：an為等差數列，a1

14、、a2、a9成等比數列則題目的來源：選擇特殊數列為背景，最常 見、最先想到的是自然數列，易知它滿足條 件，所以選an=n。再如函數這一部分，復習時可對y=和 y=logax的圖象和性質進行研究。_852931aaaaaaxx1廣：天高任鳥飛 全面復習，知識和能力并重 學會學習新：萬變不離其宗 “舊題”新解，追求優美例如：過拋物線y2=x上一點（4，2），作傾 角互補的兩條直線AB、AC交拋物線 B、C，求證：直線BC的斜率為定值。思考：按照與作圖步驟相吻合的思路來求解。解：設KA B=K，則，KA C=-K，AB的方程為 y=k（x-4）+2 因此，A（4，2），B（XB，YB）是方程組的解。

15、y2=xy=k（x-4）+221kkk21解之得XB=（4k2-4k+1），YB=22144kkkkk21 同樣的方法可得 XC=，YC=可求得KBC=41CBCBXXYY再思考：在解題過程中，求B點坐標的計算量比較 大，應該想辦法改進。我們還再回顧一下原來的解題程序。設KAB寫直線AB、AC的方程解出B、C表示KBC改進：先設B、C坐標。改進后的程序為：設B、C坐標求出KAB、KAC表示KBC設B（，t2），C（，t2）（t1t2）這時KAB=，KAC=KAB=-KAC，即21t21t42211tt42222tt2222114242ttttx0ABCy化簡得：t1+2=-（t2+2）下面怎么

16、辦？似乎迷失了方向。我們還是 應該明確一下本題的目標。要證明KBC是 一個定值，于是不妨先求出KBC KBC=212221211tttttt這就好了，原來是要證明t1+t2是定值。這樣，就自然想到將t1+2=-（t2+2）變形為 t1+t2=-4本題圓滿獲得解決。再改進：設B、C坐標表示KBC求出KAB、KAC看透本質，新題通法?！爸R與技能”突出思想和智慧程序性主干性 這里的技能特性也有兩點：獨立操作性：由重復再現過渡到獨立 完成；遷移性：通過聯系的思想與轉換的手 段達到靈活運用、舉一反三和觸類旁 通的目的。三、去年高考數學試題的亮點 例1（高考第一題第6小題）某校為了了解學生的課外 閱讀情

17、況，隨機調查了50名學生，得到他們在某 一天各自課外閱讀所用時間的數據，結果用圖形 表示，根據條形圖可得這50名學生這一天平均每 人的課外閱讀時間為 A、0.6小時 B、0.9小時 C、1.0小時 D、1.5小時 解析 一天平均每人課外閱讀時間為 =0.9（小時）故選B。時間（小時）0 0.5 1.0 1.5 2.0 x y2015105人數（人）51010205521051101205050例2（高考第一題第8小題）設k1，f（x）=k（x-1）（xR）。在平面直角坐標系xOy中，函數 y=f(x)的圖象與x軸變于A點，它的反函數 y=f-1(x)的圖象與y軸交于B點，并且這兩個函 數的圖象

18、交于P點，已知四邊形OAPB的面積是 3，則k等于（）A、3 B、C、D、2334560 1 A xy 1Bp解析:依題意A（1，0），B（0，1），y=f（x）與y=f-1（x）的交點必在 直線y=x上。由 y=k（x-1），y=x 解得：x=因為S四邊形OAPB=2SOPA=2 OAxp=3，所以k=。故此選B1kk1kk2321“過程與方法”重視價值和策略例3 (高考第二題第16小題)平面向量a、b 中，已知a=(4，-3)，b=1且ab=5 則向量b=。5453 方法1 設a與b夾角為。則由ab=5 a b cos=5 51cos=5 cos=1 =0 所以b與a共線且方向相同，b=（

19、，-)。解析 解決本題至少可從這樣兩個角度思考方法2 設b=（x，y）x2+y2=1 x=4x-3y=5 y=-或利用直線4x-3y=5與圓x2+y2=1相切的特征，借助幾何圖形，利用幾何方法，求得切點坐標為（，-）b=（，-）則 545354535453“情感、態度與價值觀”體現感悟和動力例4（高考第六大題）制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考 慮可能出現的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根 據預測，甲、乙項目可能的最大利率分別 為100%為50%，可能的最大虧損率分別為 30%和10%，投資人計劃投資金額超過10 萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8 萬元。問投資人

20、對甲、乙兩個項目各投資 多少萬元，才能使可能的盈利最大？解析 設投資人分別用x萬元，y萬元投資甲、乙兩個項目，由題意知x+y10，0.3X+0.1y1.8,x0,y0.目標函數z=x+0.5y.上述不等式組表示的平面區域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域。作直線L：x+0.5y=0，并作平行于直線L的一組直線。X+0.5y=z，zR，與可行域相交，其中有一條直線經過可行域上的M點，且與直線x+0.5y=0的距離最大，這里M點是直線x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點。Y18100 6 10 x 0.3x+0.1y=1.8 x+0.5y=0M(4,6)x+y=10L解方程組 x+y=

21、10 0.3x+0.1y=1.8得x=4，y=6此時z=14+0.56=7（萬元）因為70，所以x=4，y=6時z取最大值。答：投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投 資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8 萬元的前提下，使可能的盈利最大。多思善想思聯系，網絡知識，夯實基礎 例1 、是兩個不同的平面，m、n是 平面及之外的兩條不同直線，給 出四個論斷：mn，n，m，以其中三個論 斷作為條件，余下一個論斷作為結 論，寫出你認為正確的一個命題 。四、高考數學復習解題指要思路1：題目結構中a、b、c具有輪換對稱性，可將右式分為三個部分，用綜合法易證：（a+b），（b+c），（a+c），三式相加即得。例2

22、已知a0，b0，c0，求證：（a+b+c）2222222cacbba思多解，多方出擊，培養思維的發散性2222ba2222 cb2222ca是三角函數的特殊值，聯系三角知識，可從右邊證到左邊。22思路2：422ba 22ca（a+b）=asin+bcos=sin（+）（a+c）三式相加即得。224422ba 22（b+c）2222cb B a bA c同理：（a+c）三式相加即得。思路3 觀察左邊三個根式，聯系立幾知識，它們 是以a、b、c為三度的長方體的三個面的對 角線長度，可構造長方體來證明，如圖:AB=，a+b=AB sin+AB cos=（sin+cos）=sin（+）所以 （a+b）

23、22ba 22ba 222ba 4222ba 22ba 2222cb 22)(2222caca思規律，找變化，觸類旁通例3 試證以過橢圓的焦點的弦為直徑的圓必 和橢圓相應的準線相離。例4 已知異面直線a和b所成的角為50，P為空間任一定點，則P點且與a、b所成的角都是30的直線有且僅有（）A、1條 B、2條 C、3條 D、4條在本題中50和30的設置對答案起著重要作用。因此，可通過改變50和30的大小來深化對這類題目的理解。（1）若將50改為25，其余條件不變，則答 案是 。（2）若將50改為65，其余條件不變，則答 案 。（3）若將30改為70，其余條件不變，則答 案是 。（4）若將50改為

24、x，30改為y，且答案為A，則x、y的關系式為 ；若答案為B，則 x、y的關系為 ；若答案為C，則x、y的關系為 ；若答案為D，則x、y的 關系為 。例5 求和S=（x+）+（x2+）+（xn+）錯解：S=（x+x2+x3+xn）+(+)=+這是應用等比數列求和公式時很容易出現的 問題,按照等比數列求和公式,當公式q是一個不確 定的數時,求其前n項和,則要考慮q=1,q1兩種情 況,因此應分四種情形求解:（1）x=1，y1；（2）x1，y=1；（3）x=1，y=1；（4）x1，y1y121yny131yxxxn11yyyn11111思錯處，找錯因，提高辨別解題錯誤的能力y121yny1例6 過

25、拋物線y2=2px（p0）的焦點的一條直線和 這條拋物線相交于P1、P2兩點，兩個交點的 縱坐標分別為y1、y2，求證：y1y2=-p2 已知條件不變時 a、求證：x1x2=；b、求焦點弦 P1P2 的長；c、求OP1P2的面積；d、求焦點弦P1P2中點的軌跡方程；e、求證 ：f、求證：以焦點弦為直徑的圓必與準線 相切。42PPFPFP21121思演變，層層深入，提高應變能力改成逆命題：一條直線與拋物線y2=2px（p0）相交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2）兩點，如果 滿足y1y2=-p2（或x1x2=），那么這條直線過 拋物線的焦點。已知條件不變，再附加條件“過P1、P2分別作x 軸

26、 的 垂 線，垂 足 為 M1、M2”，求 證：OM1、OF、OM2 成等比數列。已知條件不變，再附加條件“過焦點F，再作 一條與P1P2垂直的弦P3P4”，求以此兩弦為對角線的內接四邊形的面積的最小值。42P弄清問題（解題應從弄清問題開始）化簡策略：從最復雜的地方開刀語言變換策略：用不同的語言重新敘述分析策略：假設問題已經解決變換問題聯想策略：聯想一個熟悉的問題討論策略：先解決問題的部分解題策略方法2：語言變換 數形結合。f（x）=x+2，g（x）=x。方法1：討論 分x-2，-2x0，x0 三種情況。方法3：聯想策略 平方 （x+2）2x2 x-1。解不等式x+2x思路：化簡 去掉絕對值符號。謝謝！