251等比數列的前n項和

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1、2.5 2.5 等比數列的前等比數列的前n n項和項和2.5-1 2.5-1 等比數列的前等比數列的前n n項和公式的推導項和公式的推導高老莊集團高老莊集團高老莊 哈哈，我是CEO了情境設置生活化西游記后傳引引周轉不靈周轉不靈情境設置生活化西游記后傳引引西游記后傳No problem！我每天給你投資我每天給你投資100萬元，萬元，連續連續一個月一個月(30天天)，但有一個條件：但有一個條件：猴哥猴哥,能不能能不能幫幫我幫幫我第一天返還第一天返還1 1元，元，第二天返還第二天返還2 2元，元，第三天返還第三天返還4 4元元后一天返還數為前后一天返還數為前一天的一天的2 2倍倍 假如你是高老莊集團

2、企劃部假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒決策的高參，請你幫八戒決策情境設置生活化引引第一天出元入萬；第一天出元入萬；第二天出元入萬第二天出元入萬;第三天出第三天出4元入萬元入萬元；元；哇，哇，發了發了 這猴子會不會這猴子會不會又在耍我？又在耍我？引引1230 億約為7410.探究問題活動化領悟領悟數學數學應用應用價值價值錯位相減法合作學習合作學習,討論交流討論交流nnnaaaaaS 132111212111 nnnqaqaqaqaaS即即自主探究自主探究29323022221S 從特殊到一般從特殊到一般,從模仿到創新從模仿到創新,有利于知識有利于知識遷移和能力提高遷移和能力提高 探究問

3、題活動化分析：由等比數列的通項公式可知，任一項皆可分析：由等比數列的通項公式可知，任一項皆可用首項及公比來表示，因此上式可變為：用首項及公比來表示，因此上式可變為：如果將等式如果將等式兩邊同乘兩邊同乘q q，則得到一個新的等式，則得到一個新的等式 我們注意觀察相鄰兩項的結構，有何特點？我們注意觀察相鄰兩項的結構，有何特點？提出問題：已知等比數列提出問題：已知等比數列an，公比為，公比為q，求求 Sn=a1+a2+an Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn 從第二項起，每一項從第二項起，每一項為前一項的為前一項的q倍倍Sn=a1+a2+an=a1

4、+a1q+a1q2+a1qn-1 qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn -得得Sn-qSn=a1-a1qn(1-q)Sn=a1-a1qn 當當q1時時 當當q=q=1 1時時qqan111Sn=qqaan111Sn=na1 )1q(na)1q(q1)q1(aS1n1n即：qqaan11當當q1時時 Snqqaan111an=a1qn-1qqqaan1111等比數列的前等比數列的前n項和公式為：項和公式為：(2)1()1(1 (1)1()1(1)1(1111qnaqqqaaSqnaqqqaSnnnn或問題：問題：公式中的公式中的qn的的n是項數是項數n嗎嗎？是是 )1(1nqa在公式

5、在公式（1 1）中中，當當q1時，時，分母是分母是1q時，分子是時，分子是 ，分母是分母是q1時，分子是時，分子是 。)1(1nqa當公比當公比q不確定時，應當分不確定時，應當分q=1和和q1兩種情況討論。兩種情況討論。以上推導公式的方法我們稱之為以上推導公式的方法我們稱之為“錯位相減法錯位相減法”等比數列的前等比數列的前n n項和公式的推導方法項和公式的推導方法還有很多種還有很多種,下面略舉一二：下面略舉一二：（法（法2 2）借助和式的代數特征進行恒等變形）借助和式的代數特征進行恒等變形qqaaSnn11當當q=1時時，1naSnnnaaaaS.321).(13211naaaaqa)(1nn

6、aSqa當當q1時時，等比數列前等比數列前n項和公式的推導欣賞項和公式的推導欣賞(法法3)用等比性質推導用等比性質推導qaaaaaaaann 1342312qaaaaaaaann 1321432qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(qqaqqaaSqnnn1)1(1111時，當11naSqn 時，當D D 264-1，這個數很大，這個數很大,超過了超過了1.841019,假定假定千粒麥子的質量為千粒麥子的質量為40g，則填滿棋盤所需麥粒的，則填滿棋盤所需麥粒的總質量約為總質量約為7000億噸。億噸。aaan1)1(等比數列等比數列1，21，22，23，263 的所有項的所有項的和是的和是 （）A.264 B.2631 C.2641 D.2641 數列數列a，a2，a3，an的前的前n項和為（項和為（）A.B.0 C.n D.以上都不對以上都不對2932222211230110243910074.11073741823練習：練習：2141814181+=?“，”一尺之棰一尺之棰 日取其半日取其半 萬世不竭萬世不竭n天之后取得的天之后取得的木棒的總長呢？木棒的總長呢？214181n211n21n21n21n天之后，我們總共取的木棒長度為：天之后，我們總共取的木棒長度為：Sn=nn21121121121