線性代數常見選填題復習

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1、復習課二一、選填?？贾R點 1、特殊矩陣的判斷1）對稱矩陣：A = At2）正交矩陣:A1 = At ；行、列向量均為兩兩正交的單位向量。性質：若A為正交矩陣，則A-1 = At也為正交陣，且| A = 1 ;若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣；3）可逆矩陣：可逆的性質4）初等矩陣：E通過一次初等變換得到的矩陣E（ij）,E（i（k）,E（ij（K） 例題：1. 假設A是可逆矩陣，則下列矩陣不一定可逆的是（D）A) AT( B) AATC) A2(D) A At1設A是n階矩陣，則下列矩陣為對稱矩陣的是（B ）A) A AT (B) ATAC) A 2D) (AT )2A 3E61、

2、已知 A3 二 E，則（A + E）-1 二A2 一 A + E21在下列矩陣中，不是初等矩陣的是（A B）.（注意定義：僅經過一次初等變換得到的矩 陣為初等矩陣）0 0 1、0 1 0、 1 0 2、0 0 1、(A).0 1 0; (B).0 0 1; (C).0 1 0; (D).0 1 00 0?1在下列矩陣中，不是正交矩陣的是（AC）.（注意：可通過行、列向量均為兩兩正交的單 位向量排除）0 0 1、0 1 0、 1 0 2、0 0 1、(A).0 1 0; (B).0 0 1; (C).0 1 0; (D).0 1 00 0? n t r n m、則A的行向量線性相關;mxn .、

3、對矩陣A ，存在m n， t r（A） m n、則A的列向量線性相關;mn2）關于A矩陣秩的描述：、r（A ） = n，mxn則列向量組線性無關A中有n階子式不為0且n +1階子式全部為0；（兩句話）、r(A ) n,mxn則列向量組線性相關A中有n階子式全部為0;3) 線性相關與無關的定理：若a ,a , ,a線性相關，則a ,a , ,a ,a必線性相關。(部分相關則整體相關。反向不成立)12s12s s +1若a ,a ,.,a線性無關，則a ,a , .,a必線性無關；(整體無關則部分無關。反向不成立)1 2s1 2s-1若a ,a ,.,a線性相關o其中一個向量一定能由其余向量線性表

4、示。(充要條件)1 2s若a ,a ,a線性無關，則a ,a,a ,a線性相關n a一定能由a ,a,a線性表示。1 2 s1 2s s+1s+112s2.假設向量組A:a ,a ,a與向量組B: P , P , P , P是等價的，則(C)1 2 3 1 2 3 4(B)向量組A必定線性無關(D)向量組B必定線性無關(B)行向量組必定線性無關(D)列向量組必定線性無關(A)向量組A必定線性相關(C)向量組B必定線性相關2. 矩陣 A ，則( C )3x4(A)行向量組必定線性相關(C)列向量組必定線性相關3.設向量組a ,a ,a ,a線性相關，向量組a ,a ,a線性無關，則(D)1234

5、123A)a 一定可以由 a ,a ,a 線性表示(B)a 一定可以由 a ,a ,a線性表示12342134C)a3定可以由 a ,a ,a 線性表示124(D)a4定可以由 a ,a ,a123線性表示4、矩陣的秩的性質矩陣秩的基本性質： 、0 r(A ) min(m,n)；mxn 、r(AT) = r(A)； 、若 B，則 r(A) = r(B)； 、若P、Q可逆，則r=r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩) 、max(r(A),r(B) r(A,B) r(A) + r(B)；(探 、r(A + B) r(A)+r(B)；(探) 、 r(AB) min(

6、r(A),r(B) ；( ) 、如果A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，且AB = 0，貝9：(探I、B的列向量全部是齊次方程組AX = 0解(轉置運算后的結論)；II、r(A) + r(B) r(A) + r(B) n ；例題2、設A , B是同階方陣，則下列表述錯誤的是(B )(A)R(A, B) R(A) + R(B)(C)R (AB) R (A)(D) R(AB)R(B)(12 3 8、已知 A =1 2 4，且 R(B )=3 ，3乂3求 R(AB) =2.11 2 5 )335、行列式的計算例題(A0 、8、已知A, B, C均是2階方陣，且丨A 1=1 B I二1,則分塊矩陣I C

7、2 B 丿 的行列式的值為4.5、設三階方陣A = (a ,a ,a )且IAI二1，則三階方陣B = (a ,a +a ,2a )1 2 3 1 1 2 3 的行列式的值是( D )(A)不確定(B) 0(C) 1(D) 212.若 A2 = E，則 I A I= 1 ( x )10.設三階方陣A的特征值為1,1,2則I A + A-11二_10.2A-i - A* | =2、設方陣A的行列式I A I= 2，貝卩I AtAAtI二8_.6、伴隨矩陣的性質nr (A) = n 、伴隨矩陣的秩：r(A*) = 1r(A) = n 1 ；0r (A) n 1 、伴隨矩陣的特征值：単(AX =入X

8、,A* = AA-0 A*X = X)；九九 、a* = IaIa-1、|A*| = |a”-1例題1、設A是n階可逆矩陣，A *是A的伴隨矩陣，則(A )(A)(A*)-1 =面B ) I A * I=I A I nC) R(A*) =1(D)A-1 =I A I A*5設A是4階矩陣，且R(A) = 2，則R(A*) =0且 R(A)二 2，則 r(a*)*) =0.6設a是4階矩陣，且| AI二1，則A的伴隨矩陣A *的伴隨矩陣(A*)*的秩等于_4.2. 若矩陣A可逆，則(A*)*必可逆(7 ).3. 設A是n階矩陣，則I A*I=I A In ( x ).6、齊次與非齊次的解B)A)

9、2E, 3E,4E(B)123C)E +g , E+E, E +E(D)121 2 2 3 3 14-設 J為齊次方程組Ax = 0的基礎解系則下列向量組不是基礎解系的是5.設Ax = b是非齊次線性方程組，Ax = 0是對應齊次線性方程組，則下列命題正確 的是( C )(B) 若Ax = 0有非零解，則Ax = b有無窮多解(C) 若Ax = 0僅有零解，則Ax = b有唯一解(C) 若Ax = b有唯一解，則Ax = 0僅有零解(D) 若Ax = b有無窮多解，則Ax = 0僅有零解4.設耳*是非齊次線性方程組Ax二b的特解，g ,g , g是對應齊次線性方程組123Ax = 0的基礎解系

10、，貝V ( B )(a) g,g ,g ,n*線性相關123(B) g,g ,g ,n*線性無關123(C) g ,g ,g *的線性組合是Ax二b的解123(D) g ,g ,g *的線性組合是Ax二0的解1237設E, E , E為非齊次方程組Ax = b的三個線性無關的解，且R(AJ = 2，則Ax = b的通解1 234為 x = k (g -g ) + k (g -g ) + g (不唯一)1 1 22 3 21設耳*為非齊次方程組Amxnx二b的解，E r(A)為對應齊次方程組Ax = 0的入1 2n-R (A)基礎解系，則向量組E, E,E ，耳*必定線性無關(7 ).1 2n-

11、R (A)2. 設齊次方程組A x二0有非零解，則0必是方陣A的特征值（7 ）.nxn3. 設方程組A x二b的系數行列式I A 1工0，則此方程組有唯一解（7 ）nxn4.任意齊次方程組A x二0必有非零解（X ）.mxn7、特征值與特征向量1.raaa111213aaa212223（aaa313233設3階矩陣A=丿的特征值為九J九2,九3，則下列論述錯誤的是（ D ）C)I AI= XX X123(D) A的特征值為X ?X ?X1233.設A是3階矩陣，0, 1，2是其特征值,A） A+ E 是可逆矩陣B ） p , p 線性無關12C）p,p ,p 線性相關123D） A 是不可逆矩陣r0A17、已知A的三個不同的特征值對應的特征向量為且a剛好是方程(B)九 +九 + X = a + a + a123112233（A） I A -XE I二（九一九）（九一九）（九一九）123p,p ,p 分別是屬于0， 1， 2的特征123向量，則下列表述錯誤的是（ C ）x2 2x = 0 的解，則 a = 1 1. 若矩陣A可逆，則A的特征值必不為0 （ 7 ）.2. 設方陣A滿足I A + E 1= 0，則-1是A的一個特征值（7）.3. 設X是A的特征值，則X必定是AT的特征值（A ）.