線性代數自考知識點匯總

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1、行列式1. 行列式的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等D二DT.性質2推論 1互換行列式的兩行（列），行列式變號.如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式的值為零.b cb cb c性質3中所有的元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式.aaaaaa111213111213kakaka=kaaa212223212223aaaaaa313233313233行列式的某一行（列）如推論2aaka如果行列式中有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零bcb ckb kc性質 4 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，則這個行列式等于兩個行列式之和.aaaaaaaaa111213111

2、213111213a + aa + aa + a=aaa+ aaa21 2122 222323212223212223aaaaaaaaa313233313233313233如把行列式的某一行（列）性質5值不變.的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）對應的元素上去，行列式的aaaaaa111213111213aaa=aaa212223212223aaaa + kaa + kaa + ka313233311132123313如2. 余子式與代數余子式 在n階行列式中,把元素a所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素a的余子式,ij ij記作Mi，A ji=(1)i+jMjij叫做

3、元素 a 的代數余子式ijaaa111213aa如aaa ，兀素a的余子式為M =11122122232323aaaaa3132313233aa兀素a的代數余子式為A=(1)2+sM =1112232323aa31323. 行列式按行（列）展開法則定理 1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即D = a A + a A +i1 i1i 2 i 2+ a A 或 D = a A + a A +in in 1j 1j2 j 2j+a Anj nj(i = 1,2, n;j = 1,2 n)a11aa 1213如aaa=a A + a A + a A21222311

4、1112121313aaa313233定理 2 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即a A + a A + a A = 0,或 a A + a A + a A = 0 i H j.i1 j1i2j2in jn1j 1j 2j 2 jnj nj ,(i = 1,2, n;j = 1,2n)4.行列式的計算a（1）二階行列式iiaa2）三階行列式aaa111213aaa =aa a + a aa+aaa-aaa-a a a - a a a2122231122 331223 3113 21 321322 3112 21 3311 23 32aaa313233

5、九九11( 3 )對角行列式人2=九九九，2=（-1廣m-1）九九九12n12n九九 nnaaaa1111 121naaaa( 4 )三角行列式212222 2na aa1122nn aaaa n1n2nnnnaaaa111,n - 11n1naaaan( n 1 )212,n -12,n -12n=(-1) 2 a aa.-1n 2,n -1n1aaaa n1 n1n2nn2112 = a a - a aa 11 22 12 21225）消元法：利用行列式的性質，將行列式化成三角行列式，從而求出行列式的值.（6）降階法：利用行列式的性質，化某行（列）只有一個非零元素，再按該行（列）展開，通過

6、降低行列式的階數求出行列式的值.7）加邊法：行列式每行（列）所有元素的和相等，將各行（列）元素加到第一列（行，）再提出公因式，進而求出行列式的值.矩陣1. 常見矩陣1）對角矩陣：主對角線以外的元素全為0的方陣，稱為對角矩陣.記作A.2）單位矩陣：主對角線上的元素全為 1 的對角矩陣，稱為單位矩陣.記作 E.3)三角矩陣：對角線以下的元素全為 0 的方陣.如廠a11a12a22a、Ina2na丿nn下三角矩陣：對角線以上的元素全為 0 的方陣.如廠a11a21a22an1an2a丿nn5）對稱矩陣：設A為n階方陣，若At = A，即a = aij ji則稱A 為對稱矩陣.6）反對稱矩陣：設A為n

7、階方陣，若At =-A，即a =- a ，貝卩稱A為反對稱矩陣. ij ji7）正交矩陣：設A為n階方陣，如果AAt = E或AtA = E，則稱A為正交矩陣.2. 矩陣的加法、數乘、乘法運算（1）矩陣的加法廠abc 廠abc、廠 a + ab + bc + c、如+=j d ef丿& e* d + de + ef + f丿注：只有同型矩陣才能進行加減運算; 矩陣相加減就是對應元素相加減.（2）數乘矩陣廠 a b c、廠 ka kb kc、jdef 丿j kd ke kf 丿注：數乘矩陣就是數乘矩陣中的每個元素.(3)矩陣的乘法：設A = (a丿,B = (b丿j mx sj sxn,規定Ab

8、 = C = (c丿ij mxn其中c = a b + a b + a b =2 a b （i = 1,2 ,m, j = 1,2 ,n.）ij i1 1 j i2 2 jis sjik kjk=1注：左矩陣A的列數等于右矩陣B的行數； 左矩陣A的第i行與右矩陣B的第/列對應元素乘積的和是矩陣乘積C的元素c .ij 左矩陣A的行數為乘積C的行數，右矩陣B的列數為乘積C的列數. 如行矩陣乘列矩陣是一階方陣（即一個數），即(a、(a baba b 1111 1111 1211 1sa(bbb )=a baba b2121 1121 1221 1s11 121sV a 丿 V a bab a b 丿

9、s1s1 11s1 12s1 1s即3. 逆矩陣(aa11 12a )1s(b )11b21=a b + a b +ii ii12 21ab1s s1巴丿列矩陣乘行矩陣是s階方陣,設 n 階方陣 A、B，1)二階方陣求逆，設A =，則 A-1 =占 A* =1lAl(dad bc Vc兩調一除法).若AB=E或BA=E，則A, B都可逆，且At二B,B t = A(a1/( a 1、1a1a 1(2)對角矩陣的逆2=2Va丿Va 1 丿n、n(a )1/a 11na2=a 12V a丿a 1V n 丿Va11丿3)分塊對角陣的逆(AJ1A21( A 1J1A -12vAeVA -1 丿siA

10、1 2A24)一般矩陣求逆，初等行變換的方法：丿(A E )ert (EA1)4 方陣的行列式 由n階方陣A的元素所構成的行列式(各元素的位置不變)叫做方陣A的行列式.記作|A|或det (A).5 矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換（1）互換兩行（列）；（2）數乘某行（列）；（3）某行（列）的倍數加到另一行（列）.6. 初等矩陣 單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.(0 0 110 0 X10 0、1 0都是初等矩陣.0 1丿7. 矩陣的秩 矩陣A的非零子式的最高階數，稱為矩陣A的秩記作R （A）或r （A）.求矩陣的秩的方法：（1）定義法：找出A中最高階的非

11、零子式，它的階數即為A的秩.(2) 初等行變換法：A ERT行階梯形矩陣，R(A)=R (行階梯形矩陣)=非零行的行數.8. 重要公式及結論( 1)矩陣運算的公式及結論A + B = B + A,(A + B ) + C = A + (B + C ),九(A + B)=九 A + 九B(AB 丿C = A(BC),(A + B )C = AC + BC, 九(AB)=(九A)B = A(九 B )Ak1 - Ak2 = Ak1 + k2 ,( Ak1 )k2 = A% ,(九 A )k =九k Ak , Ek = E(AB)k = A(BAXt B, EA = AE = A, A0 = EA,

12、 (A+B)T =AT +BT,(A*)T = (At ),(AB = B * A*,(九 A )t =九 At ,AA* = A* A = |A|E(AB)T = BT ATAt= |A|,|X A|= X n|A|,I AB = |A|B =|BA|,An= |A|”,|A + B 豐|A| +|b|矩陣乘法不滿足交換律，即一般地ABHAB;矩陣乘法不滿足消去律，即一般地若AB=AC，無B=C；只有當A可逆時，有B=C. 一般地若AB=O,則無A=O或B=O.（A + B ）2 ?A2 + 2AB + B2Z7（2）逆矩陣的公式及定理(AB)-1 = B-1A-1 ,(AT-1 = (A

13、-1 TO = A,（九 A= 1 A-1,尢A* = |A| A-1|A- = |A -1,|A = |A|n-1,A-1 = jA A*,(A*) = CA-1) =A,A-k = (A-1)klAlA可逆O |A |H0O AE （即A與單位矩陣E等價）（3）矩陣秩的公式及結論R(O) = 0, R(A ) minm,n ,R( At ) = R( A),R( kA) = R(A),k 豐 0|A| 豐 0 O R(A) = n,R(A + B) R(A)+ R(b)R( AB ) WR( A ), R( AB ) WR( B ). 特別地，當A可逆時，R(AB)=R(B)；當B可逆時，

14、R(AB)=R(A).A B o AB n R(A)= R(B )即等價矩陣的秩相等或初等變換不改變矩陣的秩.9. 矩陣方程(1)設A為n階可逆矩陣，B為nXm矩陣，則矩陣方程AX=B的解為X = AiB ；解法：求出A-i，再計算A-iB ； (A B) ERT T(E X).(2)設A為n階可逆矩陣，B為mXn矩陣，則矩陣方程XA=B的解為X = BA-1 ；解法：求出A-1，再計算BA-1 ；r ar E IB J1 x丿10. 矩陣間的關系(1) 等價矩陣：如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B,那么稱矩陣A與B等價.即存在可逆矩陣P，Q,使得PAQ=B.性質：等價矩陣的秩相等.(2)

15、 相似矩陣：如果存在可逆矩陣P,使得P-1AP二B，那么稱A與B相似.性質：相似矩陣有相同的特征多項式，相同的特征值，相同的行列式，相同的跡.(3) 合同矩陣：如果存在可逆矩陣P,使得PtAP二B，那么稱A與B合同.性質：合同矩陣的秩相等.向量空間1. 線性組合(1) 若a =k0 ,則稱向量a與0成比例.(2) 零向量0是任一向量組的線性組合.( 3)向量組中每一向量都可由該向量組線性表示2. 線性相關與線性無關(1) 單獨一個向量線性相關當且僅當它是零向量.(2) 單獨一個向量線性無關當且僅當它是非零向量.(3) 兩向量線性相關當且僅當兩向量對應成比例.(4) 兩向量線性無關當且僅當兩向量

16、不對應成比例.(5) 含有0向量的向量組一定線性相關.(6) 向量組a ,a , ,a線性相關的充分必要條件是i 2 m 齊次線性方程組k a + k a + k a = 0有非零解.i i 2 2m m 以向量組為列作的矩陣G O , O)的秩n時，m個n維向量一定線性相關.定理1：向量組a1, a2,am (mM2)線性相關的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由 其余 m-1 個向量線性表示.向量組線性無關的充分必要條件是向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示定理2：如果向量組A：。12 ,ar線性無關，而向量組ai，a2 ,ar，a線性相關，貝衍可由 A 線性表示，且表示式唯一

17、.定理 3：設向量組 A： a ,a ,a , B：a ,a ,a ,a ,a1 2r1 2r r+1m若A線性相關，則向量組B也線性相關；反之，若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關.(即部分相關，貝整體相關；整體無關，貝部分無關) .定理4：無關組的截短組無關，相關組的接長組相關.3. 極大無關組與向量組的秩定義1 如果在向量組 T 中有 r 個向量 a1 , a2 , ar ，滿足條件： 向量組 a1 , a2 , ar 線性無關，Va e T , a ,a ,a ,a線性相關.12r那么稱向量a1?a2 ,., ar是向量組T的一個極大無關組.定義 2 向量組的極大無關組中所含向量的

18、個數，稱為向量組的秩.定義 3 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。結論 1 線性無關的向量組的極大無關組就是它本身。結論2如果向量組的秩是r，那么該向量組的任意r個線性無關的向量都是它的一個極大無關組。定理1設向量組人門門,叫；及向量組Bibb?,bs，如果組A能由組B線性表示，且組A線性 無關，則rWs.推論 1 等價的向量組有相同的秩.定理2矩陣的秩=矩陣列向量組的秩=矩陣行向量組的秩.4. 向量空間定義1設V為n維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數兩種運算封閉，那么就 稱集合 V 為向量空間.5. 基與向量在基下的坐標定義2設V是向量空間

19、，如果向量組a】，a?,ar，滿足條件：（1）向量組 a1, a2 , ar 線性無關；（2）Va g T，a ,a ,a ,a 線性相關.1 2 r那么稱向量組a1,a2 ,ar是向量空間V的一個基，基中所含向量的個數稱為向量空間V的維數，記作dimV,并稱V為r維向量空間.定義3設向量組a7, a2，,a是向量空間V的一個基，則V中任一向量x可唯一地表示為基的一個12r線性組合，即x二九a +九a +九a，1 12 2r r稱有序數組九，九，九為向量x在基a7, a2，,a下的坐標.1 2 r12 r線性方程組1. 線性方程組解的判定（1）線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是它的系數矩陣

20、A和增廣矩陣（A,b）的秩相同，即 R（A）=R（A，b）.當 R（A）=R（A ， b）=r 方程組 AX=b 有惟一解的充分必要條件是 r=n; 方程組AX=b有無窮多解的充分必要條件是r n.（2）方程組AX= b無解的充分必要條件是R HR（A，b）2. 齊次線性方程組有非零解的判定（1）齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數矩陣A的秩尺V未知量的個數n.（2）含有n個方程，n個未知量的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組的系數行 列式等于零.（即AI=0）（3）齊次線性方程組AX=0中，若方程的個數m未知量的個數n，則方程組有非零解3. 齊次線性方程組解的性質

21、（1） 若g總 是Ax=0的解，則g +g也是Ax=0的解；1 2 1 2（2）若 g 是 Ax=0 的解，則 kg 也是 Ax=0 的解.4. 齊次線性方程組的基礎解系與通解（1）解空間齊次線性方程組 Ax=0 的全體解向量所組成的集合， 是一個向量空間， 稱為方程組Ax=0 的解空間.記作 V,即 V= x I Ax=0, xWR .（2）基礎解系齊次方程組AX=0的解空間V的一個基，稱為齊次方程組AX=0的一個基礎解系.基礎解系中解向量的個數是n-r (A)方程組AX=0的任意n-r個線性無關的解都是AX=0的基礎解系.(3)齊次線性方程組的通解為k g+ k g+ k g ，其中g上,

22、上 是Ax=0的一個基礎解系.112 2n - r n 一 r1 2n - r5. 非齊次線性方程組解的性質(1) 若耳,n是Ax=b的解，則耳-n是Ax=o的解；1 2 1 2即Ax=b的任意兩個解的差必是其導出組Ax=0的解.(2) 若n是Ax=b的解，g是Ax=0的解，則n + g是Ax=b的解.即 Ax=b 的任意一個解和其導出組 Ax=0 的任意一個解之和仍是 Ax=b 的解.6. 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組AX=b的通解為k g + k g + + k g +n*1 1 2 2n -r n -r其中g ,g ,g 為對應的齊次線性方程組Ax=O的一個基礎解系，n *為非

23、齊次線性方程組AX=b的1 2n-r任意一個解，稱為特解.方陣的特征值x(、y 111設x =xy2，y =2x J 0，r 是f 的秩） r r i1y = z1昶11yp+11y zd p甲p1z巴+i刊，得 f = z2 + z2 - z21pp+1-Z2，稱為二次型f = xTAx的規范形.r注：規范形是唯一的.其中正平方項的個數p稱為f二xtAx正慣性指數，負平方項的個數r-p稱為f二xTAx負慣性指數，它們的差p-(r-p)=2p-r稱為f二xTAx符號差.3. 正定二次型二次型f = xtAx正定O矩陣A正定O A的特征值全為正O A的各階順序主子式都為正.二次型f = xtAx負定O矩陣A負定O A的奇數階順序主子式為負，偶數階順序主子式為正.