測量誤差的基本知識-薛海兵.

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1、測量誤差的基本知識建筑工程系建筑工程系 薛海兵薛海兵誤差基本知識n重點n誤差的分類及特點n中誤差相對誤差n誤差傳播定理 n難點n誤差傳播定理6.1 測量誤差概述 1.什么叫誤差？l誤差觀測值真值 LX 2.研究誤差的目的l怎樣提高精度？l怎樣去滿足精度進行施測？3.誤差產生的原因l儀器、設備構造不完善l觀 測 者眼睛的分辨率60l外 界 條 件氣溫、大氣折光、風力等影響4.誤差的分類 觀測成果的精確程度簡稱為精度，觀測精度取決于觀測時所處的條件。依據觀測條件來區分觀測值，可分為：l同等精度：觀測條件相同的各次觀測 l不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測l在相同觀測條件下測量誤差可分為：過失誤

2、差（粗差）：觀測者錯誤引起 問題（1）：甲建筑公司在鄭州大學行政樓施工中進行變形觀測，一次用DS3儀器測量A點的沉降量為1.3mm，請問這次測量結果是不是過失誤差？系統誤差：誤差的大小符號按一定的規律變化l產生的原因：外界條件、儀器設備、觀測方法、計算手段l消除、減弱系統誤差方法：檢校儀器 求改正數 對稱觀測偶然誤差：誤差的大小、符號無一定的規律變化，但符合某一統計規律l產生的原因：人的感覺器官、儀器的性能l處理方法：進行多余觀測 有了多余觀測，可以發現觀測值中的錯誤，以便將其剔除和重測。有了多余觀測，觀測值之間必然產生矛盾（往返差、不符值或閉合差等），差值如果大到一定的程度，就認為觀測值中有

3、錯誤，或者說誤差超限，需要返工重測。差值如果不超限，則按偶然誤差的規律加以處理，稱為“閉合差的調整”問題（2）判斷下列誤差各屬于哪些誤差：數據記錯、尺子顛倒、溫度改正、尺長改正、大氣折光誤差、視準誤差、度盤偏心誤差、豎軸誤差、尺子零點誤差、對中誤差、照準誤差、估讀誤差5.偶然誤差的特性 n 現重復觀測了多個三角形內角和，得到真誤差 iLi180，統計見表5-1，從這個列表中，我們可以看出偶然誤差的幾個特性：有界性密集性對稱性；抵償性6.偶然誤差的分布曲線 誤差分布曲線一條正態分布曲線，可用正態分布概率密度函數表示：5.2衡量精度的標準 一、精度的含義n所謂精度，是指誤差分布的集中與離散程度。如

4、誤差分布集中（曲線a），則觀測精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測精度就低。二、平均誤差n/nn越小，精度越高三、中誤差 nm越小，精度越高p例1、設甲乙兩組觀測，真誤差為：甲：4，3 ，0 ，2，4 乙：6，1 ，0 ，1 ，5 試比較兩組的精度。nm1、平均誤差：甲乙2.6 甲組的離散區間（4，4）乙組的離散區間（5，6）所以甲組精度高。2、中誤差：所以甲組精度高n 關于中誤差要注意兩點 中誤差（m）與真誤差（）不同，它只是表示某一組觀測值的精度指標，并不等于任何觀測值的真誤差。若為等精度觀測，那么組中每個觀測值的精度皆為m。中誤差的概率含義是：對任一觀測值L的真誤差，落在區間m，+m

5、的概率是0.68。四、相對誤差 p例2、假設現在丈量了兩段距離：甲：1000.01米；乙：2000.01米到底那組的精度高些呢？n如果從中誤差來看，兩組的精度相等，但這樣顯然不合理。因為實際上距離測量的誤差與長度相關，距離越大，誤差的累積就越大,這就需要引入相對誤差：nK=m/D （注意化為分子為1的形式）K甲1/10000,K乙1/20000,乙組精度高。p例3、12835183.8；2 30815123.8，那組的精度高？五、極限誤差 lP-mm0.683lP-2m2m0.954lP-3m3m0.997l我們可以看到，對于真誤差來說，它的值落在區間3m，3m幾乎是肯定的事。因此在測量工作中

6、，我們常常取三倍中誤差作為偶然誤差的容許值（或限差），如果精度要求較高時，就可以取兩倍中誤差作為限差，即：l容士 2|m|或 容士3|m|5.3 誤差傳播定律n誤差傳播定律：是指描述觀測值中誤差與其函數中誤差之間關系的定律 一、一般函數的中誤差 設Z=f(x1,x2,xn)，其中x1,x2,xn屬于獨立自變量（如直接觀測值），他們的中誤差分別為m1,m2,mn則函數Z的中誤差為：2222222121)(.)()(nnzmxfmxfmxfm二、特殊函數的中誤差1、倍數函數：Z=kx 中誤差：mz=kmx 2、和差函數：Z=x1x2xn 中誤差：3、線形函數：Z=k1x1k2x2knxn 中誤差：

7、22221.nzmmmm2222222121)(.)()(nnzmkmkmkmp例4：在ABC中，測量得a137.2850.012m A=56 351838,B=38303226 求b及其中誤差？解：b=asin B/sin A=137.285sin 383032/sin56 3518102.402dbb/a dab ctan B(d B/)b ctan A （d A/）=206265mb（b/a）ma（b ctan B）（mB/)（b ctan A）（mA/)0.0000498mb0.022，則b102.402 0.022mp 例5：在O點觀測了3個方向，測得方向值l1、l2、l3，設各方向

8、的中誤差均為m，求m、m和m。l2l1，l3l2，（錯誤計算：因為和并非獨立的觀測值，因為它們都用到了方向值l2）正確計算應為：l3l1，從這道題應該注意到中誤差傳播定律的前提是x1、x2xn為相互獨立的觀測值。l1l2l3小結正確列出函數式；檢查觀測值是否獨立；求偏微分并代入觀測值確定系數；套用公式求出中誤差。p 思考題：一個邊長為l的正方形，若測量一邊中誤差為ml1cm，求周長的中誤差？若四邊都測量，且測量精度相同，均為ml，則周長中誤差是多少？5.4等精度直接觀測值等精度直接觀測值1.算術平均值原理n假設對某量X 進行了n次等精度的獨立觀測，得觀測值l1，l2，ln n算術平均值為：L=

9、(l1+l2+ln)/n=l/nn算術平均值原理:當n時，L=Xn證明：iliX,=l nX，/n=l/n X，根據偶然誤差第4特性即證n算術平均值是觀測量的“最可靠值最可靠值”，或者叫做“最或是值最或是值”。2、或然誤差n 或然誤差：viliLn 或然誤差特性：v=03、由或然誤差求中誤差：（白塞爾白塞爾公式）例：見教材中的例子4、算術平均值中誤差：從這個公式可以看出，要使算術平均值中誤差變小，可以通過兩個方面來實現：一是增加觀測次數n，但觀測次數也不可能無限多，而且增加到一定次數后對算術平均值中誤差 的影響不明顯，所以一般n取24；二是減小每次觀測時的中誤差m，也就是要改善觀測條件，例如用

10、精度更高的儀器，提高觀測者的技能、責任心，在氣象條件好的環境下觀測。5.5誤差傳播定律的應用誤差傳播定律的應用 一、水準測量的誤差分析 l每站的高差為：h=a-b；m讀 3mml一站的高差中誤差：m站=4mml線路n站，則總高差：l取3倍中誤差為限差，則普通水準路線的容許誤差為：二、水平角觀測的誤差分析l用DJ6經緯儀進行測回法觀測水平角，那么用盤左盤右觀測同一方向的中誤差為6，l所以瞄準一個方向的中誤差為：l上半測回角值：半ba l半測回角值差：l半測回差取2m 34，考慮到其它不利因素，所以取半測回差應該小于40。l一測回角值：（上 下）/2l一測回角值精度m=8.5 l測回角值之差：=1

11、-2，m=12 l測回差取2m=24,規范測回差限差24 p例：為了讓某一角度的精度達到4,問用DJ6經緯儀需要測幾個測回？l解：ln（8.5/4）4.5l所以需要測5個測回p假定精度達到1.7,用DJ6經緯儀測幾個測回？如果用DJ2經緯儀需要測幾個測回？lDJ6:n（8.5/1.7）25測回lDJ2:n（2.82/1.7）2.8,即3測回5.6加權平均值及其中誤差p例：假設對一個水平角進行了兩組等精度的觀測，其中甲組觀測了2測回，測得水平角分別為l1、l2，計算得平均L1=(l1+l2)/2；乙組觀測了4測回，測得水平角分別為l3、l4、l5、l6,計算得平均L2=(l3+l4+l5+l6)

12、/4。那么這個水平角應怎樣計算？nL=(L1+L2)/2nL=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)一、非等精度觀測及觀測值的權p上例中：甲組觀測值的算術平均值精度：而乙組觀測值的算術平均值精度為：m2m1，也就是L2的精度比L1要高。如果要將L1、L2進行平均，應該是精度高的數值所占的“比重”大一些，精度低的數值所占的“比重”應該小一些，這個“比重”就是通常我們所說的“權”。1、權的定義l 權：觀測值精度的可靠程度。l“權”與中誤差成反比，觀測值或觀測值函數的精度越高，其權越大。lPi=/mi （是常數）2、單位權 l在Pi=/mi中，當Pi=1，Pi為單

13、位權Pi=1時相應的觀測值，稱單位權觀測值單位權觀測值;Pi=1時，mi，當權為1時，常數等于觀測值的中誤差，所以稱為單位權中誤差單位權中誤差（用m0表示）3、定權的常用方法 等精度觀測值算術平均值的權：m（觀測值中誤差），則Pnn水準測量的權：水準路線的權與路線長度成反比，即PiK/Li 二、加權平均值及其中誤差 1.加權平均值 p例：L=(2L1+4L2)/(2+4)2.單位權中誤差（m0）3、加權平均值的中誤差（M0）M0p例：如圖，已知L14Km，L22.5Km，L38.5Km 10nPVVnPm0Pm HA78.324m，h1-7.980m；HB64.347m，h25.992m；HC24.836m，h345.516m 求P點的高程平均值及其中誤差？加權平均值:HP=PL/P=70.343m單位權中誤差：m0=9mm加權平均值的中誤差：M0=3.2mm水準路線結點P高程 路線長權PLV(mm)PvvL170.34442.5175.8612.5L270.3392.54281.356-464L370.3528.51.284.422997.270.3437.7541.638163.7