函數及基本初等函數4函數的奇偶性與周期性

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1、注：若注：若函數函數 f(x)不具有上述性質不具有上述性質,則則稱稱 f(x)不具有奇偶性不具有奇偶性;若若函數同時具有上述兩條性質函數同時具有上述兩條性質,則則 f(x)既是奇函數既是奇函數,又是偶函數又是偶函數.例例:函數函數 f(x)=0(xD,D關于原點對稱關于原點對稱)是是既奇又偶函數既奇又偶函數.相同相同 相反相反 奇函數奇函數 偶函數偶函數 奇函數奇函數（3）奇函數奇函數:f(0)=0(0 在定義域中在定義域中)偶函數偶函數:f(x)=f(|x|)3 3、函數奇偶性的判定方法、函數奇偶性的判定方法 （1）.根據定義判定根據定義判定:首先看函數的定義域是否關于首先看函數的定義域是否

2、關于原點對稱原點對稱,若不對稱若不對稱,則函則函數是非奇非偶函數數是非奇非偶函數;若對稱若對稱,再判定再判定 f(-x)=f(x)或或 f(-x)=-f(x).（2）.利用定理利用定理,借助函數的圖象判定借助函數的圖象判定:（3）.性質法判定性質法判定:在公共定義域內在公共定義域內,兩奇函數之積兩奇函數之積(商商)為偶函數為偶函數;兩偶函數之積兩偶函數之積(商商)也為偶函數也為偶函數;一奇一偶函數之積一奇一偶函數之積(商商)為奇函數為奇函數.(注意取商時分母不為零注意取商時分母不為零!)!)有時判定有時判定 f(-x)=f(x)比較困難比較困難,可考慮判定可考慮判定 f(-x)f(x)=0或判

3、定或判定 =1.f(x)f(-x)4.一些重要類型的奇偶函數一些重要類型的奇偶函數 函數函數f(x)axax(a0且且a1)為為_函數，函函數，函數數f(x)axax(a0且且a1)為為_函數；函數；函數函數f(x)loga (a0，且，且a1)為奇函數；為奇函數；f(x)loga(x )(a0，且，且a1)為奇函數為奇函數偶偶奇奇例例2 思路思路分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數，分段函數奇偶性的判斷，要分別從系的函數，分段函數奇偶性的判斷，要分別從x0或或x0來尋找等式來尋找等式f(x)f(x)或或f(x)f(x)成立，只成立，只有當對

4、稱的兩個區間上滿足相同關系時，分段函數才有當對稱的兩個區間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的單調性。具有確定的單調性。例例32010保定模擬保定模擬 已知函數已知函數yf(x)是定義是定義在在R上的不恒為零的函數，且對于任意上的不恒為零的函數，且對于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，則對函，則對函數數f(x)，下列判斷正確的是，下列判斷正確的是()A f(x)為奇函數為奇函數B f(x)為偶函數為偶函數C f(x)為非奇非偶函數為非奇非偶函數D f(x)既是奇函數又是偶函數既是奇函數又是偶函數B題型二題型二 函數奇偶性的性質及其應用函數奇偶性的性質及其

5、應用2.2010江蘇卷江蘇卷 設函數設函數f(x)x(exaex)(xR)是偶函數，則實數是偶函數，則實數a_.思路思路 利用奇偶函數的性質，得到參數利用奇偶函數的性質，得到參數a滿足的方程滿足的方程 1 解析解析 本題考查函數的基本性質中的奇偶性，該知本題考查函數的基本性質中的奇偶性，該知識點在高考考綱中為識點在高考考綱中為B級要求級要求設設g(x)exaex，xR，由題意分析，由題意分析g(x)應為奇函數應為奇函數(奇函數奇函數奇函數偶函數奇函數偶函數)，xR，g(0)0，則，則1a0，所以，所以a1.D f(xT)f(x)周期性周期性 (1)定義：如果存在一個非零常數定義：如果存在一個非

6、零常數T，使得對于函，使得對于函數定義域內的任意數定義域內的任意x，都有，都有_，則稱，則稱f(x)為周期函數，其中為周期函數，其中T稱為稱為f(x)的周期若的周期若T中存在一中存在一個最小的正數，則稱它為個最小的正數，則稱它為f(x)的的_ (2)性質：性質：f(xT)f(x)常常寫作常常寫作f f ；f(x)的周期為的周期為T，則函數，則函數f(wx)(w0)也是周期函數，也是周期函數，且周期為且周期為_最小正周期最小正周期 112fxafxfxafx 求 下 列 函 數 的 周 期：12xabf axf bxx已知函數y=f有則函數關于對稱 2,02abf axf bx 則函數關于對稱,

7、22ab caxbx若f+f=c函數關于對稱 12,0,0 xababab函數y=f有對稱軸為x=a,x=b則函數周期T=2對稱中心為則函數周期為T=2 3,0aab關于,x=b對稱,則函數的周期為T=4 1yfx特 殊 地：函 數為 偶 函 數 且 x=a關 于 對 稱，則 函 數 的 周 期 為 T=2a 2yfx函數是奇函數且關于x=a對稱，則函數的周期為T=4aB練練3.3.定義在定義在R R上的函數上的函數y yf f(x x)滿足滿足f f(x x)f f(x x)，f f(1(1x x)f f(1(1x x)，當，當 x x1,11,1時，時，f f(x x)x x3 3，則，則

8、f f(2 009)2 009)的值是的值是()A A1 1 B B0 0 C.1 D C.1 D2 2 解析解析：由已知條件：由已知條件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(x)，則函數，則函數yf(x)是周期為是周期為4的周的周期函數期函數f(2009)f(2009)f(45021)f(1)1.答案：答案：A已知已知f(x)是定義在是定義在R上的函數，且滿足上的函數，且滿足f(x)f(x1)1，當，當x0,1時，有時，有f(x)x2，現有三個命題：現有三個命題：f(x)是以是以2為周期的函數；為周期的函數；當當x1,2時，時，f(x)x22x；f(x)是偶函數是偶函數其中正確命題的序號是其中正確命題的序號是_解析：解析：正確正確f(x)f(x1)1，(1)f(x1)f(x)1.(2)(2)(1)得得f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，則則f(x2)f(x)，f(x)是以是以2為周期的函數為周期的函數正確當正確當x1,2時，時，x10,1，f(x)1f(x1)1(x1)22xx2(x0,1時，時，f(x)x2)錯誤當錯誤當x1,0時，時，x10,1f(x)1f(x1)1(x1)2，f(x)x22x，又又x0,1，f(x)(x)2x2，f(x)f(x)，f(x)不是偶函數不是偶函數答案：答案：