函數極限的運算(IV)

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1、高等院校非數學類本科數學課程第三章 函數的極限與連續性本章學習要求：了解函數極限的概念，知道運用“”和“X”語言描 述函數的極限。理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數極限與無窮小量間的關系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的 函數極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極 限求相應的函數極限。理解函數在一點連續以及在區間上連續的概念，會判斷函數 間斷點的類型。了解基本初等函數和初等函數的連續性以及 閉區間上連續函數的性質（介值定理

2、、最值定理）。理解冪級數的基本概念。掌握冪級數的收斂判別法。第三章 函數的極限與連續性第三節 極限運算法則 極限運算法則的理論依據)(limaxf)()(xaxf)0)(x 依據無窮小量的運算法則定理法則 ,)(lim ,)(lim 則存在設bxgaxf .)0,(,)(,)(bxgaxf 在該極限過程中,)()()()(baxgxf ,)()()()(baabbaxgxf .)0(,)()()(bbbabbababababaxgxf和的極限等于極限的和.乘積的極限等于極限的乘積.商的極限等于極限的商(分母不為零).差一點!結論成立的條件.設在某極限過程中,函數 f(x)、g(x)的極限 li

3、m f(x)、lim g(x)存在,則)0)(lim()(lim)(lim)()(lim .4xgxgxfxgxf)()(lim)(lim .2為常數kxfkxfk)(lim)(lim)()(lim .3xgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim .1xgxfxgxf )(lim)(lim .5 nnxfxf )(lim)(lim ,)()(.6xgxfxgxf則若在極限過程中法則 1、3 可推廣至有限個函數的情形.法則6 中)()(xgxf)()(xgxf換成其極限仍為 .)(lim)(limxgxf注：由極限運算理論根據中的定理及無窮小量的運算法則,容易證明上述各公式.證明請同學們

4、課后看書中的 復合函數的極限 .)()()(復合而成及是由設xuufyxfy :由極限的概念可知 .),U(0uu有 ,),(U ,0 ,0 ,)(lim00時當即uuaufuu .),U(ay有 ,),(U ,0 ,0 ,)(lim000時當即xxuxxx ),U(),(U 0,000uuxx .),U(ay7.復合函數的極限計算 .)()()(復合而成及是由設xuufyxfy ,)()(U ,)(lim 0000又有內且在若uxxuxxx .)(lim)(lim ,)(lim000aufxfaufuuxxuu則注意這個條件,缺了它定理不一定成立.,)(0在定義域內的值是的“自變量”是函數u

5、uufu證由極限的定義,即要證明：,|0 ,0 ,00有時使當xx.|)(|)(|aufaxf ,0 ,0 ,)(lim 0故由aufuu ,|0 0時當uu.|)(|auf ,0 ,0 ,)(lim 100故對上面的又uxxx ,|0 10時當xx .|)(|00uxuu則取中設在 ,min ,)(),(U 21020 uxx,)(|0 ,|0 000uxuuxx時當.|)(|,auf從而綜上所述：,|0 ,0 ,00時當xx|)(|)(|aufaxf .)(lim)(lim 00aufxfuuxx即 例例.,0)(,1)(為無理數為有理數即互質與設xxqpqpxqxf.0 0,0 ,1 )

6、(uuug0.)0,(,0)(lim ,0)(lim0000uxugxfux .)(lim 0不存在但xfgx請課后想想,為什么?解例1.1)31)(21)(1(lim 0 xxxxx求 .,0lim 0不能直接用公式計算所以由于xxxxxxx1)31)(21)(1(lim 0 xxxxx161161lim320 .6)6116(lim20 xxx 初等展開解例2 .22325lim 2xxx求 .,0)22(lim 2故不能直接用公式計算由于xx)22)(22)(325()22)(325)(325(lim22325lim22xxxxxxxxxx)42)(325()22)(42(lim2xxx

7、xx .32)325(lim)22(lim32522lim222xxxxxxx 有理化解例3 .)2(1lim xxxx求)()2(1lim xxxxxxxxxxxx2)2)(2(1limxxxx2 12lim .1111111 2limxxx 有理化解例4)14135115131(lim2nn求)12)(12(1141 2nnn)12)(12(175153131114135115131 2nnn1211217151513131121nn121121n12112121nn .21121121lim)14135115131(lim2nnnn故 部分分式法例5mnmnbamnbxbxbaxaxan

8、nnmmmx ,0lim00110110證明)()(lim110110nnnmmmxxbxbbxxaxaax原式)(limxGxnmx由，00)(limbaxGx，mnmnmnxnmx ,1 ,0lim即得所證.證解例6.35123lim2232xxxxxx求35123lim2232xxxxxx3163252122223223解例7 .)12(lim 3xxx求121lim 3xxx)12(lim 3xxx01121lim323xxxx或者用下面的方法)12(lim3xxx)112(lim323xxxx 涉及到兩個無窮大量的差解例8.lim sin0 xxe求 ,0sin ,0 而時因為xux

9、 ,1lim0uue所以,由復合函數求極限法則 .1limsin0 xxe這類復合函數的極限通?？蓪懗?.1lim0sinlimsin00eeexxxx解例9 .lim cosxxx求xxxxxexlncoscoslimlim .1lnlncoslimeexxx這是求冪指函數極限常用的方法:.)(ln)(lim exp)(lim)(xfxxfx.lim)(lim )(ln)(lim)(ln)()(xfxxfxxeexf即解例10 .1211lim 31xxxx求這是兩個無窮大量相減的問題.我們首先進行通分運算,設法去掉不定因素,然后運用四則運算法則求其極限.11lim1211lim32131x

10、xxxxxx .3211lim21xxxx解例11,0 ,0 ,1)(xbxxexfx問 b 取何值時,)(lim0 xfx存在,并求其值.若 由函數的極限與其左、右極限的關系,得 .2)(lim 0 xfx b=2,)(lim 0 xfx2)1(lim0 xxe,)(lim0 xfxbbxx)(lim0,解例12，Nnxxnx ,1)1(lim0并由此證明,1)1(lim0mnxxmnx其中,n,mN.求xxnx1)1(lim0 xxxnnnxnx1)!2)1(1(lim20nxxnnnnx)2)1(lim10令，11mxy則，1)1(myx，yxm1)1(1,)1()1(nmnyx當 x 0 時,y 0,故1)1(1)1(lim1)1(lim00mnymnxyyxxmnyyyymny1)1(1)1(lim0下面證明mnxxmnx1)1(lim0.變量代換例13解 .0)1(lim :,236baxxbax使下式成立確定常數 ),1(1 2362236bxaxxbaxx因為 ,0)1(lim ,lim 2362baxxxxx要而 ,0)1(lim 236bxaxx必須 ,1 :有代回原式由上式可得a ,0)1(lim236bxxx )1(lim 236xxbx故01)1(1lim4362326xxxxx .0,1ba