多元復合函數求導法和隱函數求導公式

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1、1一元復合函數的求導法則：一元復合函數的求導法則：)(),(xuufydxdydxdududy復習復習(1)設函數設函數),(),(yxvyxu在點在點),(yx處有偏導數處有偏導數,在點在點),(yx對對 x,y 的偏導數存在的偏導數存在,且且xzyz而函數而函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu可微可微,則復合函數則復合函數),(),(yxyxfzvuzxy鏈導法則鏈導法則xvvzxuuzyvvzyuuz(2)6.5 6.5 多元復合函數求導法和隱函數求導公式多元復合函數求導法和隱函數求導公式6.5.1 6.5.1 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則2若函數若函數)(),

2、(xvxu都在點都在點 x 處可導處可導,函數函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu處可微處可微,則復合函數則復合函數)(),(xxfz在點在點 x 處可導處可導,且且dxdvvzdxduuzdxdz全導數全導數特例特例1.zvux如果如果),(yxfz 而而),(xy則復合函數則復合函數)(,xxfz的的全導數全導數dxdyyzxzdxdz特例特例2.注意注意dxdz是在是在)(,xxfz對對x求導數求導數,xz是在是在),(yxfz 中視中視y為常量為常量,對對x求偏導求偏導,zxy3),(),(),(yxwyxvyxu情形情形(1),(wvufz xwwzxvvzxuuz),(y

3、xufz),(yxuyfyuufyz注意注意xz是在是在,),(yxyxfz中視中視y為常量為常量,對對x求偏導求偏導,xf是在是在),(yxufz 中視中視yu,為常量為常量,對對x求偏導求偏導,zxyvuwzxyu則則xzxz,xfxuuf鏈導法則鏈導法則可推廣到三元及三元以上的函數可推廣到三元及三元以上的函數.說明說明情形情形(2)ywwzyvvzyuuzyz4例例2.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuztev)sin(tutcostttetcos)sin(coszvut例例1.,sin,32tytxezyx求求dtdz解解dtdzdtdy

4、yzdtdxxzteyxcos2223)2(teyx).6(cos22sin3ttettzyxt5例例3.設設,sinyxvxyuvezu求.,yzxz解解xzveusinyveucos1)cos()sin(yxyxyexyyvvzyuuzveusinxveucos1)cos()sin(yxyxxexyxvvzxuuzyz6例例4.設.,.sin,),(2222yuxuyxzezyxfuzyx求求解解xuxzzfxfyzzfyfyu2222zyxxeyxzezyxsin22222)sin21(222sin2422yxxeyxyx2222zyxyeyxzezyxcos22222)2sin2(4s

5、in2422yxyeyxyxzxyu7例例5.設設fxyzzyxfw),(具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數,求求.,2zxwxw解解 令,zyxu,xyzv 則),(vufw xw1f 2fyz,1uff,2vffzxw221fyzfzzf12f y zfyz2zf1zvvfzuuf1111f ,111uff,112vff zf2zvvfzuuf2221f ,221uff,222vff wxyzvu12fxy 22fxy 1f 2f xvvfxuuf),(11xyzzyxff),(22xyzzyxffzxw21211fxyf )(2221fxyfyz 2f y 1211)(fzxyf 22

6、2f zxy 2f y 81.一個方程的情形一個方程的情形1.設方程設方程 0),(yxF確定函數確定函數)(xyy,求求dxdyxF0所以所以,yxFFdxdy方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得dxdyFy),(yxFu xy或或yFxFdxdy6.5.2 6.5.2 隱函數的求導公式隱函數的求導公式9例例1.設設0 xxeyy求求0 xdxdy解法解法1xxeyyxFy),(令令,1yxeF則則,1yyxeFdxdy00 xdxdyyxFFyyxee11于是于是解法解法2方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得01)(dxdyxeedxdyyy解得解得dxdyyyxee1100

7、xdxdy于是于是10例例2.設設122 yx求求dxdy及及22dxyd解法解法1yxFFyx22dxyddxdydxd2yyxy31yyxdxd2yyxxy322yxy 1),(22yxyxF令令dxdy解法解法2方程兩邊對方程兩邊對 x 求導，得求導，得022dxdyyxdxdyyx112.設方程設方程0),(zyxF確定二元隱函數確定二元隱函數),(yxzz 求求yzxz ,),(zyxFu xFzxFFxzyzFzzyFFyzxyz方程兩邊對方程兩邊對x 求偏導，得求偏導，得xzFz0方程兩邊對方程兩邊對 y 求偏導，得求偏導，得yF0zFxFzFyF12例例3.設04222zzyx

8、求22,xzyzxz解解zzyxzyxF4),(222xFx2,2,yFy42 zFzxzzxFFzx2.2zy22xzxzx2)2()()2(zxzxz322)2()2(zxzyz,zyFFzxx232)2(4zy13另另 解解:方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導，得求偏導，得04222zzyx0422xzxzzx解得解得zxzxxz2242方程兩邊對方程兩邊對 y 求偏導，得求偏導，得0422yzyzzy解得解得zyzyyz224214例例4.設設0 xyzez,求求yxz2解解),(zyxFxyzezxzzxFFxyeyzz,xyeyzzyxz2)(xzy)(xyeyzyz2)()()(x

9、yexyzeyzxyeyzyzzzzyz zyFFxyexzz3222)()(xyeyxxyzeezzzz15例例5.設設0),(2222zyyxF證明證明:xyyzzxxzyz證明證明:xz)2(221zFxF 21FzFxzyFFyz)2(2)2(221zFyFyF 212)(FzFFyyzzxxzyz21FzFxyz212)(FzFFyzxxyzxFFxF1F,2xyF1F)2(y2F,2yzF2F)2(z得證得證16設設0),(0),(vuyxGvuyxF求求yvxvyuxu,確定了隱函數確定了隱函數:),(yxuu),(,yxvv 方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導求偏導,得得即 xv

10、uxvuGxvGxuGFxvFxuFxFxuFu xvFv 0 xGxuGu xvGv 02.方程組的情形方程組的情形解方程組即得解方程組即得17例例1.設設10 xvyuyvxu求求:yvxvyuxu,方程兩邊對方程兩邊對 x 求偏導，得求偏導，得xuxu即即vxvxxuyuxvyxux22yx 0時時，xu,22yxyvxuxv22yxxvyu解解xvy0 xuyxvxv0解方程組得解方程組得18方程兩邊對方程兩邊對 y 求導求導,得得10 xvyuyvxu00yvxyuyuyvyvyux即uyvxyuyvyvyyux當當22yx0時時,yu,22yxyuxvyv22yxyvxu解方程組得解方程組得19例例2.10222zyxzyx,求求:.,dzdydzdx設設方程兩邊對方程兩邊對 z 求導，得求導，得解解01dzdydzdx0222zdzdyydzdxx1dzdydzdxzdzdyydzdxx即dzdy當當0 xy時，時，dzdx;xyyz.xyzx解方程組得解方程組得