多元復合函數及隱函數求導法則

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1、一元復合函數的求導法則一元復合函數的求導法則(鏈式法則）設函數設函數 構成了復合函數構成了復合函數 在對應點在對應點 x)()(xuufy與()()yfxuxx,若在 點 可 導,)(ufyu處可導，則復合函數在點處可導，則復合函數在點 處也可導，且有處也可導，且有)()()(xufxfdxdududydxdy或記為復習第三節 多元復合函數及隱函數求導法則 設設z=f(u,v)是變量是變量u，v的函數，而的函數，而u，v又是又是x，y的的函數，即函數，即 ，如果能構成，如果能構成 z 是是x,y 的的二元復合函數二元復合函數(,),(,)ux y vx y (,),(,),zfx yx y 如

2、何求出函數如何求出函數z對自變量對自變量x，y的偏導數呢？的偏導數呢？問題：問題：(,),(,),zfx yx yxy法一：直接將二元函數對 和 求偏導數 但有時較復雜。法二：法二：多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則(鏈式法則）鏈式法則）xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 定理定理 如果函數如果函數u u (x x y y)v v (x x y y)都在點都在點(x x y y)具有對具有對x x 及及y y的偏導數，函數的偏導數，函數z z f f(u u v v)在對應點在對應點(u u v v)具有連具有連 續偏導數續偏導數 則復合函數則復合函數z z f f (x x

3、 y y)(x x y y)在點在點 (x x y y)的兩個偏導數存在的兩個偏導數存在 且且1 1、復合函數的中間變量均為二元函數的情形、復合函數的中間變量均為二元函數的情形 鏈式法則鏈式法則：一、多元復合函數的求導法則一、多元復合函數的求導法則(鏈式法則）鏈式法則）鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 函函數數自自變變量量中中間間變變量量 zf(u v)u(x y)v(x y)復合關系圖復合關系圖公式給出公式給出z對對x的偏導數是的偏導數是(*)xvvzxuuzxz 公式公式(*)與結構圖兩者之間的對應關系是：偏導數與結構圖兩者之間

4、的對應關系是：偏導數 是由兩項組成的，每項又是兩個偏導數的乘積，公是由兩項組成的，每項又是兩個偏導數的乘積，公式式(*)的這兩條規律，可以通過函數的結構圖得到，即的這兩條規律，可以通過函數的結構圖得到，即xz (1)公式公式(*)的項數，等于結構圖中的項數，等于結構圖中z到達自變量到達自變量x路徑的個數路徑的個數.函數結構中函數結構中z到達自變量到達自變量x的路徑有兩條的路徑有兩條.第一條是第一條是 ，第二條是，第二條是 ，所以公，所以公 式式(*)由兩項組成由兩項組成.zuxzvx (2)公式公式(*)每項偏導數乘積因子的個數每項偏導數乘積因子的個數,等于該條路等于該條路徑中函數及中間變量的

5、個數徑中函數及中間變量的個數.如第一條路徑如第一條路徑 ,有一個函數有一個函數z和一個中間變量和一個中間變量u，因此，第一項就是兩，因此，第一項就是兩個偏導數個偏導數 與與 的乘積的乘積.zuxxuuz 復合函數結構雖然是多種多樣，求復合函數的偏導數復合函數結構雖然是多種多樣，求復合函數的偏導數公式也不完全相同，但借助函數的結構圖，運用上面的法公式也不完全相同，但借助函數的結構圖，運用上面的法則，可以直接寫出給定的復合函數的偏導數的公式則，可以直接寫出給定的復合函數的偏導數的公式.這一這一法則通常形象地稱為鏈式法則法則通常形象地稱為鏈式法則.xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 設zf(

6、u v)u(x y)v(x y)則 解 xvvzxuuzxz 解法解法1 1：exyy sin(xy)cos(xy)eusin v 1 eucos v y yvvzyuuzyz eusin v exyx sin(xy)cos(xy)1eucos v x 例例1 1 設 zeusin v uxy vxy 求xz和yz z uvxy型型解法解法2 對于具體的二元復合函數，可將中間變量對于具體的二元復合函數，可將中間變量u，v，用用x，y代入，則得到代入，則得到 ，z 是是x，y二元函數，根據偏二元函數，根據偏導數的求法，得導數的求法，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxz

7、xyxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy定理的推廣：定理的推廣：設zf(u,v,w),u(x,y),v(x,y),ww(x,y),則wzuzvzxzxuxvxw，yzyuuzvzyvwzyw 設zf(u v w)u(t)v(t)ww(t)則 定理定理 如果函數如果函數u u (t t)及及v v (t t)都在點都在點t t可導可導 函數函數 z z f f(u u v v)在對應點在對應點(u u,v v)具有連續偏導數具有連續偏導數 則復則復 合函數合函數z z f f (t t)(t t)在點在點

8、t t可導可導 且有求導公式且有求導公式dtdvvzdtduuzdtdz 定理的推廣：定理的推廣：dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 2 2、復合函數的中間變量均為一元函數的情形、復合函數的中間變量均為一元函數的情形 上述dtdz稱為全導數 tz uvdtdvvzdtduuzdtdz 設zf(u v)u(t)v(t)則 解解：tsinetsintcos2e3tcostsin2tcostsin22=-由公式得由公式得)tsint2sintcos(e32tcostsin2=-例例2 2 設函數設函數2dz,sin,cos,dtu vzeut vt求全導數-)sint(eucost2uve

9、dtdvvzdtduuzdtdzvu2vu22+=+=etcos tetsin tcos t v cos t u et(sin t)解解:解 tzdtdvvzdtduuzdtdz et(cos tsin t)cos t 設zf(u v w)u(t)v(t)ww(t)則 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 例例3 3 設設zuvsin t 而 uet vcos t 求全導數dtdz 定理定理 如果函數如果函數 在點在點 具有對具有對 及對及對 的偏導數的偏導數,函數函數 在點在點 可可 導導,函數函數 在對應點在對應點 具有連具有連 續偏導數，則復合函數續偏導數，則復合函數 在點在點

10、的兩個偏導數存在，且有的兩個偏導數存在，且有(,)ux y(,)x yxy()vyy(,)zf u v(,)u v(,),()zfx yy(,)x y,zzuxuxzzuz dvyuyv dy 。3 3復合函數的中間變量既有一元函數又有多元函數的情形復合函數的中間變量既有一元函數又有多元函數的情形 z uvxy特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中區別類似區別類似uzxyxy 設zf(u x y)且u(x y)則 xfxuufxz yfyuufyz 例 2 設 uf(x y z)222zyxe 而 zx2sin yyuxu和求 例例4 4

11、解 xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2 解解:xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222 yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222 yxyxeyxx24

12、22sin22)sin21(2 解解xududfxz 令令.xyxu 則則).(ufz ()f u).1(y yududfyz ().f uxz uxy型型4 4、復合函數是抽象函數的情形、復合函數是抽象函數的情形 求可導函數求可導函數例例5 5 求求)(xyxfz f的偏導數。的偏導數。求求.解解:令uxyz vxyz 則wf(u v)例例6 6 設設w f(x y z xyz)f具有二階連續偏導數具有二階連續偏導數 2,.xx zww 求求21fyzfxvvfxuufx w注：為表達方便，引入以下記號：注：為表達方便，引入以下記號：21212,ffffffuvu v 212()fyzfx

13、zzw 12()fyzfzz2111222122fxyfyfyzfxy zf21112222().fy xz fyfxy zf111fffuvzuzvz1112fxyf2122fxyf222fffuvzuzvz122ffyfyzzz 由于由于2x zw 所以所以128(,)(0,0)0,(0,0),(0,0),(),(,),(0).f x yffa fbtf t f t t例設函數可微，求1212(),(,)+,(,)(,)(,)tf t f t tf t f t tft tft t0t 令得1212(0)0,(0,0)+0,(0,0)(0,0)(0,0)ffffff(0,0)0f由于，得12

14、12(0)0,0+0,0(0,0)(0,0)ffff（）（）12(0,0)=,(0,0),fa fb因為(0)+().a bab所以解解 一元函數具有微分形式不變性，多元一元函數具有微分形式不變性，多元函數的全微分形式也有類似的性質。函數的全微分形式也有類似的性質。(,).zf u vzzdzdudvuv設具有連續偏導數，則有全微分(,)(,),(,)zf u vux y vx y如果具有連續偏導數，也具有連續偏導數,zzdzdxdyxy則有全微分zzdzdxdyxy()()zuzvzuzvdxdyuxv xuyv y ()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxy.zzdudvuv全微分形

15、式不變性的實質：全微分形式不變性的實質：無論無論 z 是自變量是自變量 u，v 的函數或中間變量的函數或中間變量 u，v 的函數，它的全微分形式是一樣的的函數，它的全微分形式是一樣的.則有全微分全全微微分分形形式式不不變變性性練習：練習：1、求下列復合函數的偏導數、求下列復合函數的偏導數dxdzeyxyarctgzdtdztytxtyxzx求求,),()2(,cos,sin,)1(22uzvuvufzzuyuyzxzyxu求求),24,23()4(,),sin(,)3(222答案：答案：1、求下列復合函數的偏導數求下列復合函數的偏導數zyzyzuyyzzyuexxedxdztdtdzxx2)2sin(,2)2sin()3(1)1()2(12sin2)1(22（4）令）令),(4),(324,23yxfyxfuzyvuxvuyx