多元微積分課件94冪級數

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1、第四節一、函數項級數的概念一、函數項級數的概念 二、冪級數及其收斂性二、冪級數及其收斂性 三、冪級數的運算三、冪級數的運算 冪級數 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、函數項級數的概念函數項級數的概念設121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區間 I 上的函數項級數函數項級數.對,I0 x若常數項級數10)(nnxu斂點斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域;記為若常數項級數10)(nnxu為定義在區間 I 上的函數,稱收斂,發散,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發散點發散點,),2,1()(nxun發散點的全體稱為其發散域發散域.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 K

2、,)(xS為級數的和函數和函數,并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有,)()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數項級數前 n 項的和,即在收斂域上,函數項級數的和是 x 的函數 稱它機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如,等比級數它的收斂域是,)1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發散域是或寫作.1x又如又如,級數,)0(02xnxxnnn,)(limxunn級數發散;所以級數的收斂域僅為.1x,)1,1(時當x有和函數,1時收斂當x,10時但當 x機動 目錄 上頁 下頁

3、 返回 結束 二、冪級數及其收斂性二、冪級數及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數項級數稱為冪級數冪級數,其中數列),1,0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如,冪級數1,110 xxxnn為冪級數的系數系數.即是此種情形.的情形,即nnxxa)(0稱 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ox發 散發 散收 斂收斂 發散定理定理 1.(Abel定理定理)若冪級數0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數都絕對收斂.反之,若當0 xx 0 xx 的一切 x,該冪級數也發散.時該冪級數發散,則對滿

4、足不等式證證:設00nnnxa,0lim0nnnxa收斂,則必有),2,1(0nMxann于是存在常數 M 0,使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當 時,0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數絕對收斂.也收斂,反之,若當0 xx 時該冪級數發散,下面用反證法證之.假設有一點1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當0 xx 滿足且使級數收斂,面的證明可知,級數在點故假設不真.的 x,原冪級數也發散.時冪級數發散,則對一切則由前也應收斂,與所設矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 冪級數在(,+)收斂;由Ab

5、el 定理可以看出,0nnnxa中心的區間.用R 表示冪級數收斂與發散的分界點,的收斂域是以原點為則R=0 時,冪級數僅在 x=0 收斂;R=時,0 R冪級數在(R,R)收斂;(R,R)加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑，在R,R 可能收斂也可能發散.Rx外發散;在(R,R)稱為收斂區間收斂區間.ox發 散發 散收 斂收斂 發散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2.若0nnnxa的系數滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1)若 0,則根據比值審斂法可知:當,1x原級數收斂;當,1x原級數發散.x即1x時,

6、1)當 0 時,2)當 0 時,3)當 時,即時,則 1x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 系數模比值法2)若,0則根據比值審斂法可知,;R絕對收斂,3)若,則對除 x=0 以外的一切 x 原級發散,.0R對任意 x 原級數因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明:據此定理1limnnnaaR因此級數的收斂半徑.1R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 對端點 x=1,1limnnnaaRnxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x=1,級數為交錯級數,1)1(11nnn收斂;級數為,11nn發散.1,1(故收斂域為例例1 1.求冪級數 limn 機動 目

7、錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.求下列冪級數的收斂域:.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn解解:(1)limlim1nnnnaaR!1n)1(limnn所以收斂域為.),(2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n11limnn0所以級數僅在 x=0 處收斂.規定:0!=1!)1(1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.nnxnn202)!(!)2(求冪級數的收斂半徑.解解:級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.lim)()(lim1nnnnxuxu2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x當時級數收斂

8、時級數發散 故收斂半徑為.21R21x即142x當21x即)1(2nxnx2故直接由機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.12)1(nnnnx求冪級數的收斂域.解解:令,1 xt級數變為nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12當 t=2 時,級數為,11nn此級數發散;當 t=2 時,級數為,)1(1nnn此級數條件收斂;因此級數的收斂域為,22t故原級數的收斂域為,212x即.31x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、冪級數的運算三、冪級數的運算定理定理3.設冪級數nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnn

9、xa0)(0為常數nnnxa1Rx,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxba,0nnnxcRx 則有:nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結論可用部分和的極限證明.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Rx 右端的收斂域可能更大說明說明:兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多.例如,設 nnnxa0nnnxb0),2,1,0,1(0naan,3,2,0,1,110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是.1R1x1nnnxb0 x11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理4 若冪級數n

10、nnxa0的收斂半徑,0R)(xS數例 求 和函數 nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:注注:逐項積分時,運算前后端點處的斂散性不變.求導后在端點處的斂散性可能發生變化.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在端點處收斂,和函數在該處單側連續1nnxn例例6.1nnxn求冪級數的和函數解解:易求出冪級數的收斂半徑為 1,x1 時級數發,)1,1(時故當x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1(xx.)(xS11nnxnx1n

11、nxx散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1211(1)nnnxx書上例5很容易用這個公式計算了.例例7.求級數01nnnx的和函數.)(xS解解:易求出冪級數的收斂半徑為 1,時級數且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx)10(x1x及收斂,有時則當,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束)1,0()0,1x)(xS,)1ln(1xx因此由和函數的連續性得:)(xS而)0(S,1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx,10 x,1)10(x1x及機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8.2)1(1

12、22的和求數項級數nnn解解:設,1)(22nnnxxS則,)1,1(x2112nnnxx21121nnnxx)0(x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222)1(1nnn)0(x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解:由例2可知級數的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數0!)(nnnxxS)(x則11!)1()(nnnxxS0!kkk

13、x)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數.因此得設機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1.求冪級數收斂域的方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點的收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標準型再求.乘法運算.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2)在收斂區間內冪級數的和函數連續;3)冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.思考與練習思考與練習 1.已知nnnxa00

14、xx 在處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少?答答:根據Abel 定理可知,級數在0 xx 收斂,0 xx 時發散.故收斂半徑為.0 xR 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2.在冪級數nnnnx02)1(2中,nnaa1nn)1(2)1(2211n 為奇數,23n 為偶數,61能否確定它的收斂半徑不存在?答答:不能.因為nnnxu)(lim2)1(2limxnnn2x當2x時級數收斂,2x時級數發散,.2R說明說明:可以證明比值判別法成立根值判別法成立機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P258 2 單 3 (3)(4)作業第四節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 阿貝爾阿貝爾(1802 1829)挪威數學家,近代數學發展的先驅者.他在22歲時就解決了用根式解5 次方程的不可能性問題,他還研究了更廣的一 并稱之為阿貝爾群.在級數研究中,他得 到了一些判斂準則及冪級數求和定理.論的奠基人之一,他的一系列工作為橢圓函數研究開拓了道路.數學家們工作150年.類代數方程,他是橢圓函數C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供 后人發現這是一類交換群,