偏導數和高階偏導數課堂PPT

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1、目錄 上頁 下頁 返回 結束.第二節一、一、偏導數概念及其計算偏導數概念及其計算二二、高階偏導數、高階偏導數 偏 導 數 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結束.一、一、偏導數定義及其計算法偏導數定義及其計算法引例引例:研究弦在點 x0 處的振動速度與加速度,就是),(txu0 xOxu中的 x 固定于 x0 處,求一階導數與二階導數.),(txu),(0txu),(0txu關于 t 的將振幅目錄 上頁 下頁 返回 結束.定義定義1.),(yxfz 在點),(),(lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點),(),(00的偏導數，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內;),(0

2、0yxxfxx00 x則稱此極限為函數極限設函數)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx;),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy.),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:目錄 上頁 下頁 返回 結束.0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導數 lim0y),(00yxfy若函數 z=f(x,y)在域 D 內每一點(x,y)處對 x,xzxfxz則該偏導數稱為偏導函數,也簡稱為偏導數偏導數,),(,),(1yxfyxfx),(,),(2yxfyxfy),(0 xf),(0 xfy記

3、為yy00y或 y 偏導數存在,yzyfyz目錄 上頁 下頁 返回 結束.),(zyxfx例如例如,三元函數 u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對 x 的偏導數的概念可以推廣到二元以上的函數.lim0 x),(zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導數定義為(請自己寫出)目錄 上頁 下頁 返回 結束.二元函數偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線

4、0 xyTyxzOxT0y對 y 軸的0M),(00yx目錄 上頁 下頁 返回 結束.函數在某點各偏導數都存在,顯然例如例如,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續不一定連續.上節例 目錄 上頁 下頁 返回 結束.例例1.求223yyxxz解法解法1xz)2,1(xz解法解法2)2,1(xz在點(1,2)處的偏導數.)2,1(yz,32yx yzyx23,82312)2,1(yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目錄

5、上頁 下頁 返回 結束.例例2.設，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3.求222zyxr的偏導數.解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry目錄 上頁 下頁 返回 結束.偏導數記號是一個例例4.已知理想氣體的狀態方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp,pTRV,RVpT pTTVVp說明說明:(R 為常數),Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,目錄 上頁 下頁 返回 結束.二、高階偏導數二、高階偏導數設 z=f(x,y)在域 D 內存在連

6、續的偏導數),(,),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數仍存在偏導數，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數.按求導順序不同,有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數:目錄 上頁 下頁 返回 結束.類似可以定義更高階的偏導數.例如，例如，z=f(x,y)關于 x 的三階偏導數為3322)(xzxzxz=f(x,y)關于 x 的 n 1 階偏導數,再關于 y 的一階)(yyxznn1偏導數為11nnxz目錄 上頁 下頁 返回 結束.22exy例例5.求函數2exyz.23

7、xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意:此處,22xyzyxz但這一結論并不總成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二階偏導數及 目錄 上頁 下頁 返回 結束.0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,0

8、22 yx目錄 上頁 下頁 返回 結束.例例6.證明函數222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目錄 上頁 下頁 返回 結束.,),()()(00連續都在點和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則定理定理.例如例如,對三元函數 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx說明說明:本定理對 n 元函數的高

9、階混合導數也成立.函數在其定義區域內是連續的,故求初等函數的高階導數可以選擇方便的求導順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因為初等函數的偏導數仍為初等函數,當三階混合偏導數在點(x,y,z)連續連續時,有而初等(證明略)證明 .定理定理.證證:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx則),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續都在點和若

10、yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx則)()(00 xxx又令.同樣),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030)1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx,0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點)(00yx，連續,得0y目錄 上頁 下頁 返回 結束.內容小結內容小結1.偏導數的概念及有關結論 定義;記號;幾何意義 函數在一點偏導數存在函數在此點連續 混合偏導數連續與求導順序無關2.偏導數的計算方法 求

11、一點處偏導數的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數的方法逐次求導法(與求導順序無關時,應選擇方便的求導順序)目錄 上頁 下頁 返回 結束.思考與練習思考與練習解答提示:P129 題 5，時當022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當0)0,(dd)0,0(xxfxfx0),0(dd)0,0(yyfyfy00P129 題 5,62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時,目錄 上頁 下頁 返回 結束.P129 題6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yx

12、yxyz(2),1yxyxzxxyzyln,)1(2.22yxyyxzxxyxyxzyyln1.12xxyzy222ln目錄 上頁 下頁 返回 結束.作業作業P68 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三節 目錄 上頁 下頁 返回 結束.,)(xuuf備用題備用題 設,)(ufz 方程)(uu()dxyp tt確定 u 是 x,y 的函數,)(,)(可微其中uuf)(),(utp連續,且,1)(u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0