數字信號處理第三版第七章

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1、第第7章章 有限脈沖響應數字濾波器的設計有限脈沖響應數字濾波器的設計 7.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的條件和特點數字濾波器的條件和特點 7.2 利用窗函數法設計利用窗函數法設計FIR濾波器濾波器7.3 利用頻率采樣法設計利用頻率采樣法設計FIR濾波器濾波器7.4 利用等波紋最佳逼近法設計利用等波紋最佳逼近法設計FIR濾波器濾波器7.5 IIR和和FIR數字濾波器的比較數字濾波器的比較7.6 幾種特殊類型濾波器簡介幾種特殊類型濾波器簡介7.7 濾波器分析設計工具濾波器分析設計工具FDATool7.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的條件和特點數字濾波器的條件和特點 本節主要介紹本節主

2、要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件、濾波器具有線性相位的條件、FIR濾波器的幅度特性、零點分布特點和網絡結構的特點。濾波器的幅度特性、零點分布特點和網絡結構的特點。1.線性相位條件線性相位條件 對于長度為對于長度為N的的h(n)，傳輸函數為：，傳輸函數為：式中，式中，Hg()稱為幅度特性，稱為幅度特性，()稱為相位特性。這里稱為相位特性。這里Hg()不同于不同于|H(ej)|，Hg()為為的實函數，可能取負值，而的實函數，可能取負值，而|H(ej)|為為的正實函數。的正實函數。(7.1.1)(7.1.2)H(ej)線性相位：線性相位：()是是的線性函數的線性函數，即：，即：()=-,為常數為

3、常數 (7.1.3)若若()滿足下式：滿足下式：()=0-,0是起始相位是起始相位 (7.1.4)也稱這種情況為線性相位。也稱這種情況為線性相位。以上兩種情況都滿足以上兩種情況都滿足群時延是一個常數群時延是一個常數，即，即一般稱：滿足一般稱：滿足(7.1.3)式是式是第一類第一類線性相位；線性相位；滿足滿足(7.1.4)式為式為第二類第二類線性相位。線性相位。2.線性相位線性相位FIR的時域約束條件的時域約束條件線性相位線性相位FIR濾波器的時域約束條件是指滿足線性濾波器的時域約束條件是指滿足線性相位時，對相位時，對h(n)的約束條件。的約束條件。1)第一類線性相位對第一類線性相位對h(n)的

4、約束條件的約束條件 相位函數相位函數()=，由式（）和（）得到，由式（）和（）得到:1jjjg0(e)()e()e NnnHh nH（7.1.5）1g0()(cosjsin)()(cosjsin)Nnh nnnH(7.1.6)將（）式中兩式相除得到：將（）式中兩式相除得到：1010()coscossin()sinNnNnh nnh nn1g01g0()cos()cos ()sin()sinNnNnHh nnHh nn即即 移項并用三角公式化簡得到移項并用三角公式化簡得到:（）（）函數函數h(n)sin(n)關于求和區間的中心關于求和區間的中心(N1)/2奇對稱，奇對稱，是滿足（）式的是滿足（）

5、式的一組解一組解。因為因為sin(n)關于關于n=奇對稱，如果取奇對稱，如果取=(N1)/2，則要，則要求求h(n)關于關于(N1)/2偶對稱，所以要求偶對稱，所以要求和和h(n)滿足如下條件滿足如下條件:10()sin()0Nnh nn1100()cossin()sincosNNnnh nnh nn（7.1.8）1(),2()(1),01Nh nh NnnN 表表7.1.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的時域和頻域特性一覽數字濾波器的時域和頻域特性一覽 2)第二類線性相位對第二類線性相位對h(n)的約束條件的約束條件相位函數相位函數()=/2，由式（）和（），可得到，由式（）和（），可得

6、到:（）（）函數函數h(n)cos(n)關于關于求和區間的中心求和區間的中心(N1)/2奇奇對稱對稱，是滿足式（）的，是滿足式（）的一組解一組解，因為因為cos(n)關于關于n=偶對稱，所以要求偶對稱，所以要求和和h(n)滿滿足如下條件：足如下條件：1jjj(/2)g0(e)()e()eNnnHh nH10()cos()0Nnh nn（7.1.10）1(),22()(1),01Nh nh NnnN 2 線性相位線性相位FIR濾波器幅度特性濾波器幅度特性Hg()的特點的特點實質上實質上，幅度特性的，幅度特性的特點特點就是線性相位就是線性相位FIR濾波濾波器的器的頻域約束條件頻域約束條件。引入兩個

7、參數符號：引入兩個參數符號：1,2N12NM情況情況1：h(n)=h(Nn1),N為奇數。為奇數。將時域約束條件將時域約束條件h(n)=h(Nn1)和和()=代入代入式（）和（），得到式（）和（），得到:所以所以（）（）因為因為cos(n-)關于關于=0,2三點三點偶對稱偶對稱，所以由，所以由式（）可以看出，式（）可以看出，Hg()關于關于=0,2三點三點偶對稱偶對稱。因此。因此情況情況1可以實現各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器?？梢詫崿F各種（低通、高通、帶通、帶阻）濾波器。1g0()()2()cos()MnHhh nn情況情況2：h(n)=h(Nn1),N為偶數。為偶數。仿照情況仿照情況

8、1的推導方法得到的推導方法得到:1jjjjg00(e)()e=()ee2()cos()NMnnnHHh nh nn（7.1.12）g0()2()cos()MnHh nn式中，。因為式中，。因為是偶數，所是偶數，所以當時以當時(1)/2/21/2NN cos()cossin022NNnnn 而且而且cos(n)關于關于過零點奇對稱過零點奇對稱，關于，關于=0和和2偶對稱。所以偶對稱。所以Hg()=0，Hg()關于關于=奇對奇對稱，關于稱，關于=0和和2偶對稱偶對稱。因此，情況。因此，情況2不能實現高通不能實現高通和帶阻濾波器。和帶阻濾波器。情況情況3：h(n)=h(Nn1)，N為奇數。為奇數。1

9、02Nh 將時域約束條件將時域約束條件h(n)=h(Nn1)和和()=/2代入式（代入式（7.1.1）和（）和（7.1.2），），并考慮并考慮，得到，得到:1g0()2()sin()MnHh nn當當=0，,2時，時，sin(n)=0,且且sin(n)關于過零點奇對稱關于過零點奇對稱Hg()關于關于=0,2三三點奇對稱點奇對稱情況情況3只能實只能實現帶通濾波器現帶通濾波器情況情況4：h(n)=h(Nn1),N為偶數。為偶數。用情況用情況3的推導過程可以得到的推導過程可以得到:（）（）N是偶數，是偶數，=(N1)/2=N/21/2。所以，當。所以，當=0,2時，時，sin(n)=0；當；當=時，

10、時，sin(n)=(1)nN/2,為峰值點。而且為峰值點。而且sin(n)關于過零點關于過零點=0和和2兩點奇對稱，關于峰值點兩點奇對稱，關于峰值點=偶對稱。因此偶對稱。因此Hg()關于關于=0和和2兩點奇對稱，關于兩點奇對稱，關于=偶對稱。由此可見，情況偶對稱。由此可見，情況4不能實現低通和帶阻濾波器。不能實現低通和帶阻濾波器。g0()2()sin()MnHh nn 3.線性相位線性相位FIR濾波器零點分布特點濾波器零點分布特點線性相位的系統函數滿足：線性相位的系統函數滿足：(7.1.21)“+”和和“-”分別對應第一類和第二類線性相位。分別對應第一類和第二類線性相位。一般情況：一般情況：線

11、性相位線性相位FIR零點零點分布的特點：分布的特點：互為互為倒數的共軛對倒數的共軛對圖圖7.1.1 線性相位線性相位FIR數字濾波器的零點分布數字濾波器的零點分布當然，也有當然，也有一些特殊情一些特殊情況，如圖中況，如圖中z1、z2和和z4情情況。況。7.2 利用窗函數法設計利用窗函數法設計FIR濾波器濾波器7.2.1 窗函數法設計原理窗函數法設計原理設計思想設計思想：從時域出發，設計：從時域出發，設計h(n)，逼近，逼近hd(n)。設希望設計的濾波器傳輸函數為設希望設計的濾波器傳輸函數為Hd(ej)，hd(n)是與其對應是與其對應的單位脈沖響應，因此的單位脈沖響應，因此：ccde)e(21)

12、(e)()e(jjddjdjdnnnHnhnhH一旦一旦Hd(ej)給定，就可得到給定，就可得到hd(n)。一般情況下，一般情況下，Hd(ej)逐段恒定，在邊界頻率處有不連續點，因而逐段恒定，在邊界頻率處有不連續點，因而hd(n)是是無限時寬無限時寬的，且的，且是非因果是非因果的，為得到一有限長濾波器的，為得到一有限長濾波器h(n)，最直接，最直接的方法是截斷的方法是截斷 hd(n)，即用一個窗口函數，即用一個窗口函數RN(n)對對hd(n)進行加窗處理：進行加窗處理：h(n)=hd(n)RN(n)。并保證截取的一段關于并保證截取的一段關于n=（N1）/2偶對稱。偶對稱。相應的單位取樣響應相應

13、的單位取樣響應hd(n)為：為：(7.2.1)它是一個無限長的非因果序列。波形如下圖所示。它是一個無限長的非因果序列。波形如下圖所示。設理想低通濾波器的傳輸函數設理想低通濾波器的傳輸函數Hd(ej)為：為：(7.2.2)實際設計的濾波器的單位脈沖響應為實際設計的濾波器的單位脈沖響應為h(n)，長度為，長度為N，其系統函數為其系統函數為H(z)，10)()(NnnznhzH用一個有限長的序用一個有限長的序列列h(n)去代替去代替hd(n)，肯定會引起誤差肯定會引起誤差圖圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應及矩形窗理想低通的單位脈沖響應及矩形窗)()()(dnRnhnhN吉布斯（吉布斯（Gibbs

14、）效應：）效應：用一個有限長的序列用一個有限長的序列h(n)去代替去代替hd(n)會引起誤差，表現在頻域就是會引起誤差，表現在頻域就是吉布斯效應吉布斯效應。該效應引。該效應引起通帶內和阻帶內的波動性，尤其使阻帶的衰減不足，從起通帶內和阻帶內的波動性，尤其使阻帶的衰減不足，從而不能滿足技術上的要求。而不能滿足技術上的要求。吉布斯效應是由于將吉布斯效應是由于將hd(n)直接截斷引起的，因此，也直接截斷引起的，因此，也稱為稱為截斷效應截斷效應。圖圖7.2.2 吉普斯效應吉普斯效應Hd(ej)是一個以是一個以2為周期的函數，可以展為傅里葉級數，為周期的函數，可以展為傅里葉級數，即即傅里葉級數的系數為傅

15、里葉級數的系數為hd(n)，當然就是，當然就是Hd(ej)對應的對應的單位脈沖響應。設計單位脈沖響應。設計FIR濾波器就是根據要求找到濾波器就是根據要求找到N個傅個傅里葉級數系數里葉級數系數h(n)，n=1,2,N1，以，以N項傅氏級數去項傅氏級數去近似代替無限項傅氏級數，這樣在一些頻率不連續點附近似代替無限項傅氏級數，這樣在一些頻率不連續點附近會引起較大誤差，這種誤差就是前面說的近會引起較大誤差，這種誤差就是前面說的截斷效應。截斷效應。nnnhHjdjde)()e(因此，從這一角度來說，窗函數法也稱為因此，從這一角度來說，窗函數法也稱為傅氏級數法傅氏級數法。顯然，選取傅氏級數的項數愈多，引起

16、的誤差就愈小，但顯然，選取傅氏級數的項數愈多，引起的誤差就愈小，但項數增多即項數增多即h(n)長度增加，也使成本和濾波計算量加大，長度增加，也使成本和濾波計算量加大，應在滿足技術要求的條件下，盡量減小應在滿足技術要求的條件下，盡量減小h(n)的長度。的長度。)(jRjdjd)e()e(21)e(WHH（7.2.4）根據傅里葉變換的時域卷積定理，得到（）式根據傅里葉變換的時域卷積定理，得到（）式的傅里葉變換：的傅里葉變換：（7.2.5）jRg)1(21j10j10jR10jRe)()2/sin()2/sin(e eee)()(WNwnWeWNNnnNnnNnnjR第一過零點第一過零點內為主瓣內為

17、主瓣旁瓣旁瓣將將Hd(ej)寫成寫成Hd(ej)=Hdg()ej，則按照（）式，理則按照（）式，理想低通濾波器的幅度特性函數為想低通濾波器的幅度特性函數為|0|1)(ccdg，H將將Hd(ej)和和WR(ej)代入（）式，得到：代入（）式，得到：Rgdgj)(jRgjdgjd)()(21ede)(e)(21)e(WHWHH將將H(ej)寫成寫成H(ej)=Hg()ej ，則，則（7.2.6）gdgRg1()()()d2HHW加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg()與與矩形窗幅度特性矩形窗幅度特性WRg()的卷積。的卷積。

18、圖圖7.2.3 矩形窗加窗效應矩形窗加窗效應當當=c時，如時，如(c)所示，當所示，當c 2/N時，積分近似為時，積分近似為WRg()一半波一半波形的積分，對形的積分，對Hg(0)歸一化后的值近歸一化后的值近似為似為1/2當當=0時，時，Hg(0)等于圖等于圖(a)與與(b)兩波兩波形乘積的積分，相當于對形乘積的積分，相當于對WRg()在在c之間一段波形的積分，當之間一段波形的積分，當c2/N時，近似為時，近似為之間波形之間波形的積分的積分當當=c2/N時，如時，如(d)所示，所示，WR()主瓣完全在區間主瓣完全在區間c,c之之內，而最大的一個負旁瓣移到區間內，而最大的一個負旁瓣移到區間c,c

19、之外，因此之外，因此Hg(c2/N)有一個最大的正峰。有一個最大的正峰。當當=c+2/N時，如時，如(e)所示，所示，WRg()主瓣完全移到積分區間外邊，主瓣完全移到積分區間外邊，由于最大的一個負旁瓣完全在區間由于最大的一個負旁瓣完全在區間c,c內，因此內，因此Hg(c+2/N)形成最大的負峰。形成最大的負峰。Hg()最大的正峰與最大的負峰對最大的正峰與最大的負峰對應的頻率相距應的頻率相距4/N對對hd(n)加矩形窗處理后，加矩形窗處理后，Hg()與原理想低通與原理想低通Hdg()的差別有以下兩點：的差別有以下兩點：在理想特性不連續點在理想特性不連續點=c附近形成過渡帶。過渡帶的寬附近形成過渡

20、帶。過渡帶的寬度近似等于度近似等于WRg()主瓣寬度主瓣寬度4/N。通帶內產生了波紋，最大的峰值在通帶內產生了波紋，最大的峰值在c2/N處。阻帶內處。阻帶內產生了余振，最大的負峰在產生了余振，最大的負峰在c+2/N處。通帶與阻帶中波處。通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數的幅度譜有關，紋的情況與窗函數的幅度譜有關，WRg()旁瓣幅度的大旁瓣幅度的大小直接影響小直接影響Hg()波紋幅度的大小。波紋幅度的大小。v 這兩點就是對這兩點就是對hd(n)截斷后，在頻域的反映，即截斷后，在頻域的反映，即吉布斯吉布斯效應效應。如何減少吉布斯效應的影響，設計一個滿足要求的如何減少吉布斯效應的影響，設計一個滿足要求的

21、FIR濾波器呢？濾波器呢？直觀上，增加矩形窗口的寬度（即加大直觀上，增加矩形窗口的寬度（即加大N）可以減少吉布斯效應）可以減少吉布斯效應的影響。的影響。N 時，時，在主瓣附近，在主瓣附近，WRg()近似為：近似為：該函數的性質是：該函數的性質是：隨隨x (N )，主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣，主瓣幅度加高，同時旁瓣也加高，保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變；波動的頻率加快，當和旁瓣幅度相對值不變；波動的頻率加快，當x 時，時，sinx/x趨近于趨近于 函數，因此，當函數，因此，當N加大時，加大時，H()的波動幅度沒有多大的波動幅度沒有多大改善。改善。N加大帶來的最大好處是過渡帶變窄加大帶來

22、的最大好處是過渡帶變窄(過渡帶過渡帶:4/N)。因此因此加大加大N并不是減少吉布斯效應的有效方法。并不是減少吉布斯效應的有效方法。Rgsin(/2)sin()/2NxWNx圖圖7.2.4 矩形窗函數長度的影響矩形窗函數長度的影響所以有如下結論：所以有如下結論：v 調整窗口長度調整窗口長度N可以有效地控制過渡帶的寬度?？梢杂行У乜刂七^渡帶的寬度。v 減少帶內波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數的形狀減少帶內波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數的形狀上找解決方法。上找解決方法。為了消除吉布斯效應，取得較好的頻率特性，一般采用其為了消除吉布斯效應，取得較好的頻率特性，一般采用其它類型的窗口，它類型的窗口

23、，這些窗口函數在靠近兩端的這些窗口函數在靠近兩端的h(n)逐步衰減到零，逐步衰減到零，使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。使窗口頻譜的主瓣包含更多的能量。從而降低通帶內的紋波并從而降低通帶內的紋波并加大阻帶的衰減。加大阻帶的衰減。下面是幾種常用的窗函數下面是幾種常用的窗函數1.矩形窗矩形窗(Rectangle Window)2.三角形窗三角形窗(Bartlett Window)3.漢寧漢寧(Hanning)窗窗-升余弦窗升余弦窗 4.哈明哈明(Hamming)窗窗改進的升余弦窗改進的升余弦窗 5.布萊克曼布萊克曼(Blackman)窗窗 6.凱塞凱塞貝塞爾窗貝塞爾窗(Kaiser-Basel Wi

24、ndow)7.2.2.幾種常用的窗函數幾種常用的窗函數（）為了描述方便，定義窗函數的幾個為了描述方便，定義窗函數的幾個參數參數:旁瓣峰值旁瓣峰值 n窗函數的幅頻函數窗函數的幅頻函數|Wg()|的最大旁瓣的最大旁瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減值（的最大值相對主瓣最大值的衰減值（dB）；）；過渡帶寬度過渡帶寬度Bg用該窗函數設計的用該窗函數設計的FIR數字濾波器數字濾波器（FIRDF）的過渡帶寬度；）的過渡帶寬度；阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s用該窗函數設計的用該窗函數設計的FIRDF的阻帶最的阻帶最小衰減。小衰減。Rgsin(/2)()sin(/2)NW1 矩形窗（矩形窗（Rectangle Wi

25、ndow）wR(n)=RN(n)其幅度函數為其幅度函數為圖圖7.2.4 矩形窗函數長度的影響矩形窗函數長度的影響2 三角形窗（三角形窗（Bartlett Window）（）其頻譜函數為其頻譜函數為1)1(21122)1(21012)(BNnNNnNnNnn，21j2jBe)2/sin(4/sin2)e(NNNW其幅度函數為其幅度函數為 （）（）2Bg2sin(/4)()sin(/2)NWN圖7.2.5 三角窗的四種波形主瓣主瓣能量能量更集更集中，中，但過但過渡帶渡帶寬了寬了很多很多3 漢寧（漢寧（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗（）HnN2()0.5 1 cos()1nwnRnN1jj2

26、RNRgjHnHn1j2RgRgRg1j2Hng(e)()()e(e)()22 0.5()0.25e11 ()eNNNWFT RnWWFT WnWWWNNW當當N1時，時，N1NHngRgRgRg22()0.5()0.25WWWWNN漢寧窗的幅度函數漢寧窗的幅度函數WHng()由三部分相加，旁瓣互相對由三部分相加，旁瓣互相對消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖所示，消，使能量更集中在主瓣中。漢寧窗的四種波形如圖所示，參數為參數為:n=31 dB;Bg=8/N;s=44 dB。圖圖7.2.6 漢寧窗的四種波形漢寧窗的四種波形4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改進的升余弦窗改進的升余

27、弦窗 （）其頻譜其頻譜函數函數WHm(ej)為為)(12cos46.054.0)(NHmnRNnn)e(23.0)e(23.0)e(54.0)e(12R12jRERjHmNENWWWW其幅度函數其幅度函數WHmg()為為當當N時，其可近似表示為時，其可近似表示為1223.01223.0)(54.0)(RgRgRgHmgNWNWWWNWNWWW223.0223.0)(54.0)(RgRgRgHmg圖圖7.2.7 哈明窗的四種波形哈明窗的四種波形這種改進這種改進的升余弦的升余弦窗，能量窗，能量更加集中更加集中在主瓣，在主瓣，但其主瓣但其主瓣寬度和漢寬度和漢寧窗的相寧窗的相同同（）5 布萊克曼（布萊

28、克曼（Blackman）窗）窗其頻譜函數為其頻譜函數為)(14cos08.012cos5.042.0)(BlnRNnNnnN）（）（）（14jR14jR12jR12jRjRjBlee04.0 e)e(25.0)e(42.0)e(NNNNWWWWWW其幅度函數為其幅度函數為141404.0 121225.0)(42.0)(RgRgRgRgRgBlgNWNWNWNWWW幅度函數由五部分組成，它們都是移幅度函數由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同的位不同，且幅度也不同的WRg()函數，函數，使旁瓣再進一步抵消。旁瓣峰值幅度使旁瓣再進一步抵消。旁瓣峰值幅度進一步增加，其幅度譜主瓣寬度是矩進一步

29、增加，其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的形窗的3倍倍圖7.2.8 布萊克曼窗的四種波形旁瓣進旁瓣進一步減一步減小，但小，但過渡帶過渡帶變寬變寬6 凱塞凱塞貝塞爾窗（貝塞爾窗（Kaiser-Basel Window）以上五種窗函數都稱為參數固定窗函數，每種窗以上五種窗函數都稱為參數固定窗函數，每種窗函數的旁瓣幅度都是固定的。凱塞函數的旁瓣幅度都是固定的。凱塞貝塞爾窗是一種貝塞爾窗是一種參數可調的窗函數，是一種最優窗函數。參數可調的窗函數，是一種最優窗函數。（7.2.15）式中式中10)()()(00kNnIIn，21121NnI0()是零階第一類修正貝塞爾函數，可用下面級數計算：是零階第一類修正貝塞爾函

30、數，可用下面級數計算：一般一般I0()取取1525項，便可以滿足精度要求。項，便可以滿足精度要求。參數可以參數可以控制窗的形狀。一般控制窗的形狀。一般 加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數據為典型數據為4 9。當。當 =5.44時，窗函數接近哈明窗。時，窗函數接近哈明窗。=7.865時，窗函數接近布萊克曼窗。在設計指標給定時，時，窗函數接近布萊克曼窗。在設計指標給定時，可以調整可以調整 值，使濾波器階數最低，所以其性能最優。凱值，使濾波器階數最低，所以其性能最優。凱塞（塞（Kaiser）給出的估算）給出的估算和濾波器階數和濾波器階數N的公式如下的公式如下:2011

31、()1!2kkIk（7.2.17）式中，式中，Bt=|sp|,是數字濾波器過渡帶寬度。應當注是數字濾波器過渡帶寬度。應當注意，因為式（意，因為式（7.2.17）為階數估算，所以必須對設計結）為階數估算，所以必須對設計結果進行檢驗。另外，凱塞窗函數沒有獨立控制通帶波紋果進行檢驗。另外，凱塞窗函數沒有獨立控制通帶波紋幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱幅度，實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度。凱塞窗的幅度函數為塞窗的幅度函數為（7.2.16）ss0.4ssss0.112(8.7),50 dB0.5842(21)0.07886(21),2150 dB0,21st82.285NB(1)

32、/2kgkk1()(0)2()cosNnWww nn（7.2.18）對對 的的8種典型值，將凱塞窗函數的性能列于表種典型值，將凱塞窗函數的性能列于表7.2.1中，中，供設計者參考。由表可見供設計者參考。由表可見,當當 =5.568時時,各項指標都各項指標都好于哈明窗。好于哈明窗。表表7.2.1 凱塞窗參數對濾波器的性能影凱塞窗參數對濾波器的性能影 表表7.2.2 6種窗函數的基本參數種窗函數的基本參數 7.2.3 用窗函數法設計用窗函數法設計FIR濾波器的步驟濾波器的步驟(1)根據對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗根據對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數的類型，并估計窗口長度函數的類型，

33、并估計窗口長度N。(2)構造希望逼近的頻率響應函數構造希望逼近的頻率響應函數Hd(ej)，即，即jj(1)/2ddg(e)()eNHH一般取一般取2spc(3)計算計算hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響函數為如果給出待求濾波器的頻響函數為Hd(ej)，那，那么單位脈沖響應用下式求出：么單位脈沖響應用下式求出：（7.2.21）jjddde)e(21)(nHnh2jdd()(e)kMMHkH如果如果Hd(ej)較復雜，或者不能用封閉公式表示，則不較復雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出能用上式求出hd(n)?？梢詫??？梢詫d(ej)從從=0到到=2采樣采樣M點，采樣值為點，采樣值為，k

34、=0,1,2,M1，進行，進行M點點IDFT(IFFT)，得到：，得到：（7.2.22）根據頻域采樣理論，根據頻域采樣理論，hdM(n)與與hd(n)應滿足如下關系：應滿足如下關系：dd()IDFT()MMMhnHkdd()()()MMrhnh nrM Rn因此，如果因此，如果M選得較大，可以保證在窗口內選得較大，可以保證在窗口內hdM(n)有效有效逼近逼近hd(n)。對（）式給出的線性相位理想低通濾波器作為對（）式給出的線性相位理想低通濾波器作為Hd(ej)，由（）式求出單位脈沖響應，由（）式求出單位脈沖響應hd(n)：為保證線性相位特性，為保證線性相位特性，=(N1)/2。(4)加窗得到設

35、計結果：加窗得到設計結果：h(n)=hd(n)w(n)。cdsin()()()nh nn例例7.2.1 用窗函數法設計線性相位高通用窗函數法設計線性相位高通FIRDF，要求，要求通帶截止頻率通帶截止頻率p=/2 rad，阻帶截止頻率，阻帶截止頻率s=/4 rad，通帶最大衰減通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=40 dB。解解(1）選擇窗函數選擇窗函數w(n)，計算窗函數長度，計算窗函數長度N。已知阻帶最小衰減已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（）可知漢寧窗和，由表（）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗漢寧窗。過渡帶寬度過渡帶寬度

36、Btps=/4，漢寧窗的精確過渡帶漢寧窗的精確過渡帶寬度寬度BtN，所以要求，所以要求BtN/4，解之得，解之得N。對高通濾波。對高通濾波器器N必須取奇數，取必須取奇數，取N=25。25()0.5 1cos()12nw nRn（2）構造構造Hd(ej):式中式中jjcdce,(e)0,0Hspc1312,22N（3）求出求出hd(n):jjdd1()(e)ed2nh nHccjjjj1 eedeed2nncsin()sin()()()nnnn將將=12代入得代入得 dsin3(12)/8()(12)(12)nh nnn（4）加窗加窗:d()()()h nh n w n25sin3(12)/8(

37、12)0.50.5cos()(12)12nnnRnn全通濾全通濾波器波器理想低通濾理想低通濾波器的單位波器的單位脈沖響應脈沖響應例例7.2.2 對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0f 1.5kHz內衰減小于內衰減小于1 dB，阻帶阻帶kHzf 上衰減大上衰減大于于40 dB。希望對模擬信號采樣后用線性相位。希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數字濾波數字濾波器實現上述濾波，采樣頻率器實現上述濾波，采樣頻率Fs=10 kHz。用窗函數法設計。用窗函數法設計滿足要求的滿足要求的FIR數字低通濾波器，求出數字低通濾波器，求出h(n)，并畫出損耗，并畫出損耗函數曲

38、線。為了降低運算量，希望濾波器階數盡量低。函數曲線。為了降低運算量，希望濾波器階數盡量低。解解（1）確定相應的數字濾波器指標確定相應的數字濾波器指標:通帶截止頻率為通帶截止頻率為3.010000150022sppFf 阻帶截止頻率為阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為阻帶最小衰減為 s=40dB（2）用窗函數法設計用窗函數法設計FIR數字低通濾波器，為數字低通濾波器，為了降低階數選擇凱塞窗。根據式（）計算凱塞窗的控了降低階數選擇凱塞窗。根據式（）計算凱塞窗的控制參數為制參數為5.010000250022sssFf0.4ss0.5842(21)0.07886(21)3.3953指標要求過渡帶寬度指標要

39、求過渡帶寬度Bt=sp，根據式（）計算濾波器，根據式（）計算濾波器階數為階數為取滿足要求的最小整數取滿足要求的最小整數M=23。所以。所以h(n)長度為長度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，。但是，如果用漢寧窗，h(n)長度為長度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率理想低通濾波器的通帶截止頻率c=(s+p，所以由式（），所以由式（）和式（）和式（）,得到得到:式中，式中，w(n)是長度為是長度為24（）的凱塞窗函數。）的凱塞窗函數。st840822.28872.2852.2850.2MBdsin0.4()1()()()(),11.5()2nNh nh n w nw nn7.3 利用頻

40、率采樣法設計利用頻率采樣法設計FIR濾波器濾波器1 用頻率采樣法設計濾波器的基本思想用頻率采樣法設計濾波器的基本思想設希望逼近的濾波器的頻響函數設希望逼近的濾波器的頻響函數Hd(ej)，對它，對它=0到到2之間等之間等間隔采樣間隔采樣N點，得到點，得到Hd(k)：1210|)e()(2jddNkHkHkN，再對再對Hd(k)進行進行N點點IDFT，得到，得到h(n)：（）（）h(n)作為所設計的作為所設計的FIR濾波器的單位脈沖響應，其系統函數濾波器的單位脈沖響應，其系統函數H(z)為為 （）（）1210e)(1)(102jdNnkHNnhNkknN，10)()(NnnznhzH根據根據頻率域

41、采樣頻率域采樣理論，利用頻率域采樣值恢復原信號理論，利用頻率域采樣值恢復原信號Z變換式，得到變換式，得到H(z)的內插表示形式：的內插表示形式：（）（）此式就是直接利用頻率采樣值此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統函形成濾波器的系統函數，（）式適合數，（）式適合FIR直接型網絡結構，（）式適合頻率直接型網絡結構，（）式適合頻率采樣結構。采樣結構。1012jde1)(1)(NkkNNzkHNzzH 下面討論兩個問題：下面討論兩個問題：一個一個是為了設計線性相位是為了設計線性相位FIR濾濾波器，頻域采樣序列波器，頻域采樣序列Hd(k)應滿足的條件；應滿足的條件；另一個另一個是逼近是

42、逼近誤差問題及其改進措施。誤差問題及其改進措施。2 設計線性相位濾波器時對設計線性相位濾波器時對Hd(k)的約束條件的約束條件FIR濾波器具有線性相位的條件是濾波器具有線性相位的條件是h(n)為實序列，為實序列，且滿足且滿足h(n)=h(Nn1)，其頻響函數應滿足的條件是：，其頻響函數應滿足的條件是：jj()ddg(e)()eHH（7.3.5）（7.3.6）21)(N(7.3.7)dgdg()(2)HHN=奇數(7.3.8)dgdg()(2)HH N=偶數 在在=02區間上區間上N個等間隔的采樣頻點為個等間隔的采樣頻點為將將=k代入（）代入（）（）式中，并寫成（）式中，并寫成k的函數：的函數：

43、kNk2k=0，1，2，N 1（7.3.9）)(jgde)()(kkHkH（7.3.10）kNNkNNk1221)(（7.3.11）)()(ggkNHkHN=奇數（7.3.12）)()(ggkNHkHN=偶數 Hg(k)關于關于N/2點偶對稱點偶對稱Hg(k)關于關于N/2點奇對稱，且點奇對稱，且Hg(N/2)=0 設用理想低通作為希望逼近的濾波器設用理想低通作為希望逼近的濾波器Hd(ej)，截止頻，截止頻率為率為c，采樣點數為，采樣點數為N，Hg(k)和和(k)用下列公式計算：用下列公式計算：（7.3.13）12101)(1210)(2101)()(cccgcggNkkNNkkNkkkkHk

44、kkNHkH，N=偶數時，偶數時，ggcccgc()1 0,1,2,()0 1,2,1()1 1,2,1()0,1,2,1cHkkkHkkkkNkHNkkkNkkkNN N=奇數時，奇數時，kc是通帶內最后一是通帶內最后一個采樣點的序號，個采樣點的序號，所以所以kc的值取不大的值取不大于于cN/(2)的的最大整數。對于最大整數。對于高通和帶阻濾波高通和帶阻濾波器，器，N只能取奇數。只能取奇數。3 逼近誤差及其改進措施逼近誤差及其改進措施時域角度分析：時域角度分析：待逼近的濾波器為待逼近的濾波器為Hd(ej)，對應的單位脈沖響應為，對應的單位脈沖響應為hd(n)，在頻域，在頻域02范圍等間隔采樣

45、范圍等間隔采樣N點，利用點，利用IDFT得到的得到的h(n)應是應是hd(n)以以N為周期的周期延拓的主值區序列，即為周期的周期延拓的主值區序列，即d()()()Nmh nh nmN Rn由于時域混疊由于時域混疊及截斷，使及截斷，使h(n)與與hd(n)有有偏差偏差頻域角度分析：頻域角度分析：H(ej)=FTh(n)的內插表示形式：的內插表示形式：10j2)()e(NkkNkHH式中式中21je)2/sin()2/sin(1)(NNN在采樣頻點，在采樣頻點，(2k/N)=1，因此采樣，因此采樣點處與點處與H(k)相等，逼近誤差為相等，逼近誤差為0。在采樣點之間，在采樣點之間，由由N項項H(k)

46、(2k/N)之和形成。之和形成。j(e)kHj(e)kH圖圖7.3.1 頻域幅度采樣序列頻域幅度采樣序列Hg(k)及其內插波形及其內插波形Hg()dg()的誤差與的誤差與Hdg()特性的平滑特性的平滑程度有關，程度有關，Hdg()特性愈平滑的區特性愈平滑的區域，誤差愈??；特性曲線間斷點處，域，誤差愈??；特性曲線間斷點處，誤差最大。誤差最大。間斷點變成傾斜下降的過渡帶曲線，間斷點變成傾斜下降的過渡帶曲線，過渡帶寬度近似為過渡帶寬度近似為2/N。通帶和阻。通帶和阻帶內產生震蕩波紋，且間斷點附近帶內產生震蕩波紋，且間斷點附近振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，振蕩幅度最大，使阻帶衰減減小，往往不能滿足技術

47、要求。往往不能滿足技術要求。增加增加N可以使過渡帶變窄，但是通可以使過渡帶變窄，但是通帶最大衰減和阻帶最小衰減隨帶最大衰減和阻帶最小衰減隨N的的增大并無明顯改善。且增大并無明顯改善。且N太大，會太大，會增加濾波器的階數，即增加了運算增加濾波器的階數，即增加了運算量和成本。量和成本。提高阻帶衰減提高阻帶衰減的具體方法是在的具體方法是在頻響間斷點附近區間內插一個頻響間斷點附近區間內插一個或幾個過渡采樣點，使不連續或幾個過渡采樣點，使不連續點變成緩慢過渡帶，這樣，雖點變成緩慢過渡帶，這樣，雖然加大了過渡帶，但阻帶中相然加大了過渡帶，但阻帶中相鄰內插函數的旁瓣正負對消，鄰內插函數的旁瓣正負對消，明顯增

48、大了阻帶衰減。明顯增大了阻帶衰減。表表7.3.1 過渡帶采樣點的個數過渡帶采樣點的個數m與濾波器阻帶最小衰減與濾波器阻帶最小衰減 s的經驗數據的經驗數據 隨著隨著m，s明顯明顯s4 頻率采樣法設計步驟頻率采樣法設計步驟（1）根據阻帶最小衰減根據阻帶最小衰減 s選擇過渡帶采樣點的個數選擇過渡帶采樣點的個數m。（2）確定過渡帶寬度確定過渡帶寬度Bt，估算頻域采樣點數（即濾波器長度），估算頻域采樣點數（即濾波器長度）N。如果給定過渡帶寬度。如果給定過渡帶寬度Bt，則要求，則要求(m+1)2/NBt，濾波器長，濾波器長度度N必須滿足如下估算公式必須滿足如下估算公式:（7.3.15）t2(1)NmB（3

49、）構造一個希望逼近的頻率響應函數構造一個希望逼近的頻率響應函數:jj(1)/2ddg(e)()eNHHHdg()為相應為相應的理想頻響特的理想頻響特性，且滿足表性，且滿足表對稱性。對稱性。（4）按照（）式進行頻域采樣按照（）式進行頻域采樣:(1)jjd2()(e)()e,0,1,2,1NkNgkNH kHHkkN（7.3.17）dg2(),0,1,2,1gHkHkkNN（5）對對H(k)進行進行N點點IDFT，得到第一類線性相位，得到第一類線性相位FIR數字濾波器的單位脈沖響應數字濾波器的單位脈沖響應:1 01()IDFT()(),0,1,2,1Nk nNkh nH kH k WnNN（6）檢

50、驗設計結果。如果阻帶最小衰減未達到指標要求，檢驗設計結果。如果阻帶最小衰減未達到指標要求，則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾則要改變過渡帶采樣值，直到滿足指標要求為止。如果濾波器邊界頻率未達到指標要求，則要微調波器邊界頻率未達到指標要求，則要微調Hdg()的邊界頻的邊界頻率。率。窗函數設計法和頻率采樣法簡單方便，易于實現。窗函數設計法和頻率采樣法簡單方便，易于實現。存在以下存在以下缺點缺點:濾波器邊界頻率不易精確控制。濾波器邊界頻率不易精確控制。都不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度。都不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度。所設計的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻所設計的濾波器在阻

51、帶邊界頻率附近的衰減最小，距阻帶邊界頻率越遠，衰減越大。這兩種設計法存在較大的資帶邊界頻率越遠，衰減越大。這兩種設計法存在較大的資源浪費。源浪費。7.4 利用等波紋最佳逼近法設計利用等波紋最佳逼近法設計FIR數字濾波數字濾波7.4.1 等波紋最佳逼近法的基本思想等波紋最佳逼近法的基本思想EWHHdg()()()()Hd()Hg()E()設希望設計的濾波器幅度響應為設希望設計的濾波器幅度響應為 ，實際逼近，實際逼近的幅度的幅度響應為響應為 ，加權誤差為，加權誤差為 ，則：，則：準則：準則：選擇選擇FIR濾波器的單位脈沖響應濾波器的單位脈沖響應h(n)，使得，使得E(w)的的最大絕對值最小最大絕對

52、值最小W()稱為誤差加權函稱為誤差加權函數，用來控制不同頻數，用來控制不同頻段的逼近精度，段的逼近精度，W()取值越大的頻段取值越大的頻段,逼逼近精度越高近精度越高把數字頻段分為把數字頻段分為“逼逼近（或研究）區域近（或研究）區域”和和“無關區域無關區域”。逼。逼近區域一般指通帶和近區域一般指通帶和阻帶，而無關區域一阻帶，而無關區域一般指過渡帶般指過渡帶由式（）和（）得到由式（）和（）得到（7.4.2）11p111120lg20lg11（7.4.3）2s2120 lg20 lg1 （7.4.4）pp/201/20101101用等波紋最佳逼近設計法求濾波器階數用等波紋最佳逼近設計法求濾波器階數N

53、和誤差加權函數和誤差加權函數W()時，要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度時，要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度1和和2（7.4.5）s/20210圖圖7.4.2 誤差加權函數誤差加權函數W()和濾波和濾波器階數器階數N對逼近精度的影響對逼近精度的影響當當N一定時，誤差加權函一定時，誤差加權函數數W()較大的頻帶逼近較大的頻帶逼近精度較高，精度較高，W()較小的較小的頻帶逼近精度較低，如頻帶逼近精度較低，如果改變果改變W()使通（阻）使通（阻）帶逼近精度提高，則必帶逼近精度提高，則必然使阻（通）帶逼近精然使阻（通）帶逼近精度降低。濾波器階數度降低。濾波器階數N增增大才能使通帶和阻帶逼大才能使通帶和阻帶逼近精度同時提高。近精度同時提高。設計步驟：設計步驟：（1）根據給定的逼近指標估根據給定的逼近指標估算濾波器階數算濾波器階數N和誤差加權函和誤差加權函數數W()；（2）采用采用remez算法得到濾算法得到濾波器單位脈沖響應波器單位脈沖響應h(n)。