數字信號處理第六章

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1、t濾波的目的為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例t濾波技術包括:濾波器設計:根據給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數，濾波過程的實現：獲得傳輸函數后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的 6.1 數字濾波的基本概念數字濾波的基本概念 t數字濾波器輸入、輸出均為數字信號，通過一定的運算關系，濾除輸入信號中某些頻率成分或改變輸入信號頻譜中各頻率分量的相對比例的器件具有某種特定頻率特性的線性時不變系統廣義上，任何線性時不變離散系統都是一個數字濾波器t數字濾波器的特點精度高、穩定、靈活 不要求阻抗匹配、實現特殊的濾波器t設計數字濾波器的任務尋求一個因果穩

2、定的線性時不變系統，使其系統函數H(z)具有指定的頻率特性0)()()(nnjezjenhzHeHj0)()()(nnjezjenhzHeHj對因果穩定的線性時不變系統：)(jeH:濾波器的傳輸函數H(z):系統函數h(n):濾波器的單位脈沖響應)()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度響應)(：相位響應1、數字濾波器的分類：經典濾波器：有用頻率與濾掉頻率占用不同頻帶 現代濾波器 維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器經典濾波器A、DF按頻率特性分類按頻率特性分類 可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通，可分為低通、高通、帶

3、通、帶阻和全通，其特點為：其特點為：（1）頻率變量以數字頻率）頻率變量以數字頻率 表示，表示，為模擬角頻率，為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔；為抽樣時間間隔；（2）以數字抽樣頻率）以數字抽樣頻率 為周期；為周期；（3）頻率特性只限于）頻率特性只限于 范圍，這范圍，這是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的是因為依取樣定理，實際頻率特性只能為抽樣頻率的一半。一半。T22Tfss2/s理想濾波器的頻率響應 B、DF按實現的網絡結構分類按實現的網絡結構分類 可分為無限長脈沖響應（可分為無限長脈沖響應（IIR）濾波器；）濾波器；有限長脈沖響應（有限長脈沖響應（FIR）濾波器）濾波器11101)(z

4、azbzHkNkkNk10)()(NnnznhzH二、二、DF的性能要求（低通為例）的性能要求（低通為例）707.0)e(Hj0c211 通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率ps1ps通帶通帶 阻帶阻帶 過渡帶過渡帶三、三、DF頻響的三個參量頻響的三個參量 1、幅度平方響應、幅度平方響應 2、相位響應、相位響應)()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1t從信號不失真角度講通常要求相位線性)(為時延常數具有群恒時延特性 常數)()(dd)(相位響應四、四、DF設計內容設計內容 1、按任務要求確定、按任務要求確定Filter的性能指標；的性能指標；2

5、、用、用IIR或或FIR系統函數去逼近這一性能要求；系統函數去逼近這一性能要求；3、選擇適當的運算結構實現這個系統函數；、選擇適當的運算結構實現這個系統函數；4、用軟件還是用硬件實現。、用軟件還是用硬件實現。五、五、IIR數字數字filter的設計方法的設計方法 1、借助模擬、借助模擬filter的設計方法的設計方法（1）將）將DF的技術指標轉換成的技術指標轉換成AF的技術指標；的技術指標；（2）按轉換后技術指標、設計模擬低通）按轉換后技術指標、設計模擬低通filter的的 ；（3）將）將 （4）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通）如果不是低通，則必須先將其轉換成低通 AF的技術指標。的技術

6、指標。2、計算機輔助設計法（最優化設計法）、計算機輔助設計法（最優化設計法）先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下最大誤差最小準則等，然后在此準則下，確定系確定系統函數的系數。統函數的系數。)s(Ha)()(zHsHa6.2 模擬濾波器設計 tIIR濾波器的設計是基于模擬濾波器的成熟技術而完成的t簡單介紹模擬濾波器設計的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設計方法：巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器621模擬濾波器設計的基本概念 1.模擬濾波器的頻率特性與衰減特性模擬濾波器的頻率

7、特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構成濾波器系統的系統函數 jssHjH|)()(工程設計中給定的指標往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數或稱模方函數來定義dBjHjHA|)(|lg20|)(|lg10)(2 當要求濾波器具有線性相位特性（延時為常數）時濾波器的頻率特性為H jH jej()|()|()(，2.歸一化與頻率變換歸一化與頻率變換 t采用歸一化參數設計結果具有普遍性計算方便t歸一化包含：電路參數歸一化：將系統中無源元件的阻抗或運算阻抗分別除以基準電阻(系統的負載電阻值)。頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準頻率（濾波器的截止頻率）計算實際電路參數時應要將

8、歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法3.從模方函數從模方函數 求模擬濾求模擬濾波器的系統函數波器的系統函數H(s)t當不含有源器件，作為一個因果穩定、物理可實現的系統函數必須滿足的條件|()|H j2a、是一個具有實系數的s有理函數)(/)()(sDsNsHb、所有極點必須全部分布在s的左半平面內 c、分子多項式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項式D(s)的階次 正實函數正實函數 實函數的傅立葉變換存在共軛對稱的性質 HjHj*()()()(|)(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H

9、jH jHjH jHj2有 得平面的虛軸，解析延拓代表sj從給定的模方函數求出所需要的系統函數的方法 a、解析延拓,令s=代入模方函數得到 ,并求其零極點 jH s Hs()()b、取 所有在左半平面的極點作為 的極點)(sHH s Hs()()c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取一半的零點構成 的零點)(sHH s Hs()()4 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計-逼近問題逼近問題 pAsA：通帶衰減：通帶衰減：阻帶衰減：阻帶衰減,：與通帶衰減、阻：與通帶衰減、阻帶衰減有關的系數帶衰減有關的系數 ：通帶截止頻率：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率pst尋找一個恰當的近似函數來

10、逼近理想特性謂逼近問題t最常用的具有優良性能的濾波器：巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓(elliptic)函數或考爾（Cauer）濾波器實現線性相位的貝塞爾濾波器)1log(20)11log(102ppAssAlog20)11log(102之間的關系、與sPAA,622巴特沃思Butterworth低通濾波器 1基本性質基本性質 BW濾波器以巴特沃思函數來近似濾波器的系統函數BW的低通模平方函數表示,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc指定 、后，帶 到上式，得pApp21.0222)1(1011)/(11|)(|pANcpppjH1010

11、1.Ap13時，當dBAp指定 、后，帶 到上式，得sAss21.02221011)/(11|)(|sANcsssjH1010 1.As用3dB截止頻率 來規一化：對頻率進行 ，下式變為 c/c,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc|()|()H jN2211討論：|()|()H jN2211當 =0 時，=1,取最大值|()|H j2當 時，=0.5,取3dB值)(1c|()|H j21)(/,1/22接近時，很小，通帶jHNNcc0)(/,1/22接近時，很大，通帶jHNNcc阻帶內，由于|()|()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10202lg|()|lg()幅度隨著

12、N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻程。N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性|()|()H jN2211上式的臺勞級數展開為：NNjH4221|)(|12,2,1,0|)(|02NkjHddk =0處函數對2Nl階導數都等于零曲線在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器”歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 2設計過程設計過程(a)按給定指標確定階次按給定指標確定階次N 222)(Nps)/lg()110/()110lg(21)/lg()/lg(1.01.0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1.0csAcscssN實際計算時，要

13、對上式求得的數值取整加1。若給定的指標 =3dB,即通帶邊頻 時,=1,可求得cppA(b)從模方函數求系統函數從模方函數求系統函數H(s)求得極點求得極點,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc帶入上式，得：js0)(12Ncjs)12()1(kje由于NkesNNkjck2,2,12/)12(分析討論c在歸一化頻率的情況 =1，極點均勻分布在單位圓上 NkesNNkjk2,2,12/)12(對于物理可實現系統,它的所有極點均應在 s的左半平面上 系統函數的構成系統函數的構成 濾波器的極點求出后，可取左平面上的所有極點構成系統函數)(1)(1iNissAsH對于低通濾波器，為了保證在頻率

14、零點 =0處，=1，可取|)(|jHNiiNsA1)1()()1()(1iiNiNssssH因此得 例例6-2-1舉例說明系統函數的構成 設計一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標:通帶邊頻 =100k rad/s,通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dBpApsAs解解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即 cp11101.0pA2.561101.0sA確定階次N，9.24lg2.56lg)/lg()/lg(csN3N取求左半平面的極點:sekkcjkNN()/,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得極點：構成巴特沃思

15、濾波器傳輸函數H(s)為 H ss s sssssssssscccc()()()()1 231233322322相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數 cHsa()Hssssa()122132一般一般N階歸一化巴特沃思濾波器傳階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數輸函數 表示表示 Hsssa sa sassaiNiNNN()()111112211是 =1時的極點，分布在單位圓上 sic分母一般稱為巴特沃思多項式，其系數可通過查表求得,見表5-2-1 表6-2-1 巴特沃思多項式系數 Na1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41

16、422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925表6-2-2 巴特沃思多項式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項 式1 s+12s2+1.4

17、142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)t上述歸一化公式和表格是相對3

18、dB 截止頻率 給出的。由指定的技術指標 利用上述公式和表格進行設計時，最關鍵的2個參數是濾波器的節數N和3dB 截止頻率 。tN用來求巴特沃思多項式，用來反歸一化，求實際濾波器的參數。ssPpAA,ccc設計舉例二（巴特沃斯設計舉例二（巴特沃斯filter）1、技術指標、技術指標 2、計算所需的階數及、計算所需的階數及3dB截止頻率截止頻率將技術指標，代入上式，可得將技術指標，代入上式，可得1)102 j(Hlg203a15)103 j(Hlg203aC)(1/1)j(HN2C2a)(1lg10)j(Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3解上述兩式得

19、：解上述兩式得：1.0N2C310)102(15.1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743.7,8858.5N取取N=6，則，則3C100321.73、的求得的求得查表，可得查表，可得N=6時的歸一化原型模擬巴特時的歸一化原型模擬巴特沃斯沃斯LF的系統函數為的系統函數為3456anS1416202.9S4641016.7S8637033.3S/(1)S(H)1S8637033.3S4641016.72)1S4142135.1S)(1S51763809.0S/(122)1S931851652.1S(2)(sHa將將S用用 代入，可得代入，可得3C100321.7/SS)S(Ha)

20、104504.49S1064003.3S/101.120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475.9S(632632623 切比雪夫濾波器 t自學 6-3模擬濾波器頻率轉換模擬濾波器頻率轉換 A、高通濾波器的設計、高通濾波器的設計 變換關系：變換關系：11)()(jGjHB、設計步驟、設計步驟 1、高通濾波器的技術指標、高通濾波器的技術指標 歸一化頻率指標歸一化頻率指標ssPpAA,sp,2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標 11)()(jGjHssPpAA,3、求歸一化低通濾波器的系統函數、求

21、歸一化低通濾波器的系統函數 spCpGsH)()()(pG4、求高通濾波器的系統函數、求高通濾波器的系統函數 B、帶通濾波器的設計、帶通濾波器的設計 技術指標：技術指標：sssluA p21A luB通帶寬度：*20lu中心頻率：歸一化頻率是對歸一化頻率是對B進行歸一化進行歸一化 歸一化頻率技術指標：歸一化頻率技術指標：/B /B /B /Bl222110usssslluu變換關系：變換關系：202)(*2)()(lulussppGsHB、設計步驟、設計步驟 1、帶通濾波器的技術指標、帶通濾波器的技術指標 歸一化頻率指標歸一化頻率指標sssluA p21A /B /B /B /Bl222110

22、usssslluu 2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標 1pssPpAA,22022sss12021sss),min(sss 3、求歸一化低通濾波器的系統函數、求歸一化低通濾波器的系統函數 )(pG4、求帶通濾波器的系統函數、求帶通濾波器的系統函數 )(*2)()(lulussppGsH C、帶阻濾波器的設計、帶阻濾波器的設計 技術指標：技術指標：sssluA p21A luB通帶寬度：*20lu中心頻率：歸一化頻率是對歸一化頻率是對B進行歸一化進行歸一化 歸一化頻率技術指標：歸一化頻率技術指標：/B /B /B /Bl222110usssslluu變換關系

23、：變換關系：202lulussppGsH*)(2)()(B、設計步驟、設計步驟 1、帶阻濾波器的技術指標、帶阻濾波器的技術指標 歸一化頻率指標歸一化頻率指標sssluA p21A /B /B /B /Bl222110usssslluu 2、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標、轉換為低通濾波器的歸一化技術指標 1pssPpAA,20222sss20211sss),min(sss 3、求歸一化低通濾波器的系統函數、求歸一化低通濾波器的系統函數 )(pG4、求帶通濾波器的系統函數、求帶通濾波器的系統函數 lulussppGsH*)(2)()(6-4 沖激響應不變法沖激響應不變法 AF設計完畢以后，還應

24、將設計完畢以后，還應將 變換成變換成H（Z），），也就是將也就是將S平面映射到平面映射到Z平面。平面。)S(Ha變換關系的基本要求：變換關系的基本要求：1、因果穩定的、因果穩定的AF轉換為轉換為DF，也是因果穩定；，也是因果穩定；S平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內部平面的單位圓內部 2、DF的頻率響應模仿的頻率響應模仿AF的頻率響應，的頻率響應，S平面平面平面平面 的虛軸映射到的虛軸映射到Z平面的單位圓，相應的頻率之間平面的單位圓，相應的頻率之間 成線性關系。成線性關系。通常有三種方法：通常有三種方法：（1）沖激響應不變法沖激響應不變法；（2）階躍響應不變法；）階躍響應

25、不變法；（3）雙線性變換法。）雙線性變換法。我們這里只討論沖激響應不變法和雙線性變換法我們這里只討論沖激響應不變法和雙線性變換法設計IIR濾波器的脈沖響應不變法 1 1設計的基本原理和方法設計的基本原理和方法 原理：原理：從時域響應出發，使求得的數字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應h(t)的抽樣值。nTtathnh)()(如果：)(,)(1）（則由：已知sHLthsHaaa則可有下式求的H（z）：)()()(nThZnhZzHAF的數字化方法的數字化方法 A、一般方法、一般方法 。先。先 ，再對，再對抽樣，使抽樣，使 ，最后，最后 H（Z）=Zh（n），一，一般說來過程

26、復雜。般說來過程復雜。B、方法的簡化、方法的簡化 設設 只有單階極點，而且分母的階次大于分只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，子的階次，可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)Z(H)S(Ha)S(HL)t(ha1a)t(ha)nT(h)n(ha)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a)t(ueA)S(HL)t(hk因此，因此，N1kN1knTSknTSka)n(u)e(A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H0nN1kkn1TSA)ze(kN1k0nn1TSk)ze(AkN1k1TSkZe1Akt如果模擬濾波器的系統函數是穩定的，

27、其極點應位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk0kesR 對Z平面的極點有 1Tskkez 位于單位園內。因此H(z)是一個穩定的離散系統函數，這說明由一個穩定的模擬濾波器得到了一個穩定的數字濾波器 映射關系映射關系sTez jsrezjTerTTMTjTsTeeez)2(脈沖響應不變法的映射過程 2 2脈沖響應不變法設計的濾波脈沖響應不變法設計的濾波器的頻率響應器的頻率響應 根據抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓 原模擬濾波器的頻率響應為 ，)(jHa由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣)2(1)(nTjTjHTeHanj如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率之內

28、，即 這樣數字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應 然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會產生混疊脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數字濾波器。脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數字濾波器。TjHsa20)()(1)(TjHTeHaj)T/j(Ha0223、幾點結論、幾點結論（1）S平面的單極點平面的單極點 變為變為Z平面單極點平面單極點 就可求得就可求得H（Z）。）。（2）與與H（Z）的系數相同，均為）的系數相同，均為（3）AF是穩定的，是穩定的，DF也是穩定的。也是穩定的。（4）S平面的極點與平面的極點與Z平面的極點一一對應，但兩平面的極點一一對應，但兩平面

29、并不一一對應。平面并不一一對應。例如，例如，零點就沒有這種對應關系零點就沒有這種對應關系。kSSTSkeZ)S(HakA4 4修正修正 消去消去T T的影響的影響)(1)(TjHTeHaj由由上上式可見，式可見，數字頻率響應與模擬頻率響應的第一差別是具有一數字頻率響應與模擬頻率響應的第一差別是具有一個乘法因子個乘法因子(1/T)=(1/T)=f fS S，當采樣頻率，當采樣頻率f fS S很高時，將會使濾波器的增很高時，將會使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對益很大，這往往是不希望的，為此可對下下式作修正式作修正：nTtathnh)()(nTtatThnh)()(例例6-3 AF的系

30、統函數為的系統函數為試用沖激響應不變法，設計試用沖激響應不變法，設計IIRDF，T=1解：解：設設T=1，3S11S1)S(HaT31T1eZ1TeZ1T)Z(H42311311T3111eZ)ee(Z1)ee(ZeZ11eZ11)Z(H08315679.0e,049789068.0e,367879441.0e431211Z01831.0Z4177.01Z3181.0)Z(H6-5 雙線性變換法t脈沖響應不變法的主要缺點脈沖響應不變法的主要缺點：對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能使設計的數字濾波器的頻域響應與原來模擬濾波器使設計的數字濾波器

31、的頻域響應與原來模擬濾波器的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器阻濾波器原因：原因：從從S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射關系平面的映射是多值的映射關系雙線性變換的映射過程 脈沖響應不變法的映射過程 雙線性變換法的改進 為避免為避免頻域的混疊頻域的混疊，分兩步完成，分兩步完成S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射TT，v將將S S平面壓縮到某一中介的平面壓縮到某一中介的S S1 1平面的一條橫帶域平面的一條橫帶域v通過標準的變換將此橫帶域映射到整個通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z Z平面上去，平面上去，實現方法：實

32、現方法：)2(21TtgT再通過Z變換，將1映射到Z平面的單位圓上 通過下面的正切變換，將S平面的j軸壓縮到S1平面的j1軸上的 TjTj,Tsez1將正切變換延拓到整個S平面，得到S平面到S1平面的映射關系 TsTseeTTsthTs11112)2(21再將S1平面按關系式 映射到Z平面得到 zes T111112zzTssTsTz22雙線性變換雙線性變換 或雙線性變換的映射關系滿足關于映射關系可行性的兩個條件（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點應映射到Z平面的單位圓內。jjtgTeeTsjj)2(2112,jez 令11112zzTs帶入表達式得：說明S平面

33、的虛軸 映射成了Z平面的單位圓sj令 ,帶入表達式sTsTz22得：jTjTz)/2()/2(2222)/2()/2(TTz顯然當 時，1，0zS平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內，保證系統函數經映射后穩定性不變 雙線性變換的頻率對應關系 模擬頻率與數字頻率是一種非線性的關系)2(21TtgT模擬濾波器與數字濾波器的響應與對應的頻率關系上發生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點 雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計IIR數字濾波器的方法。在上刻度為均勻的頻率點映射到上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密2頻率預畸變頻率預畸變

34、 為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統函數之前必須按下式進行所謂頻率預畸變 3、雙線性變換的特點a。S平面的虛軸（）映射到Z平面的單位圓上。jb。穩定的AF，經雙線性變換后所得DF也一定是穩定的，這是因為穩定的AF，其極點必全部位于S的左半平面上，經雙線性變換后，這些極點全部落在單位圓內。c。其突出的優點是避免了頻響的混疊失真。變換關系近似于線性，隨著 的增加，表現出嚴重 非線性。因此，DF的幅頻響應 相對于AF的幅頻響應會產生畸變。只有能容忍或補償這種失真時，雙線性變換法才是實用的。d.頻率的非線性失真從 的關系曲線可以看出，在零頻附近，與 之間的)(f4、設計方法

35、1。直接代入法)1/()1(11)()(ZZcsaSHZH先將 AF的系統函數分解成級聯或并聯形式，然后在對每一個子系統函數進行雙線性變換。例如miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,.,2,1,)()()().()()()().()()()1/()1(212111并聯形式與上述類似3。表格法 由于代入法 在應用時可能比較麻煩，因此如果能預先求出AF與DF的系統函數之間的關系，設計問題則變成查表，簡單易行。例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數字低通濾波器 設計參數：通帶數字截止率 ，通帶內最大衰減 阻帶數字截止率 ，阻帶內最小衰減 dBAp5.0dBAs1525

36、.0p55.0s解 第一步 進行頻率預畸變求 sp、0.4142136tg0.125)2(pptg1.1708496tg0.275)2(sstg第二步 計算巴特沃斯型數字低通濾波器的階數 2.6586997)/lg()110/()110lg(21)/lg()/lg(1.01.0psAApspsN取N=3 第三步 通過查表求得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統函數)1)(1(1)(2ssssHa第四步 求3dB截止頻率 ，并反歸一化求得 cH sHsac()(/)pANcppjH1.02210)/(11|)(|解得：，反歸一化求 得0.588148c)345918.0588148.0)(58814

37、8.0(203451.0)/()(2ssssHsHca第五步 求得H(z)代入雙線性變換公式，化簡后求得 1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.0)(21131zzzzzH11111)()(zzsacsHzH也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進行，求出H(z)設計濾波器的幅度響應與相位響應 6-6 數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計設計思想：設計思想：數字濾波器技術指標模擬濾波器技術指標轉為模擬低通濾波器技術指標模擬低通濾波器設計轉換為所需的模擬濾波器數字濾波器例例 設計一個三階巴特沃斯型高通數字濾波器，3dB弧度，求濾波器的系統函數。解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統函數為 HppppaL()122132頻率預畸變/s)0.3249(rad)tg(0.12cctg得到數字高通濾波器的系統函數為 1111113249.023111221)()(zzpzzpaLppppHzHc3213157016.0241976.23358.3859208.1)1(zzzz