選修41第一講相似三角形的判斷及有關性質

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1、選修選修4-1幾何證明選講幾何證明選講三三 相似三角形的判定和有關性質相似三角形的判定和有關性質選修選修4-1幾何證明選講幾何證明選講三三 相似三角形的判定和有關性質相似三角形的判定和有關性質 如果一組平行線在一條直線上截如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等得的線段也相等.推論推論1 1 經過三角形一邊的中點與另一經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。邊平行的直線，必平分第三邊。推論推論2 2 經過梯形一腰的中點，且與底經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。邊平行的直線平分另一腰。復習三條平行線截

2、兩條直線三條平行線截兩條直線,所得所得的的對應線段成比例對應線段成比例.平行平行于三角形一邊的直線于三角形一邊的直線截其他兩邊截其他兩邊(或或兩邊的延長線兩邊的延長線)所得的所得的對應線段對應線段成比例成比例.反比、合分比的性質 P71.相似三角形的定義相似三角形的定義對應角相等，對應邊成比例的兩個三對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形角形叫做相似三角形.相似三角形對應相似三角形對應邊的比值叫做相似比邊的比值叫做相似比(或相似的系數或相似的系數).BACA C B 判定兩個三角形相似的簡單方法有三種：判定兩個三角形相似的簡單方法有三種：(1)(1)兩角對應相等兩角對應相等,兩三角

3、形相似兩三角形相似;(2)(2)兩邊對應成比例且夾角相等兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似兩三角形相似;(3)(3)三邊對應成比例三邊對應成比例,兩三角形相似兩三角形相似.BACACB如何證明？預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或或兩邊的延長線兩邊的延長線)相交相交,所構成的三角形與所構成的三角形與原三角形相似原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1 對于任意兩個三角形,如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似.簡述簡述:兩角對應相等兩角對應相等,兩三角形相似兩三角形相似CBA已知已知,如圖如圖,在在ABC和和A

4、 B C 中中,A=A,B=B,求證求證:ABCA B C ABCDE證明:在在ABC的邊的邊AB(或或AB的延長線的延長線)上上,截截取取AD=AB,過點過點D作作DE/BC,交交AC于點于點E.由由預備定理得預備定理得:ADEABCADE=B,B=B ADE=B A=A,AD=A B ADE A B C A B C ABCABCCBADE判定定理判定定理2 對于任意兩個三角形對于任意兩個三角形,如果一個三如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例應成比例,并且夾角相等并且夾角相等,那么這兩個那么這兩個三角形相似三角形相似.簡述簡述:兩邊對應成比例且夾

5、角相等兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似兩三角形相似ABCCBADE已知:如圖,在ABC和ABC中,A=A,ACCAABBA求證:ABCABCADE ABCACCAABBAACAEABADDE/BCABCADECBADE已知:如圖ABC中,點D、E分別在AB、AC上，且ACAEABAD求證：DE/BCE證明:作 DE/BC,交AC于EACAEABADACAEABADACAEACAEAE=AE因此因此E與點與點E 重合即重合即DE 與與DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的間接證明引理引理 如果一條直線截三角形的兩邊如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延或兩邊的延長線長線)所得

6、的對應線段成比例所得的對應線段成比例,那么這條直線平行那么這條直線平行于三角形的第三邊于三角形的第三邊.當一個命題的條件和結論所指的概念當一個命題的條件和結論所指的概念唯一唯一存在存在時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題逆否命題，然后根據，然后根據唯一性唯一性的原理斷言命題為的原理斷言命題為真，這種解題方法叫做真，這種解題方法叫做同一法同一法 用同一法解題一般有三個步驟：用同一法解題一般有三個步驟：先作出一個符合結論的圖形，然后推證出所先作出一個符合結論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；作的圖形符合已知條件；根據唯一性，證明所作出的圖

7、形與已知的圖根據唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；形是全等的或重合的；從而說明已知圖形符合結論從而說明已知圖形符合結論 例例 如圖如圖,在在ABC內任取一點內任取一點D,連接連接AD和和BD.點點E在在ABC外外,EBC=ABD,ECB=DAB.求證求證:DBEABC.BACDE分析分析:好容易得出好容易得出ABC=DBE只需要再證明只需要再證明 即證即證ABBDBCBE只要證明只要證明ABDCBEABBCBDBE判定定理判定定理3對于任意兩個三角形對于任意兩個三角形,如果一個三角如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例對應成比

8、例,那么這兩個三角形相似那么這兩個三角形相似.簡述簡述:三邊對應成比例三邊對應成比例,兩三角形相似兩三角形相似ABCCBA已知已知:如圖如圖,在在ABC和和A B C 中中CAACBCCBABBA求證求證:ABCABC證明證明:在在ABC的邊的邊AB(或延長線或延長線)上截取上截取AD=A B,過點過點D作作DE/BC,交交AC于點于點E.DECAEABCDEABADADEABC AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,ADE ABCABCABC例例 如圖如圖,已知已知D、E、F分別是分別是ABC三邊、三邊、BC、CA、AB的中點的

9、中點.求證：求證：DEFABCFDEBAC證明證明:線段線段EF、FD、DE都是都是ABC的中位線的中位線ABDECAFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEFDEFABC直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例對應成比例,那么這兩個直角三角形相似那么這兩個直角三角形相似.(1)(1)如果兩個直角三角形有一如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等個銳角對應相等,那么它們相似那么它們相似;(2)(2)如果兩個直角三角形的兩條如果兩個

10、直角三角形的兩條直角邊對應成比例直角邊對應成比例,那么它們相似。那么它們相似。(1)相似三角形對應高的比、對應中相似三角形對應高的比、對應中線線 的比和對應角平分線的比都等于的比和對應角平分線的比都等于相似比；相似比；(2)相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的相似三角形面積的比等于相似比的平方；平方；2.相似三角形的性質相似三角形的性質 已知已知:梯形梯形ABCD中中ADBC,AD=36cm,BC=60cm,延長兩腰延長兩腰BA,CD交于點交于點 O,OFBC,交交AD于于E,EF=32cm,則則OF=_.ABCDEFOF80cm問題

11、問題1、兩個相似三角形的外接圓的直徑比、兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關系？周長比、面積比與相似比有什么關系？OABCD問題問題2、兩個相似三角形的內切圓的直徑比、兩個相似三角形的內切圓的直徑比、周長比、面積比與相似比有什么關系？周長比、面積比與相似比有什么關系？/D/O/B/C/A結論：結論：1相似三角形外接圓的直徑比相似三角形外接圓的直徑比、周長周長比等于相似比，外接圓的面積比等于比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方相似比的平方2相似三角形內切圓的直徑比、周長相似三角形內切圓的直徑比、周長 比等于相似比，內切圓的面積比等于比等于相似比，內切圓的面積比等

12、于 相似比的平方相似比的平方1.射影射影點在直線上的正射影點在直線上的正射影 從一點向一直線所引垂線從一點向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影。的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影。一條線段在直線上的正射影一條線段在直線上的正射影 線段的兩個端點在線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段。這條直線上的正射影間的線段。A AANMNMABA B 點和線段的正射影簡稱點和線段的正射影簡稱射影射影探究：探究：ABC是直角三角形，是直角三角形，CD為斜邊為斜邊AB上的高。上的高。你能從射影的角度來考察你能從射影的角度來考察AC與與AD，BC與與BD等的關等的關系。你能發現這些線段

13、之間的某些關系嗎？系。你能發現這些線段之間的某些關系嗎？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有BCABDC射影定理射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩條直角直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。2CDAD BD 2BCBD AB 2ACAD AB ABD

14、C用勾股定理能證明嗎用勾股定理能證明嗎?AB=AC+BC(AD+BD)=AC+BC即即2ADBD=AC-AD+BC-BDAC-AD=CD，BC-BD=CD2ADBD=2CD CD=ADBD而而AC=AD+CD=AD+ADBD=AD(AD+BD)=ADAB同理可證得同理可證得BC=BDABABDCO例例1 如圖如圖,圓圓O上一點上一點C在直徑在直徑AB上的射影為上的射影為D.AD=2,DB=8,0:90,.ACBACBABC 解解是是半半圓圓上上的的圓圓周周角角，即即是是直直角角三三角角形形22 8164;CDAD BDCD由由射射影影定定理理可可得得，解解得得22 10202 5;ACAD A

15、BAC，解解得得28 10804 5.BCBD ABBC，解解得得求求CD,AC和和BC的長的長.總結總結：已知已知“直角三角形斜邊上的高直角三角形斜邊上的高”這一基這一基本本圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可圖形中的六條線段中的任意兩條線段，就可以求出其余四條線段，有時需要用到方程的以求出其余四條線段，有時需要用到方程的思想。思想。ABDC習題習題1.41.ABDC直角直角ABC中已知中已知:CD=60 AD=25 求：求：BD,AB,AC,BC的長的長BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007廣州一模廣州一模)如圖所示，圓如圖所示，圓O上一點上一點C在直徑在直徑

16、AB上的射影為上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓，則圓O的半徑等于的半徑等于_BACDO5例例2 ABC中，頂點中，頂點C在在AB邊上的射影為邊上的射影為D，且，且CD=ADDB 求證：求證：ABC是直角三角形。是直角三角形。ABDC證明證明:在在CDA和和BDC中中,0.90.CABDCDABCDABDC 點點 在在上上的的射射影影為為，000909090ACDCADACDBCDACDACBABC 在在中中是是直直角角三三角角形形.2:CDAD DBAD CDCD DBCDABDCCADBCD 又又總結總結：1、知識知識：學習了直角：學習了直角 三角形中重要的比三角形中重要的比例式和比例

17、中項的表達式例式和比例中項的表達式射影定理。射影定理。2、方法方法：利用射影定理的基本圖形求線：利用射影定理的基本圖形求線段和證明線段等積式。段和證明線段等積式。3、能力能力：會從較復雜的圖形中分解出射：會從較復雜的圖形中分解出射影定理的基本圖形的能力。影定理的基本圖形的能力。4、數學思想數學思想：方程思想和轉化思想。：方程思想和轉化思想。平行線等分線段定理平行線等分線段定理平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理推論推論1推論推論2推論推論1.2節例節例3引理引理預備定理預備定理判定定理判定定理3判定定理判定定理1判定定理判定定理2相似三角形概念相似三角形概念直角三角形相似的判定定理直角

18、三角形相似的判定定理射影定理射影定理相似三角形性質相似三角形性質射影概念射影概念勾股定理勾股定理1.從特殊到一般的思考方法從特殊到一般的思考方法.數學方法數學方法:在研究數學問題時在研究數學問題時,通過通過考察特殊性問考察特殊性問題獲得一般規律的猜想題獲得一般規律的猜想,并從中并從中得到證明得到證明一般規律的思想方法的啟發一般規律的思想方法的啟發;然后然后由特殊由特殊過渡到一般過渡到一般,對一般性結論作出嚴格證明對一般性結論作出嚴格證明.2.化歸思想方法化歸思想方法.在研究問題時在研究問題時,常常常常通過一定的邏輯推通過一定的邏輯推理理,將困難的將困難的,不熟悉的問題不熟悉的問題轉化轉化為容易的為容易的熟悉的問題熟悉的問題.恒等變形恒等變形,換元法換元法,數形結合法數形結合法,參數法等參數法等,都是具體的化歸方法都是具體的化歸方法.相似三角相似三角形的證明采用了化歸為預備定理的方法形的證明采用了化歸為預備定理的方法.