22.3實際問題與一元二次方程1

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1、人教課標九上人教課標九上 22.3(1)解一元一次方程應用題的一般步驟？解一元一次方程應用題的一般步驟？第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；數，用字母表示題目中的一個未知數；第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；等關系；第三步：根據這些相等關系列出需要的代數第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式（簡稱關系式）從而列出方程；式（簡稱關系式）從而列出方程；第四步：解這個方程，求出未知數的值；第四步：解這個方程，求出未知數的值；第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題第五步：在檢查

2、求得的答數是否符合應用題的實際意義后，寫出答案（及單位名稱）的實際意義后，寫出答案（及單位名稱）.探探 究究1 1 有一個人患了流感，經過兩輪傳染后有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有共有121121人患了流感，每輪傳染中平均人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個？一個人傳染了幾個？開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了他傳染了x個人，用代數式表示，第一輪后共有個人，用代數式表示，第一輪后共有_人患了流感；人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了了x個人，用代數式示，第二輪后公個人，

3、用代數式示，第二輪后公有有_人患了流感人患了流感 分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人個人1x1xx列方程列方程1x+x(1+x)=121解方程，得解方程，得x1=_,x2=_.平均一個人傳染了平均一個人傳染了_個人個人101210如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感？平均每人傳染平均每人傳染10人，第二輪傳染的人數是人，第二輪傳染的人數是110人，人，第三輪為第三輪為101101100，三輪共傳染了，三輪共傳染了1+10+110+11001221人人三輪傳染的總人數為三輪傳染的總人數為:(1+

4、x)+x(1+x)+x x(1+x)=(1+10)+10(1+10)+1010(1+10)=11+110+1100=1221兩年前生產兩年前生產1 1噸甲種藥品的成本是噸甲種藥品的成本是50005000元，生產元，生產1 1噸乙種噸乙種藥品的成本是藥品的成本是60006000元，隨著生產技術的進步，現在生產元，隨著生產技術的進步，現在生產1 1噸甲種藥品的成本是噸甲種藥品的成本是30003000元，生產元，生產1 1噸乙種藥品的成本是噸乙種藥品的成本是36003600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？分析：分析：容易求出，甲種藥品成本的年平均下降額為：容易

5、求出，甲種藥品成本的年平均下降額為：_乙種藥品成本的年平均下降額為：乙種藥品成本的年平均下降額為：_顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大但是年平均下降額顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大但是年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分數）（元）不等同于年平均下降率（百分數）探探 究究2（50003000）21000（元（元）（60003600）21200（元）（元）設甲種藥品成本的年平均下降率為設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品，則一年后甲種藥品成本為成本為5000（1x）元，兩年后甲種藥品成本為）元，兩年后甲種藥品成本為5000（1x）2元，于是有元，于是有5000（1x）

6、2=3000解方程，得解方程，得:x10.225，x21.775根據問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率根據問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為約為22.56000(1y)2=3600設乙種藥品的下降率為設乙種藥品的下降率為y列方程列方程解方程，得解方程，得y10.225，y21.775根據問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率根據問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為約為22.5甲乙兩種藥品成本的平均下降率相同，都甲乙兩種藥品成本的平均下降率相同，都是是22.5乙種藥品成本的年平均乙種藥品成本的年平均下降率是多少？請比較下降率是多少？請比較兩種藥品成本的年平均兩種

7、藥品成本的年平均下降率下降率 經過計算，你能得出什么結論？成本下降額經過計算，你能得出什么結論？成本下降額較大的藥品，它的成本下降率一定也較大嗎？較大的藥品，它的成本下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況？得到的結論就是：甲乙兩種藥品的平均下降率相同得到的結論就是：甲乙兩種藥品的平均下降率相同成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大大不但要考慮它們的平均下降額，而且要考慮它們的不但要考慮它們的平均下降額，而且要考慮它們的平均下降率平均下降率1.某種植物的主干長出若干數目的支干某種植物的主干長出

8、若干數目的支干,每個支干每個支干又長出同樣數目的小分支又長出同樣數目的小分支,主干主干,支干和小分支的支干和小分支的總數是總數是91,每個支干長出多少小分支每個支干長出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解解:設每個支干長出設每個支干長出x個小分支個小分支,則則1+x+xx=91即即0902 xx解得解得,x1=9,x2=10(不合題意不合題意,舍去舍去)答答:每個支干長出每個支干長出9個小分支個小分支.2.(P58-6)要組織一場籃球聯賽要組織一場籃球聯賽,賽制為單循環形式賽制為單循環形式,即每兩隊之間都賽一場即每兩隊之間都賽一場,計劃

9、安排計劃安排15場比賽場比賽,應邀請應邀請多少個球隊參加比賽多少個球隊參加比賽?3.要組織一場籃球聯賽要組織一場籃球聯賽,每兩隊之間都賽每兩隊之間都賽2場場,計劃計劃安排安排90場比賽場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽應邀請多少個球隊參加比賽?4.(P34-7)參加一次聚會的每兩人都握了一次手參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所所有人共握手有人共握手10次次,有多少人參加聚會有多少人參加聚會?一輛汽車以一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機的速度行駛，司機發現前方路面有情況，緊急剎車后汽發現前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行車又滑行25m后停車（后停車（1）從剎車）從剎車到停車用了多少時間？（到

10、停車用了多少時間？（2）從剎車）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行的剎車后汽車滑行的15m時約用了多少時約用了多少時間（精確到時間（精確到0.1s）？）？探探 究究2（2）從剎車到停車平均每秒車速減少值為）從剎車到停車平均每秒車速減少值為 （初速度末速度）（初速度末速度）車速變化時間，車速變化時間，即即2008 m/s.2.5分析分析：（：（1）已知剎車后滑行路程為）已知剎車后滑行路程為25m，如果知道滑行的，如果知道滑行的平均速度，則根據路程、速度、時間三者的關系，可求出平均速度，則根據路程、速度、時間三者的關系，可求出滑行時間為使問題簡單化

11、、不妨假設車速從滑行時間為使問題簡單化、不妨假設車速從20m/s到到0m/s是隨時間均勻變化的這段時間內的平均車速第一最大速是隨時間均勻變化的這段時間內的平均車速第一最大速度與最小速度的平均值，即度與最小速度的平均值，即 于是從剎車到于是從剎車到停車的時間為停車的時間為)/(102020sm行駛路程行駛路程平均車速，平均車速，即即 25102.5（s）.（3）設剎車后汽車行駛到）設剎車后汽車行駛到15m用了用了x s,由（由（2）可知，）可知，這時車速為（這時車速為（208x）m/s,這段路程內的平均車速為這段路程內的平均車速為 即（即（204x）m/s，由，由20(208)/2xm s510

12、.2x剎車后乘車行駛到剎車后乘車行駛到15m時約用了時約用了_s.速度速度時間路程，時間路程，得得 （204x）x15.解方程，得解方程，得根據問題根據問題的實際應的實際應如何正確如何正確選擇正確選擇正確答案答案.5100.92x剎車后汽車行駛到剎車后汽車行駛到20m時約用了多少時間（精時約用了多少時間（精確到確到0.1s）?設剎車后汽車行駛到設剎車后汽車行駛到20m用了用了x s,由（由（2）可知，這時車速為）可知，這時車速為（208x）m/s,這段路程內的平均車速為這段路程內的平均車速為 即（即（204x）m/s，由，由smx/2)820(2055.2x剎車后乘車行駛到剎車后乘車行駛到15

13、m時約用了時約用了_s.速度速度時間路程時間路程得得 （204x）x20解方程，得解方程，得551.42x根據問題的根據問題的實際應取實際應取551.42x練習練習1.(2004年年,鎮江鎮江)學校為了美化校園環境，在一學校為了美化校園環境，在一塊長塊長40米、寬米、寬20米的長方形空地上計劃新建一塊米的長方形空地上計劃新建一塊長長9米、寬米、寬7米的長方形花圃米的長方形花圃.（1）若請你在這塊空地上設計一個長方形花圃，）若請你在這塊空地上設計一個長方形花圃，使它的面積比學校計劃新建的長方形花圃的面積使它的面積比學校計劃新建的長方形花圃的面積多多1平方米，請你給出你認為合適的三種不同的方平方米

14、，請你給出你認為合適的三種不同的方案案.（2）在學校計劃新建的長方形花圃周長不變的情）在學校計劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積能否增加況下，長方形花圃的面積能否增加2平方米？如果平方米？如果能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由說明理由.解解:(1)方案方案1：長為：長為 米，寬為米，寬為7米米;719方案方案2：長為：長為16米，寬為米，寬為4米米;方案方案3：長：長=寬寬=8米米;注：本題方案有無數種注：本題方案有無數種（2）在長方形花圃周長不變的情況下，長方形花）在長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃面積不能增加

15、圃面積不能增加2平方米平方米.由題意得長方形長與寬的和為由題意得長方形長與寬的和為16米米.設長方形花圃設長方形花圃的長為的長為x米，則寬為（米，則寬為（16-x）米）米.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，046514)16(422acb此方程無解此方程無解.在周長不變的情況下，長方在周長不變的情況下，長方形花圃的面積不能增加形花圃的面積不能增加2平方米平方米.2、用、用20cm長的鐵絲能否折成面積為長的鐵絲能否折成面積為30cm2的的矩形矩形,若能夠若能夠,求它的長與寬求它的長與寬;若不能若不能,請說明理請說明理由由.解解:設這個矩形的長為設這個矩形的長為xcm,則寬為則寬為

16、 cm,)220(x30)220(xx即即x2-10 x+30=0這里這里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程無解此方程無解.用用20cm長的鐵絲不能折成面積為長的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形的矩形.例例2：某校為了美化校園某校為了美化校園,準備在一塊長準備在一塊長32米米,寬寬20米的長方形場地上修筑若干條道路米的長方形場地上修筑若干條道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并請全校同學參與設計并請全校同學參與設計,現在現在有兩位學生各設計了一種方案有兩位學生各設計了一種方案(如圖如圖),根據兩根據兩種設計方案各列出方程種設計方案各列出方程,求圖中道路的寬分

17、求圖中道路的寬分別是多少別是多少?使圖使圖(1),(2)的草坪的草坪面積面積為為540米米2.(1)(2)(1)解解:(1)如圖，設道路的寬為如圖，設道路的寬為x米，則米，則540)220)(232(xx化簡得，化簡得，025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的寬，應舍去超出了原矩形的寬，應舍去.圖圖(1)中道路的寬為中道路的寬為1米米.則橫向的路面面積為則橫向的路面面積為 ，分析：此題的相等關系是矩分析：此題的相等關系是矩形面積減去道路面積等于形面積減去道路面積等于540540米米2 2.解法一、解法一、如圖，設道路的寬為如圖，設道路的寬為x米，

18、米，32x 米米2縱向的路面面積為縱向的路面面積為 。20 x 米米2注意：這兩個面積的重疊部分是注意：這兩個面積的重疊部分是 x2 米米2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220)540 xx圖中的道路面積不是圖中的道路面積不是3220 xx米米2.(2)而是從其中減去重疊部分，即應是而是從其中減去重疊部分，即應是23220 xxx米米2所以正確的方程是：所以正確的方程是：232 203220540 xxx化簡得，化簡得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的長和寬，應舍去超出了原矩形的長和寬，應舍去.取取x=2x=2時，道路總面積為：時，道路總面積為

19、：232 2 20 2 2 =100(米米2)草坪面積草坪面積=32 20 100=540（米（米2）答：所求道路的寬為答：所求道路的寬為2 2米米.122,50 xx(2)(2)橫向路面橫向路面 ，如圖，設路寬為如圖，設路寬為x米，米，32x米米2縱向路面面積為縱向路面面積為 .20 x米米2草坪矩形的長（橫向）為草坪矩形的長（橫向）為 ，草坪矩形的寬（縱向）草坪矩形的寬（縱向）.相等關系是：草坪長相等關系是：草坪長草坪寬草坪寬=540米米2(20-x)米米（32-x)米米即即3220540.xx化簡得：化簡得：212521000,50,2xxxx再往下的計算、格式書寫與解法再往下的計算、格

20、式書寫與解法1相同相同.1.如圖是寬為如圖是寬為20米米,長為長為32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑同要修筑同樣寬的三條道路樣寬的三條道路(兩條縱向兩條縱向,一條橫向一條橫向,且互相垂直且互相垂直),把耕地分成六塊大小相等的試驗地把耕地分成六塊大小相等的試驗地,要使試驗地的要使試驗地的面積為面積為570平方米平方米,問問:道路寬為多少米道路寬為多少米?解解:設道路寬為設道路寬為x米，米，則則570)220)(232(xx化簡得，化簡得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的寬，應舍去超出了原矩形的寬，應舍去.答答:道路的寬為道路的寬為1米米.

21、2.如圖如圖,長方形長方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外圍四周外圍環繞著寬度相等的小路環繞著寬度相等的小路,已知小路的面積為已知小路的面積為246m2,求小路的寬度求小路的寬度.ABCD解解:設小路寬為設小路寬為x米，米，則則2015246)215)(220(xx化簡得，化簡得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的寬為小路的寬為3米米.例例3.(2003年年,舟山舟山)如圖，有長為如圖，有長為24米的籬笆，一面米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度利用墻（墻的最大可用長度a為為10米），圍成中間隔米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃有一道籬笆的長方形花圃.設花圃的寬設花圃的寬AB為為x米，面米，面積為積為S米米2，（，（1）求）求S與與x的函數關系式的函數關系式;（2）如果要）如果要圍成面積為圍成面積為45米米2的花圃，的花圃，AB的長是多少米？的長是多少米？【解析】【解析】(1)設寬設寬AB為為x米，米，則則BC為為(24-3x)米，這時面積米，這時面積S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由條件由條件-3x2+24x=45化為：化為：x2-8x+15=0解得解得x1=5，x2=3024-3x10得得14/3x8x2不合題意，不合題意，AB=5，即花圃的寬，即花圃的寬AB為為5米米