定積分的換元法與分部積分法

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1、第三講 定積分的換元法和分部積分法定積分定積分不定積分不定積分牛牛-萊公式萊公式換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法?特點特點?定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法與分部積分法一、換元法二、分部積分法定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法與分部積分法一、換元法二、分部積分法定理定理(1)(2)則有則有:()d()()dbaf xxfttt 定積分換元公式定積分換元公式;)(,)(ba 假設假設f(x)在區間在區間a,b上連續上連續,函數函數)(tx 滿足條件滿足條件:在在且其值域且其值域)(t,(或或,)上具有連續導數，上具有連續導數，,baR l注注(1)換元過程換元過程()d()

2、()dbaf xxfttt ()dbaf xx 三個變化三個變化()f x被積函數被積函數()ft 積分元素積分元素dx()dtt 積分區間積分區間,a b()()dfttt (2)公式特點公式特點變量不必回代變量不必回代必須注意積分限必須注意積分限換元必換限換元必換限上限對上限上限對上限下限對下限下限對下限u例例1u例例2注意簡便算法注意簡便算法,或或220d(0)aaxxa 計算計算402d21xxx 計算計算()d()()dbaf xxfttt 換元公式可以反過來使用換元公式可以反過來使用:()()d()dbafxxxf tt u例例3公式反用公式反用,可以不換元可以不換元.l注注若不換

3、元若不換元,則不換限則不換限.換元必換限換元必換限不換元則不換限不換元則不換限u例例4絕對值函數的定積分絕對值函數的定積分,注意分區間討論注意分區間討論520cossin dxx x 計算計算350sinsindxx x 計算計算重要結論重要結論對稱區間上奇偶函數的定積分對稱區間上奇偶函數的定積分(),f xCa a()()fxf x 0()d2()daaaf x xf x x ()d0aaf xx ()()fxf x u例例5u例例6無窮區間上周期函數的定積分無窮區間上周期函數的定積分()(,)f xC 周期為周期為T0()d()da TTaaf x xf x x u例例9u例例7u例例8u

4、例例101241d1xxxx 計算計算222|d2xxxx 計算計算226sincos dxx x 計算計算12121cos lnd1xxxx 計算計算01sin2 dNx x 計算計算66+50cos2dxx 計算計算綜合題綜合題u例例11u例例122200(sin)d(cos)dfxxfxx 證明證明()0,1f xC(1)00(sin)d(sin)d2xfxxfxx(2)(3)計算計算20sind1cosxxxx u例例1320()1101cosxxexf xxx 計算計算41(2)df xx 不能用牛萊公式作出不能用牛萊公式作出120ln(1)d1xxx 計算計算定積分的換元法與分部積

5、分法定積分的換元法與分部積分法一、換元法二、分部積分法定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法與分部積分法一、換元法二、分部積分法()()d()()()()du x v xxu x v xv x u xx ()()dbau x v xx ba baba ddbbbaaau vuvv u 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式u注注 使用分部積分公式應邊積邊代限使用分部積分公式應邊積邊代限u例例14u例例1520sindnnIx x 20cosdnx x ,22143231nnnn n 為偶數為偶數,3254231nnnn n 為奇數為奇數u例例16 證明證明120arcsin dx x 計算計算10dxex 計算計算