數學模型MathematicalModeling

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1、數數 學學 模模 型型Mathematical Modeling第一章 建立數學模型開設本課程的目的：引起注意、激發興趣、介紹方法、培養能力數學？n數學有沒有用？n數學不是沒有用，而是不夠用n現有的數學工具不能解決所有實際問題n怎么用？n解決實際問題n數學模型 數學模型與數學建模數學模型數學模型（Mathematical Model）是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題 本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或 能解釋某些客觀能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象現象，或能預測未來的發展

2、規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學建模數學建模（Mathematical Modeling）應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程。應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程。數學模型早就知n我們從小就接觸過數學模型：n應用題n“甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問航速，水速若干？”n物體n“從平靜湖面的小船上仍一塊石頭至水中，湖面是上漲還是下降？”n數學競賽n數學模型無所不在n日常生活n投資n決策n各行各業n經濟n金融n專業研究領域n物理n計算機研究例1.

3、手機電話卡的選擇n已知：全球通電話卡每分鐘0.4元，每月25元租金；神州行卡每分鐘0.6元，不用月租金n問：選擇哪種卡比較省錢？例2.打水問題n每天晚上5:00 至 5:30 之間開水房的擁塞想必讓每一個人都深有感觸吧，偏偏這種時候還有一些人喜歡一個人占好幾個龍頭，不得不讓人怒火中燒。對每個人來講，最好的辦法當然是在不違反排隊順序的前提下盡可能早地接觸龍頭。事實上大家也基本上是這樣做的。在高峰時期霸占多個龍頭的人就算不遭到語言的譴責也會遭到目光的譴責。n假設現在有 2個水龍頭，10 個人來打水，每個人拎著兩個壺，每打一壺要 1分鐘，這是一種很常見的情況。n方法 A：經驗方法。這樣，當有兩人等待

4、時，兩個人各用一個龍頭，為將10個人打滿，總共的等待時間是：2*(2+4+6+8+10)=60 分鐘n方法 B：每次分配水龍頭時都優先滿足最前面的人。這樣，當有兩人等待時，第一個人先用兩個龍頭，等他打完了第二個人再用。這種方法下總的等待時間是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分鐘n結果后一個方法被證明是更有效率的。也就是說，這個看起來有些自私的方案，這個常常被我們譴責的方案，事實上是一個更合理的方案。例3.銀行問題n去中國工商銀行存取錢對每個人來說都決不是一次愉快的經歷。我平均每次去取錢都至少要花上半個小時的時間，這促使我考慮是否有辦法在現有窗口的情況下提高整個系統的效率。n不

5、同任務量的串行服務隊列例4.萬有引力定律的發現n開普勒三大定律n行星軌道是一個橢圓，太陽位于此橢圓的一個焦點上。n行星在單位時間內掃過的面積不變。n行星運行周期的平方正比于橢圓長半軸的三次方，比例系數不隨行星而改變（絕對常數）。n牛頓根據開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導出萬有引力定律。Proof數學建模的一般步驟n了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。n在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計 算，找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。n在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數學

6、結構 即建立數學模型。n模型求解。n模型的分析與檢驗。實體信實體信息息(數據數據)假設假設建模建模求解求解驗證驗證應用應用能力的培養n能力上的能力上的 鍛煉鍛煉n觀察能力觀察能力、分析能力、歸納能力分析能力、歸納能力和和數據處理數據處理能力能力n在盡可能短的時間內在盡可能短的時間內查到并學會查到并學會我想應用的知我想應用的知識的本領識的本領nGooglen圖書館n創新的能力創新的能力Course Goalsn讓同學們真正能n提高發現問題和解決問題的能力n運用知識和尋找知識的能力n學有所用，增強興趣和信心n方法n多思考分析n實踐預備技能n數學知識n分析，代數，幾何，概論，統計，優化n軟件使用nM

7、icrosoft Word,Visio,LaTeXnMatlab,Mathematica,Maple,Lindo,Lingon編程nC/C+nGUI ProgrammingGrading PoliciesnGeneral homework and Large projects(?%)nFinal exams(?%)Grading Policies5+方法新穎巧妙，非常好5模型建立求解合理，書寫很好4模型建立求解合理，書寫規范3模型建立求解基本合理，但書寫一般2模型建立求解有問題，書寫一般1模型建立不正確，書寫糟糕，態度有問題0態度有問題，很遺憾 Requirements(1)n模型報告書寫n符

8、合規范n文字，圖表清晰n數據說明Requirement(3)n獨立完成n相互幫助n團隊合作n絕不允許抄襲！Q&A一些簡單實例例例1 某人平時下班總是按預定時間到達某處，然某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？間？似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。

9、換一種想法，問題就迎刃而換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？十分鐘時間從何而來？顯然是由于節省了從相遇點到顯然是由于節省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需段路的緣故，故由相遇點到會合點需開開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。五分鐘。？例例2 2 某人第一

10、天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。問：在什么條件下，地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。中的同一時間到達該地。假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發時間，

11、兩人必會在途中相遇。達時間晚于另一人的出發時間，兩人必會在途中相遇。（請自己據此給出嚴格證明）請自己據此給出嚴格證明）例例3 3 交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態一個過渡狀態亮一段時間的黃燈。亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距段時間內，車輛仍將向前

12、行駛一段距離離 L。這就是說，在離街口距離為。這就是說，在離街口距離為 L處處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮時。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。穿過馬路。馬路的寬度馬路的寬度 D是容易測得是容易測得 的，問題的關鍵在的，問題的關鍵在 于于L的確定。為確定的確定。為確定 L，還應當將，還應當將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中其中 L1是司機在發現黃燈亮及判斷應當是司機在發現黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程剎車的反應時間內駛過的路程 ，L

13、2為剎車制動為剎車制動后車輛駛過的路程。后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間司機的平均反應時間 t1早有測算，反應時間過早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車距離。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來律計算出來。黃燈究竟應當亮多久現在已經變得清楚多了。第黃燈究竟應當

14、亮多久現在已經變得清楚多了。第一步，先計算出一步，先計算出 L應多大才能使看見黃燈的司機應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即的車順利穿過馬路，即T 至少應當達到至少應當達到 （L+D）/v。DL例例4 4 將形狀質量相同的磚塊一一向右往外將形狀質量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠方，問最遠可疊放，欲盡可能地延伸到遠方，問最遠可以延伸多大距離。以延伸多大距離。設磚塊是均質的，長度與重量均設磚塊是均質的，長度與重量均 為為1 1，其，其 重重心在中點心在中點1/21/2磚長處，現用磚長處，現

15、用歸納法歸納法推導。推導。Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故故Zn=1/(2n)，從而上面，從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總距離為總距離為 ，nkk121112121,時nnknkn 例例5 5 某人住在某公交線附近，該公交線路某人住在某公交線附近，該公交線路為在為在A A、B B兩地間運行，每隔兩地間運行，每隔 1010分鐘分鐘A A、B B兩兩地各發出一班車，此人常在離家最近的地各發出一班車，此人常在離家最近的 C C點等車，他發現了一個令他感到奇怪的現點等車，他發現了一個令他感到奇怪的現

16、象：在絕大多數情況下，先到站的總是由象：在絕大多數情況下，先到站的總是由 B B去去A A的車，難道由的車，難道由 B B去去A A的車次多些嗎？請的車次多些嗎？請你幫助他找一下原因你幫助他找一下原因由于距離不同，設由于距離不同，設 A A到到C C行駛行駛3131分分鐘，鐘，B B到到C C要行駛要行駛 3030分鐘，考察一分鐘，考察一個時間長度個時間長度 為為1010分鐘的區間，例分鐘的區間，例如，可以從如，可以從 A A方向來的車駛方向來的車駛 離離C C站站時開始，在其后的時開始，在其后的 9 9分鐘內到達的分鐘內到達的乘客見到先來的車均為乘客見到先來的車均為 B B開往開往A A的，

17、的，僅有最僅有最 后后1 1分鐘到達的乘客才見到分鐘到達的乘客才見到 由由A A來的車先到。由此可見，如果來的車先到。由此可見，如果此人此人 到到C C站等車的時間是隨機的，站等車的時間是隨機的，則他先遇則他先遇 上上B B方向來的車的概率為方向來的車的概率為 90%90%。例例6 6 飛機失事時，黑匣子會自動打開，發射飛機失事時，黑匣子會自動打開，發射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，試設計一些尋找黑定其所在的方向和距離，試設計一些尋找黑匣子的方法。由于

18、要確定兩個參數，至少要匣子的方法。由于要確定兩個參數，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發射射線的強度。射射線的強度。方法一方法一點光源發出的射線在各點處的照度與其到點光源的點光源發出的射線在各點處的照度與其到點光源的 距離距離的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向方向很容易確定，關鍵在于確定很容易確定，關鍵在于確定 距離距離。設在設在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為I1和和I2，兩測量點間的距離為兩測量點間的距離為 a，則有，則有22212)(/dadadk

19、dkII112/IIad方法二方法二在在方法一方法一中，兩檢測點與黑匣子中，兩檢測點與黑匣子 位于一直線上，這一點比較容易位于一直線上，這一點比較容易 做到，主要缺點是結果對照度測做到，主要缺點是結果對照度測 量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很量的精度要求較高，很少的誤差會造成結果的很大變化，即敏感性很強，現提出另一方法，在大變化，即敏感性很強，現提出另一方法，在 A A點測得黑匣子方向后點測得黑匣子方向后 ，到，到B B點再測方向點再測方向 ，ABAB 距距離為離為a ，BACBAC=，ABCABC=，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d=asinsin/sin(/sin(+)。需

20、要指出的是，當。需要指出的是，當黑匣子位于較遠處而黑匣子位于較遠處而 又較小時，又較小時，+可能非可能非常接近常接近（ACBACB接近于接近于0 0），而），而sinsin（+）又又恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也會恰好位于分母上，因而對結果的精確性影響也會很大，為了使結果較好，應使很大，為了使結果較好，應使a也相對較大。也相對較大。BACa例7n將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉，是否總能設法使其四條腿同時落地？假設n地面為連續曲面n方桌的四條腿長度相同 n相對于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的 n方桌的腿只要有一點接觸地面就算著地。模

21、型構成模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCOD C B A 用用(對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數的函數四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g()兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉點旋轉正方形正方形對稱性對稱性用數學語言把椅子位置和四只

22、腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是是連續函數連續函數對任意對任意,f(),g()至少一個為至少一個為0數學數學問題問題已知：已知：f(),g()是是連續函數連續函數;對任意對任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.證明：存在證明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.模型構成模型構成地面為連續曲面地面為連續曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子將椅子旋轉旋轉900，對角線，對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0，f(0)0，知，知f(/

23、2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),則則h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的連續性知的連續性知 h為連續函數為連續函數,據連續函數的基本性據連續函數的基本性質質,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因為因為f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.評注和思考評注和思考建模的關鍵建模的關鍵 和和 f(),g()的確定的確定模型求解思考n若方桌改為長方形桌子，結論如何？如圖，有橢圓方程如圖，有橢圓方程:cos1 eprdrdA221矢徑所掃過的面矢徑所掃過的面 積積A的微分為的微分為:由開普勒第二定由開普勒第二定 律律:wrdtdA221常數常數

24、立即得出立即得出:wrwrrwrdtd222)(0即即:02wrwr橢圓面積橢圓面積wTrdtdtdAabT2021由此得出由此得出Tabwr22常數常數簡單推導如下：簡單推導如下：行星行星r太陽太陽我們還需算出行星的加速度，為此需要建立我們還需算出行星的加速度，為此需要建立 兩種兩種 不同的坐標架。第一個是固定的，以太陽為坐標原點，不同的坐標架。第一個是固定的，以太陽為坐標原點，沿長軸方向的單位向量記沿長軸方向的單位向量記 為為i,沿短軸方向的單位向量記沿短軸方向的單位向量記 為為j，于是：，于是：jir sinrcosr 進而有進而有 加速度加速度cossin)(2(sin)(cos()s

25、inr(dtd)cosr(dtd22222)jijijira wrwrrwr以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別是量分別是jiejie cossinsincos r,因此得出因此得出rrwrea)(2 由于由于02wrwr也就是說行星的加速度為也就是說行星的加速度為rrTaea223214由開普勒第三定律知由開普勒第三定律知23/Ta為常數。若記為常數。若記2324MTaG那么就導出著名的那么就導出著名的 萬有引力定律：萬有引力定律：再將橢圓方程再將橢圓方程 )cos1(erp兩邊微分兩次，得兩邊微分兩次，得0)(1)(2232 wrrrprwr將前面得到的結果將前面得到的結果和焦參數和焦參數代入，即得代入，即得22322rTarwr14 Tabwr22abp2rrMmGFe2