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        2.波動方程解析

        上傳人:痛*** 文檔編號:188235146 上傳時間:2023-02-18 格式:PPT 頁數:29 大?。?.17MB
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        1、一有關機械波的基本概念一有關機械波的基本概念1.機械波機械波:機械振動在介質中的傳播過程稱為機械波:機械振動在介質中的傳播過程稱為機械波 前提條件前提條件:存在波源;存在傳播振動的彈性介質存在波源;存在傳播振動的彈性介質B.波動產生的物理機制波動產生的物理機制:波是振動質點帶動鄰近質點振動,由近及遠向波是振動質點帶動鄰近質點振動,由近及遠向外傳遞振動的結果;是振動的向外傳遞,外傳遞振動的結果;是振動的向外傳遞,不是介質質不是介質質點自身向外運動的結果點自身向外運動的結果。波動波動(wave)(或行波或行波)是振動狀態的傳播,是能量的是振動狀態的傳播,是能量的傳播,而不是質點的傳播。傳播,而不是

        2、質點的傳播。第一頁,編輯于星期一:八點 三十六分??v波縱波:振動方向與波的傳播方向:振動方向與波的傳播方向平行平行的波,稱為縱波的波,稱為縱波2.機械波的種類機械波的種類:縱波和橫波:縱波和橫波縱波依靠介質縱向的彈性使振動由近及遠向外傳播??v波依靠介質縱向的彈性使振動由近及遠向外傳播??v波可在固體、液體、氣體中傳播縱波可在固體、液體、氣體中傳播橫波的特征是有凹凸的波峰、波谷。橫波的特征是有凹凸的波峰、波谷。橫波依靠介質切向的彈性使振動由近及遠向外傳播橫波依靠介質切向的彈性使振動由近及遠向外傳播橫波橫波:振動方向與傳播方向:振動方向與傳播方向垂直垂直的波稱為橫波的波稱為橫波橫波只能在固體中傳播。

        3、橫波只能在固體中傳播??v波的特征是有稀密相間的不同介質區域??v波的特征是有稀密相間的不同介質區域。第二頁,編輯于星期一:八點 三十六分。朝鮮核問題成為世界矚目的焦點,朝鮮核問題成為世界矚目的焦點,對于戰略武器限制條約的檢查,困難之一對于戰略武器限制條約的檢查,困難之一是對地下原子彈試驗和自然地震不易區分,是對地下原子彈試驗和自然地震不易區分,這是:這是:()錯錯問題問題3.不知道。不知道。1.對對2.錯錯第三頁,編輯于星期一:八點 三十六分。另方面,另方面,爆炸只發出一種縱波爆炸只發出一種縱波。僅有縱波的。僅有縱波的“地震地震”,總是人為的,總是人為的“地震地震”,這是無法保守的,這是無法保守

        4、的秘密。秘密。世界上有兩種波世界上有兩種波和和,當巖體突然,當巖體突然斷裂產生切變時發生地震。斷裂減輕了切變,同時巖斷裂產生切變時發生地震。斷裂減輕了切變,同時巖礦體發生短暫的顫動,顫動時發出波。礦體發生短暫的顫動,顫動時發出波。一次地震能一次地震能發出所有類型的波。發出所有類型的波。第四頁,編輯于星期一:八點 三十六分。二二 波動過程的描述波動過程的描述描述波的空間周期性描述波的空間周期性1k空間頻率空間頻率描述波動的時間周期性描述波動的時間周期性T1時間頻率時間頻率描述波動性的幾個物理量描述波動性的幾個物理量(2).頻率頻率():單位時間內給定的完整波的個數。:單位時間內給定的完整波的個數

        5、。周期周期(T):傳遞一個完整波所需的時間?;颍侯l:傳遞一個完整波所需的時間?;颍侯l率的倒數率的倒數(1).波長波長():沿波傳播直線上兩個相鄰同相點(相:沿波傳播直線上兩個相鄰同相點(相位差為位差為2)之間的距離。)之間的距離。一個波長范圍內包含了一個一個波長范圍內包含了一個“完整的波完整的波”,即包,即包含了質點振動的各種可能振動步調含了質點振動的各種可能振動步調(相位相位)第五頁,編輯于星期一:八點 三十六分。波的傳播速度等波的傳播速度等于振動的相位傳于振動的相位傳播速度播速度(3)單位時間波向外傳播完整波數對應的距離單位時間波向外傳播完整波數對應的距離u波波速速時間周期性時間周期性空間

        6、周期性空間周期性在一個周期內,某一個確定的振動狀態在一個周期內,某一個確定的振動狀態(相位)在空間正好傳播一個波長。(相位)在空間正好傳播一個波長。振動相位傳播的速度:振動相位傳播的速度:Tu u第六頁,編輯于星期一:八點 三十六分。注意:注意:相位傳播速度:在各向同性介質中為常數相位傳播速度:在各向同性介質中為常數質點振動速度質點振動速度:)sin(dd0tAtyvuv二者在同一直線上:二者在同一直線上:縱波縱波二者互相垂直:二者互相垂直:橫波橫波波速由介質的性質決定:波速由介質的性質決定:介介質質密密度度彈彈性性模模量量u固體:固體:TuGuYu弦弦上上波波橫橫波波縱縱波波流體:流體:Bu

        7、 縱縱波波第七頁,編輯于星期一:八點 三十六分。波動性的幾何描述波動性的幾何描述波線:波線:由波源出發,沿波傳播方向的線,由波源出發,沿波傳播方向的線,其上任一點切其上任一點切線方向為該點波傳播方向。線方向為該點波傳播方向。波面:波面:某時刻介質中同相點的集合。(球面波某時刻介質中同相點的集合。(球面波,柱面波柱面波,平面波平面波 .)波前:波前:傳在最前面的波面傳在最前面的波面在各向同性均勻介質中,波線為直線,波線與波面垂直在各向同性均勻介質中,波線為直線,波線與波面垂直波波面面波波線線波面波面波波線線第八頁,編輯于星期一:八點 三十六分。波動性的數學描述波動性的數學描述平面簡諧波的波函數平

        8、面簡諧波的波函數波源及介質中各質點均作諧振動波源及介質中各質點均作諧振動簡諧振動簡諧振動簡諧波簡諧波最基本、最簡單、最重要的是平面簡諧波!最基本、最簡單、最重要的是平面簡諧波!簡諧波是單一頻率的理想化的波,它在空間和時間上簡諧波是單一頻率的理想化的波,它在空間和時間上都是無限重復變化著的;都是無限重復變化著的;任何實際的波與之有著極大的區別,但它總可以看任何實際的波與之有著極大的區別,但它總可以看成是多個不同頻率和振幅的簡諧波的疊加。成是多個不同頻率和振幅的簡諧波的疊加。第九頁,編輯于星期一:八點 三十六分。三、波形曲線三、波形曲線思考:思考:對縱波,波形曲線是不是實際波形?對縱波,波形曲線是

        9、不是實際波形?波形曲線如何反映縱波傳播過程中介質質點波形曲線如何反映縱波傳播過程中介質質點的疏密情況?疏部中心、密部中心各在何處?的疏密情況?疏部中心、密部中心各在何處?對橫波:對橫波:直觀給出波峰、波谷位置,該時刻波形直觀給出波峰、波谷位置,該時刻波形2xO描述某時刻,波線上各點位移的分布描述某時刻,波線上各點位移的分布(廣義廣義)第十頁,編輯于星期一:八點 三十六分。注意:注意:波形曲線與振動曲線比較波形曲線與振動曲線比較(見下頁表見下頁表)xu xO密部中心密部中心疏部中心疏部中心形變最大形變最大形變為零形變為零第十一頁,編輯于星期一:八點 三十六分。振動曲線振動曲線波形曲線波形曲線圖形

        10、圖形研究研究對象對象物理物理意義意義特征特征某質點位移隨時間變某質點位移隨時間變化規律化規律某時刻,波線上各質點某時刻,波線上各質點位移隨位置變化規律位移隨位置變化規律對確定質點曲線形狀一定對確定質點曲線形狀一定曲線形狀隨曲線形狀隨t 向前平移向前平移v由振動曲線可知由振動曲線可知某時刻某時刻方向參看下一時刻方向參看下一時刻初相初相周期周期T.振幅振幅A 0由波形曲線可知由波形曲線可知該時刻各質點位移該時刻各質點位移只有只有t=0時刻波形才能提供初相時刻波形才能提供初相波長波長 ,振幅振幅A某質點某質點 方向參看前一質點方向參看前一質點vAyxPt0 vuoAytPt0Tvo第十二頁,編輯于星

        11、期一:八點 三十六分。建立波函數的依據建立波函數的依據波的空間、時間波的空間、時間周期性周期性沿波傳播方向各質元振動狀態沿波傳播方向各質元振動狀態(相位相位)相繼落后相繼落后(滯后效應)(滯后效應)討論一維情況,平面簡諧行波討論一維情況,平面簡諧行波)的數學形式、(建立tx 四、四、波函數(波動方程的積分形式)波函數(波動方程的積分形式)tzyx,(振動量振動量 隨時間、空間的變化規律隨時間、空間的變化規律已知:已知:波線上任一點波線上任一點O的振動方程的振動方程 波速波速u,向右傳播向右傳播)cos(0tAo求:求:該平面簡諧波波函數該平面簡諧波波函數),(tx 第十三頁,編輯于星期一:八點

        12、 三十六分。即即)()(0tttp)(cos0uxtA)(cos),(0uxtAtx(1)解:解:以參考點以參考點O為坐標原點,波速為坐標原點,波速u的方向為的方向為+x,建立一維建立一維坐標。坐標。設設P為波線上任意一點,坐標為波線上任意一點,坐標 x已知坐標原點振動方程已知坐標原點振動方程 )cos(00tAuOP(x)x方法方法1O點的振動狀態傳到點的振動狀態傳到P所需時間所需時間uxt 時時刻刻相相位位相相同同點點(點點相相位位與與時時刻刻)ttOPt第十四頁,編輯于星期一:八點 三十六分。由于由于2uuT(1)、(2)是一致的是一致的)2cos(0 xtAp即即)2cos(),(0

        13、xtAtx(2)2,相相位位落落后后波波線線上上每每間間隔隔P點相位比點相位比O落后落后2x方法方法2uOP(x)x第十五頁,編輯于星期一:八點 三十六分。平面簡諧波波函數的數學形式和物理意義平面簡諧波波函數的數學形式和物理意義)(cos),(0uxtAtx)2cos(0 xtA)(2cos0 xTtA)(2cos0 xutA)(cos)(),(000uxtAttx1)當當 x 給定給定(x=x0)時時x0 處質點處質點在不同時刻的位移,即在不同時刻的位移,即振動方程振動方程稱為稱為波數波數,表,表示在示在2 2 米內所米內所包含的完整波包含的完整波的數目。的數目。2k第十六頁,編輯于星期一:

        14、八點 三十六分。波函數表示了給定時刻波函數表示了給定時刻Ox軸上各質點的位移分布情軸上各質點的位移分布情況,況,即即t0 時刻的時刻的波形曲線方程波形曲線方程)(cos)(),(000uxtAxtx2)當當 t 給定給定(t=t0)時時對應跑動的波形對應跑動的波形3)當當x、t 均變化時均變化時(x,t)即是振動量隨時間、空間的變化規律即是振動量隨時間、空間的變化規律波函數表示了所有質點的位移隨時間變化的整體情況。波函數表示了所有質點的位移隨時間變化的整體情況。第十七頁,編輯于星期一:八點 三十六分。)2cos()(cos),(00 xtAuxtAtx建立向建立向-x方向傳播的簡諧行波波函數方

        15、向傳播的簡諧行波波函數以參考點為原點以參考點為原點)cos(00tAP相位比相位比O超前超前 tttP0練習練習1uxpo任意點比參考點晚振動,減去傳播時間;任意點比參考點晚振動,減去傳播時間;任意點比參考點早振動,加上傳播時間。任意點比參考點早振動,加上傳播時間?!?”沿沿 正向正向x“+”沿沿 負向負向x)(cos),(0uxtAtx第十八頁,編輯于星期一:八點 三十六分。練習練習2移動坐標原點后如何建立波函數移動坐標原點后如何建立波函數(即參考點不作為坐標原點)(即參考點不作為坐標原點)已知:已知:)cos(tACxu沿沿波波速速m8,m5BCCOOC求求:u)m(xBOAO558C分別

        16、以分別以O、O 為坐標原點建立波函數,并寫出為坐標原點建立波函數,并寫出B點點的振動方程。的振動方程。第十九頁,編輯于星期一:八點 三十六分。(1)以以O為坐標原點為坐標原點P離參考點離參考點C距離距離5xx)5(cos)(cosuxtAuxtA代入將3Bx)8(cos)53(cosutAutAB解解:C為參考點:為參考點:)cos(tAC,設,設P為波線上任意一點為波線上任意一點u)m(xBOAO558C第二十頁,編輯于星期一:八點 三十六分。代入將13Bx)8(cos)513(cosutAutAB原點不同時,波函數形式變化,但波線上確定點振動原點不同時,波函數形式變化,但波線上確定點振動方

        17、程不變。方程不變。)5(cos)(cos uxtAuxtAP離參考點距離離參考點距離5 xx(2)以以O 為坐標原點為坐標原點u)m(xBOAO558C第二十一頁,編輯于星期一:八點 三十六分。代入原波函數代入原波函數:)050(44cos040tx2)52(10cos040 xt原函數原函數)52(10cos040 xt時間變換,移動計時起點改變初相更換計時起點后如何建立波函數更換計時起點后如何建立波函數已知已知:)104(cos040tx求:求:將計時起點延后將計時起點延后0.05s 情況下的波函數情況下的波函數練習練習3解:解:設新的時間坐標為設新的時間坐標為t t 與與 t 的關系的關

        18、系 t=t 0.05,即即t=t +0.05第二十二頁,編輯于星期一:八點 三十六分。解:解:時間變換時間變換2tt令令時時刻刻波波形形該該波波形形為為0 t原點處原點處0000vy得得20即原點振動方程即原點振動方程)22cos(0tuAy將將代入2tt2)2(2cosuxtuAy(SI)2)(2cosuxtuAy波函數:波函數:)(txy、已知平面簡諧已知平面簡諧練習練習4波在波在 t=2s 時波形時波形,求波函數求波函數x(m)y(m)AO /2u第二十三頁,編輯于星期一:八點 三十六分。由波形曲線和振動曲線建立波函數由波形曲線和振動曲線建立波函數練習練習5已知:已知:平面簡諧波平面簡諧

        19、波 t=0 時波形和時波形和 波線上波線上 x=1=1m 處處P點振動曲線點振動曲線求求:波函數波函數(1)以以 O 為參考點為參考點(2)以以 P 為參考點為參考點t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0第二十四頁,編輯于星期一:八點 三十六分。解:解:由圖可知:由圖可知:m20 Am2s20T則則)s(1021T)sm(101Tu(1)以以O為參考點,先寫為參考點,先寫O的振動方程的振動方程P在在 t=0 時刻過平衡位置向負向運動時刻過平衡位置向負向運動 波向左傳波向左傳t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0第二十五頁,編輯于星

        20、期一:八點 三十六分。O在在 t=0 時刻過平衡位置向正向運動時刻過平衡位置向正向運動230)2310cos(2.00t23)10(10cos2.0 xt波向波向-x方向傳播方向傳播t(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0第二十六頁,編輯于星期一:八點 三十六分。(2)以以 P 為參考點,先寫為參考點,先寫 P 的振動方程的振動方程P的初相的初相2p)210cos(20tp波向波向-x方向傳播方向傳播2)101(10cos20 xt2)10(10cos20 xtt(s)P(m)0.2O0.20.1x(m)(m)0.2O21Pt=0第二十七頁,編輯于星期一:八點 三十六分。五五.波動方程的微分形式波動方程的微分形式1.一維情況一維情況由由)(cosuxtA)(sinuxtuAx)(cos2222uxtuAx得得)(sinuxtAt)(cos222uxtAt222221tux第二十八頁,編輯于星期一:八點 三十六分。2.三維情況三維情況2222222221tuzyx線性微分方程線性微分方程拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222zyx波動微分方程波動微分方程22221tu第二十九頁,編輯于星期一:八點 三十六分。

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