材料力學：第7章 應力狀態和強度理論

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1、 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論材 料力學第第7 7章應力狀態和強度理論章應力狀態和強度理論 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 目目 錄錄7-1 應力狀態概述應力狀態概述7-2 7-2 平面應力狀態分析平面應力狀態分析主應力主應力7-3 7-3 空間應力狀態的概念空間應力狀態的概念7-4 7-4 應力與應變間的關系應力與應變間的關系7-5 7-5 空間應力狀態下的應變能密度空間應力狀態下的應變能密度7-6 7-6 強度理論及其相當應力強度理論及其相當應力7-7 7-7 強度理論的應用強度理論的應用 河南理工大學土木工程學

2、院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論2cos2sin2一、一點的應力狀態一、一點的應力狀態7-1 應力狀態的概念應力狀態的概念lTTABPIT 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論zMyI qAl(1)同一面上不同點的應力各不相同同一面上不同點的應力各不相同;(2)同一點不同方位面上的應力也不相同。同一點不同方位面上的應力也不相同。重要結論：重要結論：一點的應力狀態一點的應力狀態 過一點不同方位面上應力的總和，稱為這一點的應力過一點不同方位面上應力的總和，稱為這一點的應力狀態。狀態。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論二

3、、研究應力狀態的目的二、研究應力狀態的目的1.1.解決復雜應力狀態下的強度計算問題解決復雜應力狀態下的強度計算問題2.2.有助于理解和解釋某些破壞現象有助于理解和解釋某些破壞現象 為什么塑性材料拉伸為什么塑性材料拉伸 時會出現滑移線？時會出現滑移線？l 為什么脆性材料扭轉為什么脆性材料扭轉 時沿時沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？FFM 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論三、應力狀態的研究方法三、應力狀態的研究方法任意一對平行平面上的應力相等任意一對平行平面上的應力相等1 1、單元體特征、單元體特征2 2、主單元體主單元體 各側面上切應力均為零的單元體各側面上

4、切應力均為零的單元體單元體的尺寸無限小，單元體的尺寸無限小，取單元體取單元體每個面上應力均勻分布每個面上應力均勻分布 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論3 3、主平面、主平面 切應力為零的截面切應力為零的截面4 4、主應力主應力 主平面上的正應力主平面上的正應力 說明說明:一點處必定存在這樣的一個單元體一點處必定存在這樣的一個單元體,三個相互垂直的面均為主平面三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂三個互相垂直的主應力分別記為直的主應力分別記為 1 1,2 2,3 3 且規定按代數且規定按代數值大小的順序來排列值大小的順序來排列,即即3 32 21 1 河南理工

5、大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論四、單元體的取法四、單元體的取法FFmmFqxxxMeMe 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 五五、應力狀態的分類、應力狀態的分類1 1、空間應力狀態、空間應力狀態 三個主應力三個主應力 1、2、3 均不等于零均不等于零2 2、平面應力狀態、平面應力狀態 三個主應力三個主應力 1、2、3 中有兩個不等于零中有兩個不等于零3 3、單向應力狀態、單向應力狀態 三個主應力三個主應力 1、2、3 中只有一個不等于零中只有一個不等于零 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論平面應

6、力狀態的普遍形式如圖所示平面應力狀態的普遍形式如圖所示 .單元體上有單元體上有 x,x 和和 y,yxyz7-2 平面應力狀態分析平面應力狀態分析解析法解析法 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 對于圖對于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中所示受橫力彎曲的梁，從其中A點處以包含與點處以包含與梁的梁的橫截面重合的面在內的三對相互垂直的面取出的單元體如圖橫截面重合的面在內的三對相互垂直的面取出的單元體如圖b(b(立體圖立體圖)和圖和圖c(平面圖平面圖)，表明，表明A點處于平面應力狀態。點處于平面應力狀態。(a)(c)(b)河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章

7、應力和應變分析強度理論.斜截面上的應力斜截面上的應力 圖圖b中所示垂直于中所示垂直于xy平面平面的任意斜截面的任意斜截面ef 以它的外法線以它的外法線n與與x軸的夾角軸的夾角 定義，且定義，且 角角以自以自x 軸逆時針轉至外法線軸逆時針轉至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正為正；斜截面上圖中所示的正應力應力 和切應力和切應力 均為正值，均為正值，即即 以拉應力為正，以拉應力為正，以使其以使其所作用的體元有順時針轉動趨所作用的體元有順時針轉動趨勢者為正。勢者為正。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 由圖由圖c知，如果斜截面知，如果斜截面ef的面積為的面積為dA，

8、則體元左側，則體元左側面面eb的面積為的面積為dAcos，而，而底面底面bf 的面積為的面積為dAsin。圖圖d示出了作用于體元示出了作用于體元ebf 諸諸面上的力。面上的力。體元的平衡方程為體元的平衡方程為0sinsindcossind coscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsind sincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 需要注意的是，圖中所示單元體頂需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應力底面上的切應力 y按規定為負值，但在根據圖按規定為負值，但在根據圖d中

9、的體元列出上述平衡方程中的體元列出上述平衡方程時已考慮了它的實際指向，故方程中的時已考慮了它的實際指向，故方程中的 y僅指其值。也正僅指其值。也正因為如此，此處切應力互等定理的形式應是因為如此，此處切應力互等定理的形式應是 x=y。由以上兩個平衡方程并利用由以上兩個平衡方程并利用切應力互等定理切應力互等定理可得到以可得到以2 為參變量的求為參變量的求 斜截面上應力斜截面上應力 ，的公式：的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論15解：解：C點應力狀態如圖點應力狀態如圖b所示，其拉應力和切應力為：所示，其

10、拉應力和切應力為：MPa7.6310041050023AFx例例7-1 圖示圓軸中，已知：圓軸直徑圖示圓軸中，已知：圓軸直徑d=100mm，軸向，軸向拉力拉力F=500kN，外力矩，外力矩Me=7kNm。求。求C點點 =30截面上的應力。截面上的應力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCF 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論16MPa9.1660sin60cos202030 xxx MPa4.452cos2sin2030 xx圖示斜截面上應力分量為：圖示斜截面上應力分量為：MPa7.351001610736PeWMxCxxxxxyyy30n-30-30 河

11、南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論1717例例：某單元體應力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平：某單元體應力如圖所示，其鉛垂方向和水平方向各平面上的應力已知，互相垂直的二斜面面上的應力已知，互相垂直的二斜面ab和和bc的外法線分別的外法線分別與與x軸成軸成300和和600角，試求此二斜面角，試求此二斜面ab和和bc上的應力。上的應力。MPa20MPa10MPa30abc1n xy 22cos2yx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32.2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33.12n2

12、30100600120cos230100120sin20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33.1006030yxMPa40在二向應力狀態下，任意兩個垂直面上，其在二向應力狀態下，任意兩個垂直面上，其的和為一常數。的和為一常數。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論cos2sin2 22sin2cos2 2xyxyxxyx 莫爾圓莫爾圓(Mohr(Mohrs circle)s circle)將斜截面應力計算公式改寫為將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去，得得

13、河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論2222()()22xyxyx1 1、圓心的坐標、圓心的坐標),(0 02 2yxC 2 2、圓的半徑、圓的半徑22()2xyxR此圓習慣上稱為應力圓或稱為莫爾圓。此圓習慣上稱為應力圓或稱為莫爾圓。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 建建 -坐標系坐標系 ,選定選定比例尺比例尺o 3.3.應力圓作法應力圓作法（1 1）步驟）步驟xy 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論D xo o 量取量取OA=xAD=x得得 D 點點xy xAOB=y 量取量取BD=y得得

14、D 點點 y yD 連接連接 DD兩點的直線與兩點的直線與 軸相交于軸相交于 C 點點 以以C為圓心為圓心,CD 為半徑作圓為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓該圓就是相應于該單元體的應力圓 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論(1)該圓的圓心該圓的圓心 C 點到點到 坐標坐標原點的原點的 距離為距離為(2)該圓半徑為該圓半徑為22()2xyxRD xo o xA y yD（2 2）證明）證明2 22 21 12 21 1yxOBOAOBOAOBOC )()(2222()2xyxCDCAAD2 2yx 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應

15、變分析強度理論3.3.應力圓的應用應力圓的應用（1）求單元體上任一）求單元體上任一 截面上的應力截面上的應力 從應力圓的半徑從應力圓的半徑 CD 按方位角按方位角 的轉向的轉向 轉動轉動 2 得到半徑得到半徑 CE.圓周上圓周上 E 點的坐標就依次為斜截面上的正應力點的坐標就依次為斜截面上的正應力 和切應力和切應力 。D xo o xA y yDFxya 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 )cos(2 22 20 0CEOCCFOCOF 2 22 22 22 20 00 0sinsincoscosCDCDOCcos2sin222xyxyx 2 22 22 2

16、2 22 22 20 00 0sincoscossin)sin(CDCDCEFEosin2cos22xyx證明證明 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論角度的起點角度的起點點和面的對應關系點和面的對應關系二倍角關系二倍角關系轉向一致轉向一致D2 xn 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論26思考思考:已知一點處兩個不相垂直截面上的應力(圖a)，如何做應力圓?(a)2),(1D),(2DC(b)第七章第七章 應力狀態和強度理論應力狀態和強度理論 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論（2 2）求主應力）

17、求主應力 主應力數值主應力數值A1 和和 B1 兩點為與主平面兩點為與主平面對應的點，其橫坐標對應的點，其橫坐標 為主應力為主應力 1，2 2211122max()xyxyxOAOCCA2211222min()xyxyxOBOCCB 2D xo o xA y yDFB1A1 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論D xo o xA y yD 2A1B1 主平面方位主平面方位由由 CD順時針轉順時針轉 2 0 到到CA1 所以單元體上從所以單元體上從 x 軸順時軸順時針轉針轉 0（負值）即負值）即到到 1對應的對應的主平面的外法線主平面的外法線022tan()xxy

18、DACA 022 tanxxy 1022tan()xxy 0 確定后，確定后，1 對應的對應的主平面方位即確定主平面方位即確定 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論（3 3）求最大切應力）求最大切應力G1 和和 G 兩點的縱坐標分別代表兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力最大和最小切應力 D xo o xA y yD 2A1B1G1G2221max()2 xyxCG 2 22 21 1 minmax因為因為最大最小切應力最大最小切應力等于應力圓的半徑等于應力圓的半徑 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例例7-1 兩端簡支的焊接工

19、字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試繪出截面截面尺寸示于圖中。試繪出截面 c 上上 a,b 兩點處的應力圓，并兩點處的應力圓，并用應力圓求出這兩點處的主應力。用應力圓求出這兩點處的主應力。12015152709z250KN1.6m2mABC 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論+200kN50kN+80kN.m解解:(1)首先計算支反力首先計算支反力,并作出并作出 梁的剪力圖和彎矩圖梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80 kNmFSmax=FC左左 =200 kN250KN1.6m2mABCzIMy 4

20、 46 63 33 31010888812122702701111111212300300120120mm zImm135 aydISFzzS*河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論3 32560002560005 57 71501501515120120mm).(*zaS12015152709z(2)橫截面橫截面 C上上a 點的應力為點的應力為MPa.5 5122122 azcayIM MPa.*S6 66464 dISFzzaa a點的單元體如圖所示點的單元體如圖所示a 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論由由 x，x 定出定出

21、 D 點點由由 y，y 定出定出 D 點點以以 DD為直徑作應力圓為直徑作應力圓 C（3)3)做應力圓做應力圓 x=122.5MPa，x=64.6MPa y=0，y=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)A1 A2A1，A2 兩點的橫坐標分別代兩點的橫坐標分別代表表 a 點的兩個主應力點的兩個主應力 1 和和 3 MPaMPa27271501502 22 21 11 1 OAOA A1 點對應于單元體上點對應于單元體上 1 所在的主平面所在的主平面00452 005.22 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 MPa MPa227270

22、 01501503 31 1 5 522220 0.a12015152709z(4)橫截面橫截面 C上上b點的應力點的應力MPa5.136 bzcbyIM 0 b mmyb150 b點的單元體如圖所示點的單元體如圖所示b 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 b 點的三個主應力為點的三個主應力為 1所在的主平面就是所在的主平面就是 x 平面平面,即梁的橫截面即梁的橫截面 C0,MPa5.136321 b(136.5,0)D(0,0)河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例例7-2 討論圓軸受扭轉時的討論圓軸受扭轉時的應力狀態并分析鑄

23、鐵件受扭應力狀態并分析鑄鐵件受扭時的破壞現象。時的破壞現象。解：破壞時沿解：破壞時沿45線斷開線斷開最大切應力最大切應力取單元體如圖取單元體如圖,0 x,0yx MeMeDCBA 3p16TTWd22minmax22xyyxyx 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 x45o-45o 3 3 1 1 1 1 3 3ABDC13 02 圓截面鑄鐵試件扭轉破壞時，其斷裂面為與軸線成角的螺旋面，在垂圓截面鑄鐵試件扭轉破壞時，其斷裂面為與軸線成角的螺旋面，在垂直于斷裂面的方向，有最大拉應力，因此，圓截面鑄鐵試件的扭轉破直于斷裂面的方向，有最大拉應力，因此，圓截面鑄鐵試件

24、的扭轉破壞是拉斷的。同時也說明鑄鐵材料的抗拉強度小于抗剪和抗壓強度。壞是拉斷的。同時也說明鑄鐵材料的抗拉強度小于抗剪和抗壓強度。yxxy22tan0450或或1350 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論38 例：已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及彎矩M=10kNm.繪出表示1、2、3、4點應力狀態的單元體，并求出各點的主應力。b=60mm,h=100mm.bhzsFM123mm2541、畫各點應力狀態圖1323412、計算各點主應力312zbhI 4500cm zIMy14310500501010MPa1001點021MPa10032點(處于純剪

25、狀態)AFs23max1006021012033MPa3022134212xyxyxMPa30102MPa3033點(一般平面狀態)zIMy34310500251010MPa50bISFzzs*60105005.3725601012043MPa5.22MPa6.58102MPa6.834點MPa10010203 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 當一點處的三個主應力都不等于零時，稱該點處的應力狀態為空間應力狀態(三向應力狀態)；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應力狀態(圖a)。7-4 三向應力狀態簡介三向應力狀態簡介 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章

26、應力和應變分析強度理論已知已知受力物體內某一點處三個受力物體內某一點處三個主應力主應力利用應力圓確定該點的最大利用應力圓確定該點的最大正應力和最大切應力。正應力和最大切應力。首先研究與主應力首先研究與主應力 平行的斜截面上的應力，由于平行的斜截面上的應力，由于 作用作用平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應力平面上的力自相平衡，因此，凡是與主應力 平行的斜截平行的斜截面上的應力與面上的應力與 無關，這一組斜截面上的應力在無關，這一組斜截面上的應力在平面上平面上所對應的點，必在由所對應的點，必在由 和和 所確定的應力圓的圓周上。所確定的應力圓的圓周上。3333 2 1 123 河南理工大學土木工程

27、學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論A 1 2BC 3123123同理，可畫出另外兩個同理，可畫出另外兩個應力圓。將三個應力圓應力圓。將三個應力圓畫在同一平面上，稱為畫在同一平面上，稱為三向應力圓。三向應力圓。O 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 A 1O 2BC 31 2 3 k 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 A 1O 2BC 3由三向應力圓可見由三向應力圓可見)(max3 31 12 21 1 1 1 max 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例題例題9 單元體的應力如

28、圖所示單元體的應力如圖所示,作應力圓作應力圓,并求出主應力和最大并求出主應力和最大切應力值及其作用面方位切應力值及其作用面方位.解解:該單元體有一個已知主應力該單元體有一個已知主應力MPa20 z 因此與該主平面正交的各截面因此與該主平面正交的各截面上的應力與主應力上的應力與主應力 z 無關無關,依據依據 x 截面和截面和 y 截面上的應力畫出應力截面上的應力畫出應力圓圓.求另外兩個求另外兩個主應力主應力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論MPaMPaMPa MPa2020202020204040 yxyxyx 由

29、由 x，xy 定出定出 D 點點 由由 y，yx 定出定出 D 點點以以 DD為直徑作應力圓為直徑作應力圓A1，A2 兩點的橫坐標分別代兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應力表另外兩個主應力 1 和和 3 A1A2 O C 1 3 1=46MPa 3=-26MPa該單元體的三個主應力該單元體的三個主應力 1=46MPa 2=20MPa 3=-26MPa根據上述主應力，作出三個應力圓根據上述主應力，作出三個應力圓MPamax3636 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論132E11 E21 E31 32111E 一、廣義胡克定律一、廣義胡克定律7-5 廣義胡克定律廣義

30、胡克定律 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 32111E 13221E 21331E 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論xyxyxzxzyxyzzxzyGyzyz Gxyxy Gzxzx zyxxE 1 xzyyE 1 xyzzE 1 主應變方向與主主應變方向與主應力方向相同；應力方向相同；線應變與切應力無關，線應變與切應力無關，切應變與正應力無關。切應變與正應力無關。y 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例題例題5 5 邊長邊長 a=0.1m 的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，的銅立方塊，

31、無間隙地放入體積較大，變形可略去不計的鋼凹槽中變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示如圖所示.已知銅的彈性模量已知銅的彈性模量 E=100GPa，泊松比泊松比=0.34，當受到當受到F=300kN 的均布壓力作用的均布壓力作用時，求該銅塊的主應力和最大切應力。時，求該銅塊的主應力和最大切應力。解：銅塊橫截面上的壓應力解：銅塊橫截面上的壓應力332300 1030MPa0.1FA aaaFzyx z x y 013211 E 013122 E 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論-15.5MPa)30(0.34-10.34)0.34(1 1)1(23221 MPa51

32、521.MPa303 MPa25.7)(2131max 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論K 例例11.6 11.6 圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作圖示矩形截面簡支梁，在梁的跨中受一集中力作用，測得中性層上點處沿用，測得中性層上點處沿4545方向的線應變為方向的線應變為 。已知材。已知材料的彈性模量料的彈性模量E 和泊松比和泊松比 ，試求集中力，試求集中力F 的大小。的大小。K bh解：解：k點為純剪切應力狀態，單元體如圖所示。點為純剪切應力狀態，單元體如圖所示。2FFSbhFAFS4323（a）河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和

33、應變分析強度理論 由上式解出由上式解出43(1)KbhEF102 3（b）由廣義胡克定律由廣義胡克定律11231()KE（c）1134KFEEbh（d）將式（將式（a a）和式（）和式（b b）代入式（）代入式（c c），得），得bhFAFS4323（a）河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例題例題11.711.7 從鋼構件內某一點的周圍取出一部分如圖所從鋼構件內某一點的周圍取出一部分如圖所示。根據理論計算已求得示。根據理論計算已求得 ，。材料的彈性模量材料的彈性模量 ，泊松比，泊松比 。試求。試求對角線對角線AC的長度改變的長度改變 。MPa 30MPa 15

34、GPa 200E3.0l。25A30 C解：解：3030 030 0cos 2 30(15)sin 2 3035.5 MPa22 12030 030 0cos 2 12015 sin 2 1205.5 MPa22 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論30301206311 35.5 MPa+0.3 5.5 MPa185.8 10200 10 MPaE633025 mm185.8 109.29 10 mmsin30ACACll25A30 C 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論二、各向同性材料的體積應變二、各向同性材料的體積應變12

35、3123構件每單位體積的體積變化構件每單位體積的體積變化,稱為體積應變用稱為體積應變用表示表示.如圖所示的單元體，三個邊長為如圖所示的單元體，三個邊長為 a1,a2,a3變形后的邊長分別為變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為變形后單元體的體積為a1(1+1 1，a2(1+2 ，a3(1+3 V1=a1(1+1 1 a2(1+2 a3(1+3 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論體積應變體積應變為：為：3213213213213213213213322111 )1()1()1()1(aaaaaaaaaaaaaaaaaaVVV 32111E 13221E 2133

36、1E )(21321E 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論令令1231()3m)21(3 EKKm m稱為平均正應力稱為平均正應力，K 稱為體積彈性模量稱為體積彈性模量。上式稱為體上式稱為體積胡克定律。積胡克定律。純剪切應力狀態下的體積應變純剪切應力狀態下的體積應變即在小變形下，切應力不引起各向同性材料的體積改變即在小變形下，切應力不引起各向同性材料的體積改變.xy 3102 0 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論一、應變能密度的定義一、應變能密度的定義二、應變能密度的計算公式二、應變能密度的計算公式1、單向應力狀態下，物體內

37、積蓄的應變能密度為單向應力狀態下，物體內積蓄的應變能密度為v21 物體在單位體積內所積蓄的應變能。物體在單位體積內所積蓄的應變能。7-9 復雜應力狀態的應變能密度復雜應力狀態的應變能密度 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論將廣義胡克定律代將廣義胡克定律代入上式入上式,經整理得經整理得2、三個主應力同時存在時、三個主應力同時存在時,單元體的應變能密度為單元體的應變能密度為)(21332211v 133221232221221Ev 應變能密度應變能密度 v等于兩部分之和等于兩部分之和dvvvV 32111E 13221E 21331E 河南理工大學土木工程學院 材

38、料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論2321)(621 EvV式中，體積改變能密度為：式中，體積改變能密度為：形狀改變能密度為：形狀改變能密度為：)()()(61213232221dEv 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 例例9 988證明彈性模量證明彈性模量E、泊桑比、泊桑比 、剪切、剪切彈性模量彈性模量G 之之間的關系為間的關系為 。)1(2 EG 3 1證明：證明：純剪應力狀態比能為純剪應力狀態比能為212121Gu321,0,用主應力計算比能用主應力計算比能222213322123222121)00(2)(021)(221 EEEu 河南理工大學

39、土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論12uu 22121 EG )1(2 EG 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論一、一、強度理論的概念強度理論的概念max max 7-5 7-5 強度理論強度理論 ，河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論3.強度理論的提出強度理論的提出 桿件基本變形時，危險點處于單向應力狀態或純剪切應力桿件基本變形時，危險點處于單向應力狀態或純剪切應力狀態，其強度條件分別為狀態，其強度條件分別為 max max 許用應力可由實驗測出。許用應力可由實驗測出。在復雜應力狀態下，不可能測出每一種應

40、力狀態下的極在復雜應力狀態下，不可能測出每一種應力狀態下的極限應力，提出了材料在不同應力狀態下產生某種形式破壞的限應力，提出了材料在不同應力狀態下產生某種形式破壞的共同原因的各種假設，這些假設稱為強度理論。強度理論的共同原因的各種假設，這些假設稱為強度理論。強度理論的核心是認為復雜應力狀態下的某一因素達到簡單拉伸的試驗核心是認為復雜應力狀態下的某一因素達到簡單拉伸的試驗破壞時的同一因素，材料也將失效。破壞時的同一因素，材料也將失效。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論二、常用四個強度理論二、常用四個強度理論 第一強度理論（最大拉應力理論）第一強度理論（最大拉應力

41、理論）該理論不論材料處于什么應力狀態，引起材料脆性斷裂該理論不論材料處于什么應力狀態，引起材料脆性斷裂破壞的主要原因是最大拉應力，并認為當復雜應力狀態的最破壞的主要原因是最大拉應力，并認為當復雜應力狀態的最大拉應力達到單向應力狀態破壞時的最大拉應力時，材料便大拉應力達到單向應力狀態破壞時的最大拉應力時，材料便發生斷裂破壞。由此，材料的斷裂判據為發生斷裂破壞。由此，材料的斷裂判據為b 1強度條件為：強度條件為：1 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 第二強度理論（最大拉應變理論）第二強度理論（最大拉應變理論）該理論認為材料發生脆性斷裂破壞是由最大拉應變引起該理論

42、認為材料發生脆性斷裂破壞是由最大拉應變引起的：復雜應力狀態下，當最大拉應變的：復雜應力狀態下，當最大拉應變 1達到單向拉伸達到單向拉伸時發時發生脆性斷裂破壞的極限應變時生脆性斷裂破壞的極限應變時，材料，材料發生脆性斷裂破壞，即發生脆性斷裂破壞，即斷裂條件為斷裂條件為強度條件為強度條件為：EEb3211)(1 )(321 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 第三強度理論（最大剪應力理論）第三強度理論（最大剪應力理論）該理論認為材料發生塑性屈服破壞是由最大切應力引起該理論認為材料發生塑性屈服破壞是由最大切應力引起的：復雜應力狀態下，當最大切應力的：復雜應力狀態下，

43、當最大切應力 max達到單向拉伸達到單向拉伸時時發生塑性屈服破壞的最大切應力發生塑性屈服破壞的最大切應力 S 時，材料時，材料發生塑性屈服發生塑性屈服破壞，即屈服條件為破壞，即屈服條件為強度條件為：強度條件為：22S31max 31 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 第四強度理論（形狀改變比能理論）第四強度理論（形狀改變比能理論）該理論認為材料發生塑性屈服破壞是由形狀改變比能引該理論認為材料發生塑性屈服破壞是由形狀改變比能引起的：復雜應力狀態下，當形狀改變能密度起的：復雜應力狀態下，當形狀改變能密度vd 達到單向拉達到單向拉伸伸時發生塑性屈服破壞的形狀改變能

44、密度時發生塑性屈服破壞的形狀改變能密度vd，材料，材料發生塑發生塑性屈服破壞。性屈服破壞。相關理論分析可得三向應力狀態下的形狀改變能密度為相關理論分析可得三向應力狀態下的形狀改變能密度為222d1223311()()()6vE 單向拉伸至屈服時單向拉伸至屈服時，s 1032 ，代入上式得到單向拉伸至屈服時的形狀改變能密度為代入上式得到單向拉伸至屈服時的形狀改變能密度為 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論強度條件為：強度條件為：2s213232221d31)()()(61 EEv s)()()(21213232221)()()(212132322212ds13v

45、E 按照形狀改變能密度理論，屈服判據為按照形狀改變能密度理論，屈服判據為 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 1.強度理論的統一形式：強度理論的統一形式：11r)(3212 r313r)()()(212132322214r r r 稱為稱為相當應力相當應力第一第一相當應力相當應力第二第二相當應力相當應力第三第三相當應力相當應力第四第四相當應力相當應力三、強度理論的應用三、強度理論的應用 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論2.強度理論的選用強度理論的選用一般情況下：脆性材料通常發生脆性斷裂破壞，應一般情況下：脆性材料通常發生脆性

46、斷裂破壞，應 采用第一和第二理論；采用第一和第二理論；塑性材料通常發生塑性屈服破壞，應塑性材料通常發生塑性屈服破壞，應 采用第三和第四理論。采用第三和第四理論。特殊情況下：三向受拉時，不論是脆性材料還是塑特殊情況下：三向受拉時，不論是脆性材料還是塑 性材料，用第一和第二理論；性材料，用第一和第二理論；三向壓縮時，不論是脆性材料還是塑三向壓縮時，不論是脆性材料還是塑 性材料，用第三和第四理論。性材料，用第三和第四理論。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論例題例題9 根據強度理論根據強度理論,可以從材料在單軸拉伸時的可以從材料在單軸拉伸時的 可推知可推知低碳鋼類塑性

47、材料在純剪切應力狀態下的低碳鋼類塑性材料在純剪切應力狀態下的 .純剪切應力狀態下純剪切應力狀態下:1=,2 =0 ,3 =按第三強度理論得強度條件為：按第三強度理論得強度條件為：另一方面，剪切的強度條件是另一方面，剪切的強度條件是：所以所以 =0.5 2)(31 2 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 為材料在單向拉伸時的許用拉應力為材料在單向拉伸時的許用拉應力.材料在純剪切應力狀態下的許用切應力為材料在純剪切應力狀態下的許用切應力為 .3 3)()0()0(21222 按第四強度理論得強度條件為：按第四強度理論得強度條件為：6.0577.03 按第三強度理論

48、得到按第三強度理論得到：按第四強度理論得到：按第四強度理論得到：=0.5 0.6 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 例例11.10 圖示工字型焊接鋼板梁，尺寸及載荷如圖所示。圖示工字型焊接鋼板梁，尺寸及載荷如圖所示。已知已知 ，梁的許用為，梁的許用為 =150MPa，=90MPa.試試校核梁的強度。校核梁的強度。Fl=400 mmkN 80F100 102007 10 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論Fl=400 mmSFxkN 80mkN 32 xM解解 1.確定危險截面：確定危險截面：梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示。梁的剪

49、力圖和彎矩圖如圖所示。固定端截面為危險截面固定端截面為危險截面。2.校核最大正應力校核最大正應力3364100 20093 1801212 21.47 10 mmzI6421.47 10 m 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論64633max21.47 10 m214.7 10 m100 10 mzzIWy 36maxmax6332 10 N m149 10 Pa=149 MPa214.7 10 mMW 即滿足正應力強度要求即滿足正應力強度要求 3.3.校核最大切應力：校核最大切應力：*363(100 mm 10 mm)95 mm(7 mm90 mm)45 m

50、m 123350 mm123.35 10 mzs *363max6336(80 10 N)(123.35 10 m)(21.47 10 m)(7 10 m)65.7 10 Pa=65.7 MPaSzzF SI d 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論切應力也滿足強度要求。切應力也滿足強度要求。4.4.主應力校核主應力校核：100 102007 10 取取 A 點分析點分析 3364(32 10 N m)(90 10 m)21.47 10 mAzMyI 6134 10 Pa=134 MPa 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論*33

51、33636(80 10 N)(100 10 m)(10 10 m)(95 10 m)21.47 107 10 50.6 10 Pa=50.6 MPaSzzF SI d 21232222 22xyxyx 22222r4122331132 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論 22(134 MPa)3(50.6 MPa)160 MPa 由于該梁的相當應力由于該梁的相當應力 已超過已超過 的的6.7%，超過了，超過了5%，故不滿足強度要求。故不滿足強度要求。r4 對于焊接的工字梁（又稱為鋼板梁），需對腹板與翼對于焊接的工字梁（又稱為鋼板梁），需對腹板與翼緣交接點進行主

52、應力校核。對于符合國家標準的型鋼，一緣交接點進行主應力校核。對于符合國家標準的型鋼，一般不需要對腹板與翼緣交接點進行主應力校核。因為型鋼般不需要對腹板與翼緣交接點進行主應力校核。因為型鋼截面在腹板與翼緣交接處有圓弧過渡，且翼緣的內邊有一截面在腹板與翼緣交接處有圓弧過渡，且翼緣的內邊有一定的斜度，從而增加了交接處的截面寬度。因此，只要保定的斜度，從而增加了交接處的截面寬度。因此，只要保證了梁的最大正應力和最大切應力滿足強度條件，腹板與證了梁的最大正應力和最大切應力滿足強度條件，腹板與翼緣交接點一般不會出現強度問題。翼緣交接點一般不會出現強度問題。河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力

53、和應變分析強度理論例題例題11 一蒸汽鍋爐承受最大壓強為一蒸汽鍋爐承受最大壓強為p,圓筒部分的內徑為圓筒部分的內徑為D，厚度為厚度為 t ,且且 t 遠小于遠小于D.試用第四強度理論校核圓筒部分內壁試用第四強度理論校核圓筒部分內壁的強度的強度.已知已知 p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，=160MPa.（a）Dyz（b）河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論內壁的強度校核內壁的強度校核MPa904 tpDMPa90MPa18021 所以圓筒內壁的強度合適所以圓筒內壁的強度合適.用第四強度理論校核圓筒內壁的強度用第四強度理論校核圓筒內壁的強度MPa155)()()(212132322214r MPa1802 tpD 河南理工大學土木工程學院 材料力學 第 7章 應力和應變分析強度理論