第四章線性離散系統的數學描述與z傳遞函數分析法

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1、計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院 1.線性離散系統的數學描述與差分方程的解線性離散系統的數學描述與差分方程的解2.Z傳遞函數傳遞函數3.離散系統的誤差特性離散系統的誤差特性4.離散系統的穩定性離散系統的穩定性 5.離散系統的動態特性離散系統的動態特性計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院輸入輸入r(t)，輸出，輸出y(t).微分方程微分方程:)()(.)()(1)1(1)(0tatyat

2、yatyannnn)()(.)()(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbmmmm)(nm 計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院)()(.)()(11nTkTyaTnTkTyaTkTyakTynn)()(.)()(110mTkTrbTmTkTrbTkTrbkTrbmmminiiiiTkTyaiTkTrbkTy01)()()(或或離散化離散化用用差分差分代替代替微分微分 一階導數（微分）一階導數（微分）TTkTykTydttdyty)()()()(（后向差分）（后向差分）計算機控制系統計算機

3、控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院222)2()(2)()(TTkTyTkTykTydttyd333)3()2(3)(3)()(TTkTyTkTyTkTykTydttyd,)()(01tkiiTyTdttyTtk，T為采樣周期為采樣周期計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院仿照仿照連續系統連續系統引入引入拉氏變換拉氏變換，可使求解微分方程的，可使求解微分方程的微積分運算變為代數方程進行求解。對微積分運算變為代

4、數方程進行求解。對離散系統離散系統用用Z變換變換求解差分方程，使得求解運算變成了代數運算，求解差分方程，使得求解運算變成了代數運算，簡化了計算方法。其步驟如下：簡化了計算方法。其步驟如下：計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（1）對差分方程作）對差分方程作Z變換（主要用到平移定理）；變換（主要用到平移定理）；（2）利用輸出初始條件或求出初值）利用輸出初始條件或求出初值y(0)，y(T)，代入代入Z變換式；變換式；（3）整理）整理Z變換式求出變換式求出；azazabzbzbzYnnnmmm.)

5、(110110（4）由）由 利用長除法、部分分式法利用長除法、部分分式法或留數法作或留數法作Z反變換，可求出差分方程的解反變換，可求出差分方程的解y(kT)。)()(1zYZkTy計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.1-1 某二階離散系統的差分方程為某二階離散系統的差分方程為)()2(6)1(5)(kykykyky,0,10,0)(kkkr1)(6)(5)(21zzzYzzYzzY，輸入為單位階躍序列，輸入為單位階躍序列初始條件為初始條件為0，求，求y(k).【解解】Z變換：變換：1

6、6516511)(2221zzzzzzzzzzY32924121zzzzzzZ反變換反變換222)31(21)3(29)2(421)(kkkkky計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.1-2 已知差分方程已知差分方程 y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=0，初始條件為初始條件為y(0)=0，y(1)=1，求，求y(k).【解解】Z變換：根據超前定理，上式變為變換：根據超前定理，上式變為0)(2)0(3)(3)1()0()(22zYzyzzYzyyzzYz2323)1()0()3(

7、)(222zzzzzzyyzzzY21zzzzZ反變換：反變換：.210)2()1()(，kkykk計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院Z傳遞函數傳遞函數也稱為脈沖傳遞函數也稱為脈沖傳遞函數（pulse transferFunction），），)()()()()(zRzYkTrZkTyZzG)()()()(11zRzGZzYZkTy（零初始條件下）（零初始條件下）若已知若已知R(z)和和G(z)，則，則計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞

8、函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院在零初始條件下，取在零初始條件下，取Z變換變換)(.)2()()(21nTkTyaTkTyaTkTyakTyn)(.)()(10mTkTrbTkTrbkTrbmnnmmzazazbzbbzRzYzG.1.)()()(11110系統的特征方程系統的特征方程0.12211nnzazaza計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.2.1 設線性離散系統的設線性離散系統的Z傳遞函數為傳遞函數為4.04.16.0)(2zzzzG2114.04.116

9、.0)()()(zzzzRzYzG)(6.0)()4.04.11(121zRzzYzz，求差分方程。，求差分方程?！窘饨狻?(6.0)2(4.0)(4.1)(TkTrTkTyTkTykTy計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院ssRsYsG1)()()(tdttrty0)()()()(TkTykTy傳遞函數傳遞函數輸入輸出關系輸入輸出關系y(t)采樣后為采樣后為y(kT),TkTrTkTrTkTrTTkTrTkTy)()(21)()()(（前向矩形積分）（前向矩形積分）（后向矩形積分）（后向矩

10、形積分）（梯形積分）（梯形積分）計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院TzsszTTzzzRzYzG1111111)()()(TzzssTzTzTzzRzYzG1121111)()()()1()1(21131112211)()()(zTzsszzTTzzzRzYzG對上式分別作對上式分別作Z變換，整理后得變換，整理后得Z傳遞函數為傳遞函數為！連續系統的積分環節連續系統的積分環節G(s)中的中的s可以用不同可以用不同的近似方法代替，即用不同的離散實現，但的近似方法代替，即用不同的離散實現，但 z

11、=1的的極點極點相同。相同。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院在連續系統中，輸入是單位脈沖在連續系統中，輸入是單位脈沖 ，輸出是單位，輸出是單位脈沖響應函數脈沖響應函數 h(t)，則有，則有)(t)()()()(thLtLthLsG)()()()(kThZkTZkThZzG在離散系統中，按定義有在離散系統中，按定義有)1)(kTZ步驟：步驟：G(s)h(kT)()(1sGLth)()(kThZzG計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數

12、分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.2-2 已知已知 ，求，求G(z)。)1(1)(ssKsesGTs11)1()(2ssseKsGTsTse【解解】相當于將采樣時間延長了相當于將采樣時間延長了T，根據，根據Z變換的變換的線性定理和滯后定理，通過查表可得線性定理和滯后定理，通過查表可得11)1()1()(112111zezzTzzKzGT計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（1）兩個離散環節串聯）兩個離散環節串聯)()()()()(21zGzGzRzYzG（2）兩個連續的串

13、聯環節之間有理想采樣開關）兩個連續的串聯環節之間有理想采樣開關)()()()()(21zGzGzGzRzY計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（3）兩個串聯環節之間沒有采樣開關）兩個串聯環節之間沒有采樣開關)()()(21sGsGsG)()()()(sGZzRzYzG)()()(2121zGGsGsGZn個環節串聯：個環節串聯：)()()()()(2121zGGGsGsGsGZzGnn 一般地，一般地，)()()()(2121zGzGsGsGZ圖圖4.2-1 環節串聯環節串聯計算機控制系統計

14、算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（4）環節并聯）環節并聯)()()(21zGzGzG（a）（b）（c）)()()(21sGsGZzG)()(21zGzG計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院零階保持器零階保持器可分解成兩個單位階躍函數之差，可分解成兩個單位階躍函數之差，)()()(0TtututhsesessHTsTs11)(0ssGesGsHsHGTs)()1()()()(0傳遞函數傳遞函數Z傳遞函數

15、傳遞函數)()1()()1()(1ssGZzssGeZzHGTs計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院seTs1)(kTu)(sG)(zY)(sY)(zHG圖圖4.2-3 帶有零階保持器的帶有零階保持器的Z傳遞函數傳遞函數例例4.2-3 如上圖所示，已知如上圖所示，已知 ，求，求 .asasG)()(zHG【解解】11)1()()1()(11assZzassaZzzHG)1111)(1(111zezzaTaTaTaTaTezezezez11111計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離

16、散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院設閉環系統輸出信號的設閉環系統輸出信號的Z變換為變換為Y(z)，輸入信號的，輸入信號的Z變換為變換為R(z)，誤差信號的，誤差信號的Z變換為變換為E(z)，則定義，則定義閉環閉環Z傳遞函數傳遞函數閉環偏差閉環偏差Z傳遞函數傳遞函數)()()(zRzYzGc)()()(zRzEzGe計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院)(tr)(sR)(te)(*te)(zE)(sG)(sH)(kTy)(zY)(ty)

17、(sY+-)()()()(zEzGHzRzE)(1)()(zGHzRzE)(11)()()(zGHzRzEzGe)(1)()()()()(zGHzRzGzEzGzY)(1)()()()(zGHzGzRzYzGc計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院a.與與 之間沒有采樣開關之間沒有采樣開關)(2sG)(sH)(tr)(sR)(te)(te)(zE)(1sG)(tu)(zU)(2zG)(sH)(kTy)(zY)(ty)(sY+-)()()(21zGzGzG)()()()()(21zHGzGzEz

18、RzE)()(1)()(21zHGzGzRzE)()(11)()()(21zHGzGzRzEzGe)()()()(21zGzGzEzY)()(1)()()()()(2121zHGzGzGzGzRzYzGc計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院b.與與 之間有采樣開關之間有采樣開關)(2sG)(sH)(sR)(zE)(1sG)(2sG)(sH)(zY)(sY+-)()()()(21zGzGzEzY)()()()()()(21zHzGzGzEzRzE)()()(1)()(21zHzGzGzRzE)

19、()()(1)()()()()(2121zHzGzGzGzGzRzYzGc)()()(11)()()(21zHzGzGzRzEzGe計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院c.與與 、與與 之間沒有采樣開關隔之間沒有采樣開關隔開開)(1sG)(1sE)(2sG)(sH)(1sG)(1sE)(1sG)(2sE)(2zE)(2sG)(zY)(sH+-)()()(22zGzEzY)()()()()()()(12212sGsHsGZzEsGsRZzE)()()(2121zHGGzEzRG)(1)()(2

20、112zHGGzRGzE)()(1)()(2211zGzHGGzRGzY!閉環傳遞閉環傳遞函數求不出函數求不出來來,因因 中分離不出中分離不出 .)(1zRG)(zR計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院反映了系統的精度及抗干擾能力反映了系統的精度及抗干擾能力.引起穩態誤差的引起穩態誤差的原因原因：（1）系統的結構、參數）系統的結構、參數（2）輸入信號的形式）輸入信號的形式（3）外來的干擾）外來的干擾（4）系統中的各種非確定性因素：如零件參數）系統中的各種非確定性因素：如零件參數離散，摩擦，不

21、靈敏離散，摩擦，不靈敏計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院在連續系統中，穩態誤差的計算方法有兩種：在連續系統中，穩態誤差的計算方法有兩種：（1）用拉氏變換終值定理）用拉氏變換終值定理（2）從系統誤差傳遞函數出發的動態誤差系數法）從系統誤差傳遞函數出發的動態誤差系數法由于離散系統沒有唯一的典型結構形式，所以誤差由于離散系統沒有唯一的典型結構形式，所以誤差脈沖傳遞函數也給不出一般的計算公式，離散系統的脈沖傳遞函數也給不出一般的計算公式，離散系統的穩態誤差需要針對不同形式的離散系統來求取。穩態誤差

22、需要針對不同形式的離散系統來求取。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院)(sR)(zR)(zE)(zD)(zHG)(sY)(zY+-)()()()()()()()()()()(1zEzHGzDzRzRzGzRzYzRzEzEc)()()(11)()(1)(zRzHGzDzRzGzEc穩態誤差穩態誤差)()()(11)1(lim)(limzRzHGzDzkTeekkss（終值定理）（終值定理）計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中

23、南大學機電工程學院中南大學機電工程學院系統的開環系統的開環Z傳遞函數可寫成傳遞函數可寫成niimiipzzzzKzHGzD11)()1()()()()1,1(iipz,2,1,0 系統也分別稱為系統也分別稱為0型，型，型，型，型，型，系統。系統。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院1)()(1)(zzz，Rttr1)()(11)1(lim1zzzHGzDzezsspzKzHGzD11)()(lim111)1()1()()(lim1HGDzHGzDKzp其中其中當當 具有一個以上的極點具有一個

24、以上的極點(z=1)時，則時，則)()(zHGzD.0,)()(lim1sszpezHGzDK計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（3）若）若 具有具有2個個z=1的極點，則的極點，則（1）若）若 具有具有0個個z=1的極點，則的極點，則（2）若）若 具有具有1個個z=1的極點，則的極點，則2)1()(zTzzRvzzssKTzHGzDzTzTzzHGzDze121)()()1lim()1()()(11)1(lim)()(zHGzD)()(zHGzD)()(zHGzD;sse;vssKTe.

25、0sse,)(ttr計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（3）當當 具有具有3個以上極點時，個以上極點時，（2）當當 具有具有2個極點時，個極點時，（1）當當 具有具有 0,1個極點時，個極點時，,21)(2ttr32)1(2)1()(zzzTzR321)1(2)1()()(11)1(limzzzTzHGzDzezss,)()()1lim(2122azKTzHGzDzT)()()1(lim21zHGzDzKza)()(zHGzD)()(zHGzD)()(zHGzD;,0ssaeK;2assK

26、Te.0,ssaeK計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院 系統類型 輸 入 信 號 r(kT)=1(kT)r(kT)=kT 0 型 型 0 型 0 0 型 0 0 02)(21)(kTkTrpK11vKTaKT2計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院)(sR)(zD)(0sH)(1sG)(2sG)(sN)(sY+-由擾動引起的誤差由擾動引起的誤差)()()()(zYzYzRzEn)()(1)

27、(212zGHGzDzNG其穩態誤差其穩態誤差)()(1)()1(lim2121zGHGzDzNGzezssn計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院由輸入引起的誤差由輸入引起的誤差)()()(11)(21zRzGHGzDzEr)()()(zEzEzEnr由輸入和干擾引起的總誤差由輸入和干擾引起的總誤差)()(1)()(212zGHGzDzNGzR計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院 連續線性

28、定常系統穩定的充要條件是：閉環系統連續線性定常系統穩定的充要條件是：閉環系統的特征值具有負實部，即閉環系統的的特征值具有負實部，即閉環系統的極點極點均分布均分布在在S平面的平面的左左半平面。半平面。線性離散系統是否穩定，要看閉環系統的線性離散系統是否穩定，要看閉環系統的Z傳遞函傳遞函數的數的極點分布極點分布情況。情況。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院令令 ，則有，則有Z變換的定義：變換的定義：Tsez jsTjTTjeeez)(TezTzjReImj120011Te2Te1SZss2計算

29、機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（4）當）當 每變化一個每變化一個 ，則對應地在，則對應地在Z平面上重復平面上重復（3）當）當 0 時，時，1，右半平面，右半平面單位圓外部；單位圓外部；（2）當）當 0 時，時，1，左半平面，左半平面單位圓內部；單位圓內部；（1）當）當 時，時，虛軸，虛軸 單位圓；單位圓；01zzz,3,6,2,4,2,2ssssTzT畫出一個單位圓。畫出一個單位圓。主頻區。主頻區。s22ss（5）左半平面無窮遠處對應）左半平面無窮遠處對應Z平平面的圓心。面的圓心。計算機控

30、制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院設設 ，則，則對應于對應于Z平面：從原點出發，幅角平面：從原點出發，幅角 的的（6）S平面上平行與實軸的直線平面上平行與實軸的直線:,cTzc)cos(,12nnjs一條射線。一條射線。（7）S平面的一條射線，又稱為等阻尼線。平面的一條射線，又稱為等阻尼線。即：即：z的模的模)1(2nTTseezrTenTn21Tnerzz的相角的相角Tzn2121 er！對數螺旋線對數螺旋線計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳

31、遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院都分布在都分布在Z平面上以原點為圓心的單位圓內：平面上以原點為圓心的單位圓內：1.線性離散系統穩定的線性離散系統穩定的充要充要條件：特征方程的全部條件：特征方程的全部根，或者說閉環根，或者說閉環Z傳遞函數的全部極點傳遞函數的全部極點 ，),.,2,1(nipiip)(sR)(sY)(0sH)(sGT+-!可用解析的方法說明可用解析的方法說明計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院上圖所示閉環系統的上圖所示閉環系統的Z傳遞函數為傳遞函數為)(1)

32、()()()(zHGzHGzRzYzGc0)(1)(zHGzA)()()()()()(zRzAzBzRzGzYc系統的特征方程系統的特征方程系統的輸出為系統的輸出為設輸入為設輸入為 ，即，即 ，當，當 無重極點無重極點)()(ttr1)(zR)(zY時，時，可分解為部分分式可分解為部分分式)(zYniiipzzczY1)(ipziizzYpzc)()(計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院若系統穩定，則隨著時間增長，即若系統穩定，則隨著時間增長，即 時，時，nikiipckTy1)(k0lim

33、)(lim1kiniikkpckTy若若 1（i=1,2,n），則上式滿足。若有一個根），則上式滿足。若有一個根 ip大于大于1，系統不穩定；若有一個根的模等于，系統不穩定；若有一個根的模等于1，則系，則系統處于臨界穩定狀態。統處于臨界穩定狀態。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院S域：基于傳遞函數的連續系統穩定條件是特征根域：基于傳遞函數的連續系統穩定條件是特征根的實部為負數的實部為負數可直接用勞斯判據可直接用勞斯判據Z域：基于域：基于Z傳遞函數的離散系統穩定條件是特征傳遞函數的離散系統穩

34、定條件是特征根的模小于根的模小于1 不能直接用勞斯判據不能直接用勞斯判據？作一種作一種ZW變換，變換后變換，變換后W平面的左半平面對應平面的左半平面對應Z平面的單位圓內，于是在平面的單位圓內，于是在W域內可使用勞斯判據。域內可使用勞斯判據。這種坐標變換稱為這種坐標變換稱為W變換，或稱為變換，或稱為雙線性雙線性變換。變換。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院若令若令 ，代入上式，則有，代入上式，則有復變函數雙線性變換復變函數雙線性變換wwz1111zzwjrez 則有則有1111jjrerez

35、zw1cos2sin21cos21222rrrjrrrw計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院ImZRe+1-10jvW0uZ-W映射關系映射關系（1）r1，在，在Z平面的單位圓內，則平面的單位圓內，則u0，W平面的平面的左半平面；左半平面；（2）r1，在，在Z平面的單位圓內，則平面的單位圓內，則u0，W平面的平面的右半平面；右半平面；計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（2）作）作 變換，

36、經整理后得到變換，經整理后得到 ；系統的特征多項式系統的特征多項式 經經 變換變成變換變成 ，（3）r=1，在，在Z平面的單位圓上，則平面的單位圓上，則 u=0，tgv)(zA)(wA表示為表示為W平面上的虛軸。平面上的虛軸。WZ 0)(zA0)(wA對對 使用勞斯判據，其步驟為使用勞斯判據，其步驟為)(wA（1）求出離散系統的特征方程）求出離散系統的特征方程 ；WZ（3）對）對 列寫勞斯表，判別系統的穩定性。列寫勞斯表，判別系統的穩定性。)(wA計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.

37、4-1 利用勞斯判據，討論圖示系統的穩定性，其利用勞斯判據，討論圖示系統的穩定性，其中中 K=1，T=1s.)(sR)(zYTseTs1)1(ssK+-【解解】T368.0368.1264.0368.0)1(1)1()(221zzzssZzzHG632.0264.0368.0)(1)()(2zzzzHGzHGzGc系統的特征方程為系統的特征方程為0632.02 zz計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院采用雙線性變換，即令采用雙線性變換，即令 可得可得W平面的特征方程平面的特征方程wwz110

38、632.0736.0632.22ww建立勞斯表建立勞斯表632.00736.0632.0632.2012www由勞斯判據可知系統穩定。由勞斯判據可知系統穩定。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.4-2 某離散系統如圖所示。試用勞斯準則確定使某離散系統如圖所示。試用勞斯準則確定使該系統穩定的該系統穩定的k值范圍，設值范圍，設T=0.25s.)(sR)(zY)4(ssk【解解】)368.0)(1(158.0)4()(zzkzsskZzGkzzzkzzGzGzGc158.0)368.0)(

39、1(158.0)(1)()(Z特征方程特征方程0158.0)368.0)(1(kzzz0)158.0736.2(264.1158.02kwkwW特征方程特征方程計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院Routh表：表：kwwkw158.0736.20264.1158.0736.2158.0012由由Routh穩定判據，使系統穩定的穩定判據，使系統穩定的k值范圍為值范圍為0k17.3另外，采樣周期另外，采樣周期T對系統穩定性有影響，縮短采樣周對系統穩定性有影響，縮短采樣周期，會改善系統的穩定性。對

40、于本例，若期，會改善系統的穩定性。對于本例，若T=0.1s，則則 0k40.5.計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院【結論結論】（1）使用勞斯判據，可確定系統穩定極點的個數；）使用勞斯判據，可確定系統穩定極點的個數；（2）可分析系統各參數（如放大系數）可分析系統各參數（如放大系數K、采樣周期、采樣周期T、對象特征參數等）對系統穩定性的影響。對象特征參數等）對系統穩定性的影響。（3）控制系統中加入零階保持器后，會使系統的穩定）控制系統中加入零階保持器后，會使系統的穩定性變差。性變差。（4）開環

41、放大系數）開環放大系數K對離散系統穩定性的影響與連續對離散系統穩定性的影響與連續系統類似，系統類似，K加大，系統穩定性變差。加大，系統穩定性變差。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院線性離散系統的特征方程為線性離散系統的特征方程為322130)(azazazazA0.)(122110nnnnnazazazazazA以三階特征方程為例以三階特征方程為例011000001001102200010120130220230110330002012332103cccccdzccbbbcbbbbbczb

42、bbaaaaabaaaaabaaaaabzaaaaaaaaz計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院當特征方程高于三階時，可按上表的規則推出。當特征方程高于三階時，可按上表的規則推出。舒爾舒爾-科恩判據科恩判據：若行列表中第一列單數行的各元素：若行列表中第一列單數行的各元素均為正，則系統穩定。均為正，則系統穩定。設系統的特征方程為設系統的特征方程為0)(0122azazazA當滿足下列三個條件：當滿足下列三個條件：0120120)1()1()0(aaaAaaaAaA（1）1（2）0（3）0則系統

43、是穩定的。則系統是穩定的。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院例例4.4-3 在例在例4.4-2中，試用中，試用Z域直接判別法確定滿足域直接判別法確定滿足系統穩定的系統穩定的K值范圍。值范圍?！窘饨狻?158.0)368.0)(1()(kzzzzAkAkAA158.0)368.01)(11()1(158.0)1(368.0)368.0)(1()0(特征方程特征方程根據根據Z域直接判別法域直接判別法100可得滿足系統穩定的條件為可得滿足系統穩定的條件為 0k17.3.此結果與上此結果與上例用勞

44、斯判據給出的結果相同。例用勞斯判據給出的結果相同。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（即超調量（即超調量 與過渡過程時間與過渡過程時間 ）。即）。即進行進行Z反變換，就可獲得動態響應采樣值反變換，就可獲得動態響應采樣值 y(kT)。將。將 設單位階躍輸入的輸出的設單位階躍輸入的輸出的Z變換為變換為Y(z)，那么對，那么對Y(z)線性離散系統的動態特性是指系統在單位階躍信線性離散系統的動態特性是指系統在單位階躍信號輸入下的過渡過程特性（或系統的號輸入下的過渡過程特性（或系統的動態響應特性動態

45、響應特性）.%stY(kT)連成光滑曲線，就可獲得系統的動態性能指標連成光滑曲線，就可獲得系統的動態性能指標)()()(1zRzGZkTyc計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院一般地，采樣系統的一般地，采樣系統的閉環脈沖閉環脈沖傳遞函數可寫成傳遞函數可寫成輸入：輸入：輸出：輸出：njjmiipzzzKzzzRzGzY11)()(1)()()(1)(zzzRnjjmiicpzzzKzRzYzG11)()()()()()(nm 計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統

46、的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院對應的暫態響應分量對應的暫態響應分量 是等幅的。是等幅的。（2）極點在單位圓與正實周的交點，例如）極點在單位圓與正實周的交點，例如 ，的暫態響應分量的暫態響應分量 單調發散。單調發散。對上式取對上式取逆逆Z變換，得采樣系統的輸出響應，其中包變換，得采樣系統的輸出響應，其中包含含穩態穩態響應，及由實極點和復極點所引起的響應，及由實極點和復極點所引起的暫態暫態響應響應.（1）極點在單位圓外的實軸上，例如）極點在單位圓外的實軸上，例如 ，對應，對應11p)(1kTy12p)(2kTy計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性

47、離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院對應的暫態響應分量對應的暫態響應分量 是正負交替的是正負交替的衰減衰減應的暫態響應分量應的暫態響應分量 單調衰減單調衰減。（3）極點在）極點在單位圓內單位圓內的的正實軸正實軸上，例如上，例如 ，對，對103 p)(3kTy014p)(4kTy（4）極點在）極點在單位圓內單位圓內的的負實軸負實軸上，例如上，例如 ，振蕩振蕩（周期為（周期為2T）。）。（5）極點在）極點在單位圓單位圓與與負實軸負實軸的交點，例如的交點，例如 ，對，對15p應的暫態響應分量應的暫態響應分量 是是正負交替正負交替的的等幅等幅振

48、蕩振蕩)(5kTy（周期為（周期為2T）。）。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（6）極點在單位圓外的復實軸上，例如）極點在單位圓外的復實軸上，例如 ，對，對16p應的暫態響應分量應的暫態響應分量 是正負交替的發散振是正負交替的發散振)(6kTy蕩（周期為蕩（周期為2T）。（1）復極點在）復極點在Z平面單位圓外，對應的暫態響應分量平面單位圓外，對應的暫態響應分量是振蕩發散的。是振蕩發散的。（2）復極點在）復極點在Z平面單位圓上，對應的暫態響應是等平面單位圓上，對應的暫態響應是等幅振蕩。幅振

49、蕩。計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院（3）復極點在）復極點在Z平面單位圓內，對應的暫態分量是平面單位圓內，對應的暫態分量是振蕩衰減的。振蕩衰減的。綜上所述，對離散系統極點分布作如下討論：綜上所述，對離散系統極點分布作如下討論：（1）為使離散系統具有滿意的瞬態特性，其閉環極）為使離散系統具有滿意的瞬態特性，其閉環極應盡量避免分布在應盡量避免分布在Z平面單位圓的左半部，尤其不平面單位圓的左半部，尤其不要靠近負實軸。閉環極點最好分布在要靠近負實軸。閉環極點最好分布在Z平面單位圓的平面單位圓的右

50、半部，尤為理想的是分布在靠近原點的地方，由右半部，尤為理想的是分布在靠近原點的地方，由于這時于這時 值較小，所以響應的瞬態過程較快，即離值較小，所以響應的瞬態過程較快，即離jz計算機控制系統計算機控制系統第四章第四章 線性離散系統的線性離散系統的Z傳遞函數分析法傳遞函數分析法中南大學機電工程學院中南大學機電工程學院散系統對輸入具有快速響應的性能。散系統對輸入具有快速響應的性能。（2）通過分析可知，極點越接近）通過分析可知，極點越接近Z平面的單位圓，瞬平面的單位圓，瞬態響應衰減越慢。假如有一對極點最靠近單位圓，態響應衰減越慢。假如有一對極點最靠近單位圓，而其他極點均在原點附近，離這一對極點相當遠，則而其他極點均在原點附近，離這一對極點相當遠，則系統響應主要由這系統響應主要由這一對極點一對極點決定，稱為決定，稱為。這時可忽略原點附近極點相對應的瞬態分量，而主這時可忽略原點附近極點相對應的瞬態分量，而主考慮主導極點引起的瞬態分量?？紤]主導極點引起的瞬態分量。：3.3，3.4（3），），3.6（2），），3.8