泰勒公式及應用論文

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1、泰勒公式及應用學生：陸連榮指導教師：向偉淮南師范學院數學與計算科學系摘 要；泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內 容，不僅在理論上占有重要的地位，而且在求極限、 證明不等式、討論級數及積分的斂散性、求函數的 高階導數、證明中值公式、求解導數問題及在近似 計算等中都有極其重要的作用在本文中上述所列 的幾個作用都有論述，但著重論述泰勒公式在求極 限、級數及積分的斂散性判斷、證明不等式及中值 公式與求解導數問題中的作用。關鍵詞：泰勒公式；應用；級數；斂散性Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang

2、 WeiDepartment of Mathematics and ComputationalScience: Huainan Normal UniversityAbstract： Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies

3、 and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor1 s formula in calculating the limit, the se

4、ries and the in tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence前呂泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內容，微分學理論中最一般的情形是泰勒 公式，它建立了函數的增量，自變量增量與一階及高階導數的關系，將一些復雜的函數 近似地表示為簡

5、單的多項式函數，這種化繁為簡的功能 使它成為分析和研究其他數學勒公式及應用論文推南呼紅爭院畢業論文題目：泰勒公式及應用學生姓名：陸連榮學生學號：0805010325系別：數學與計算科學系專業：數學與應用數學屆別：2012 屆指導教師：向偉目錄摘要(0)關鍵詞(1)Abst rac t (1)Key words (1)前言：(1)1泰勒公式(2)11帶有拉格朗日余項的泰勒公式 (2)1.2帶有佩亞諾余項的泰勒公式 (2)13帶有積分型余項的泰勒公式 (2)14帶有柯西型余項的泰勒公式 (3)2_泰勒公式的應用(3)21利用泰勒公式求極限 (3)22利用泰勒公式證明不等式及中值問題 (5)23利用

6、泰勒公式討論積分及級數的斂散性(8)_24利用泰勒公式求函數的高階導數 (11)25研究泰勒公式在近似計算中的應用 (12)結語 (12)致謝(13)參考文獻(13)泰勒公式及應用學生：陸連榮指導教師：向偉摘 要； 泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內 容，不僅在理論上占有重要的地位，而且在求極限、 證明不等式、討論級數及積分的斂散性、求函數的 高階導數、證明中值公式、求解導數問題及在近似 計算等中都有極其重要的作用 .在本文中上述所列 的幾個作用都有論述，但著重論述泰勒公式在求極 限、級數及積分的斂散性判斷、證明不等式及中值 公式與求解導數問題中的作用。 關鍵詞：泰勒公式；應用；級數；斂散性

7、Taylor formula and its applicationStudent: Lu LiangrongInstructor : Xiang WeiDepartment of Mathematics and ComputationalScience: Huainan Normal UniversityAbstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit,

8、 to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are disc

9、ussed, but focuses on Taylors formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function.Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence 前言泰勒公式是數學分析中

10、一個非常重要的內容，微分學理論中最一般的情形是泰勒 公式, 它建立了函數的增量,自變量增量與一階及高階導數的關系，將一些復雜的函數 近似地表示為簡單的多項式函數，這種化繁為簡的功能 使它成為分析和研究其他數學 問題的有力杠桿。我們可以使用泰勒公式, 來很好的解決某些問題, 如求某些極限, 判 斷級數及積分的斂散性, 求函數的高階導數、證明中值公式、求解導數問題及在近似計 算等中都有極其重要的作用.在本文中上述所列的幾個不等式及中值公式與求解導數這 幾個方面的具體應用方法。1 泰勒公式1.1 帶有拉格朗日余項的泰勒公式如果函數f (x)在a, b上存在直至n階的連續導函數，在(a, b)內存在(

11、n +1)階導函數，則對任意給定的x, x0 & a,b，至少存在一點g e (a,b)，使得：/(x)-/(x ) + f(x )(x一x ) +(xx ) + +(xx )n +(xx )n+i0002!0n!0(n+1)!0它的余項為R (x)二f 吧)(x-x0)n+i，g = x0 +0(x-x0)(00i),稱為拉格朗日余n(n + 1)!000項。當x0 = 0時，得到泰勒公式：f (0)f (n)(0)f (n+1) (0x)f (x)= f (0) + f (0)x +x2 + . +Xn +Xn+1 (0 0 1)2!n!(n +1)!稱為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式

12、。1.2 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式如果函數f (x)在點x 0的某鄰域內存在直至n階導數，則對此鄰域內的點x有：f (x) = f (x ) + f(x )(x-x ) + f(x-x )2 + .+fx(x-x )n + o(x-x )n)0002!0n!00當 x0 = 0 時，上式稱為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林公式。1.3 帶有積分型余項的泰勒公式如果函數f在點x0的某鄰域U(x0)內有n+1階導數，令x e u (x0),則對該鄰域 內異于x0的任意點x，在x0和 x之間至少存在一個t使得：f (x) = f (x ) + f(x )(x一x ) + f x) (x一 x )2 +

13、 . + fx(x一x )n + f f (n+1) (t)(x一 t)ndt0002!0n!0n!1x其中祠1 f (n+1) (t)(xt)ndt就是泰勒公式的積分型余項。x01.4 帶有柯西型余項的泰勒公式如果函數f在點x0的某鄰域U(x0)內具有n +1階導數，令x丘U(x0),則對該鄰域內異于 x 0的任意點有：f (x)二 f ( x ) + f ( x )( x 一 x ) + f (兀0)(x 一 x )2 + . + f )( x 0)(x 一 x ) n + R (x)0002!0n!0 n1R (X)二f (n+1)( x +0 (X 一 x )(1 -0 ) n (x

14、一 x ) n+1,0 0 1nn!000(1)當 x0= 01時，又有R (x) = if n +1 (0x)(1 -0 )n xn+1 ,0 0 0)；(2) o(xm) 土o(xn) = o(xn) (m n 0)；(3) o(xm)-o(xn) = o(xm+n) (m, n 0)；(4) xm - o(xn) = o(xm+n) (m, n 0)；(5) C- o(xn) = o(xn) (C 豐 0, n 0) ox2“ cos x - e 2例1求lim的極限。xt 0x 40x2分析：此為0型極限，若用羅比塔法則很麻煩。這時可將cosx和e 2分別用其 泰勒展開式代替，則可簡化

15、此比式。x2解:利用展開式：C0Sx = I-x4+24+o( x5)，e-= 1 -蘭 + o( x5)28由此可得:辺x4cos x e 2 = + o(x5),12 ，所以:-x2-cos x 一 e- 2 limxt0x 4x4 + o( x5)=limxt0x412例2求極限limE -2xt0x 2分析：此式分子含有根號項，用洛比達法則也可以求解，不過比較繁瑣。若使用 泰勒公式可以將問題大大簡化。解：將、口 在x =0點的麥克勞林公式展開到X 2項得：= 1 + | -善 + 0(X2),口 = 1 -1 -善 + o(x2),x2則原式=lim(E-1)* R口 一1)xt01

16、11 1X 一_ X 2 + o( X 2) + - X 一_ X 2 + o( X 2) =lim _82_x0X21一_ X 2 =lim8xt01X 2 + 0( X 2)8X2tan X例3求極限Xmsn4X解：由于tanx x(x T 0),sin4x 4x(x t 0)，從而有limX T 0tan Xsin 4 x= limX T 0總結：用泰勒公式計算極限的實質是利用等價無窮小的替代來計算極限。我們知 道，當x T 0時，sinx T x，tanx T x等，這種等價無窮小其實就是將函數用泰勒公式展開至一次項，有些問題用泰勒公式和我們已經熟知的等價無窮小法相結合，問題又 能進一

17、步簡化。2.2利用泰勒公式證明不等式及中值問題如果函數f (x)的二階及二階以上導數存在且有界則用泰勒公式去證明這些不等式。例1設 1，證明當X1時成立(1+x)1+X，且等號僅當x = 0時成立。證明：f (x) = (1 + x)a在(10 )上二階可導，且有f (0) = 1；f(x) R(1+x1,f (0) =a ；以及f (x) = a (a 1)(1 + x)a-2 ；于是，對f (x)應用在x = 0處的帶拉格朗日余項的泰勒公式得：(1 + x)a 二 1 + ax +；! 1)(1 + 0%) a - 2 % 2 , % 1注意到上式最后一項是非負的且僅當x = 0時為0 所

18、以(1+x)a 1+axxj,且等 號僅當x = 0時成立。例2設函數f(x)在0,1上二次可微，且f(0) = f=0，minf(%) = T,試證：00 8。分析：f (%)在0,1上二次可微，且最小值1豐0，所以在(0,1)內一定有極值點， 該點的導數為0，題中可知f (%)二次可微，從這點我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結論中右邊是一個常數，故選在最小值點 % 0處泰勒展開。解：不妨設% = 1為f (%)在0,1上的最小值點，則f (%0) = 1，f(%0)= 0，f (%)在 %0處的泰勒公式：f (%) = f (% ) + f( % )(% % ) + (% % )2 =

19、 1 + 0 +(% % )2，是介于 %0 0 0 2! 0 2! 0與%0之間的某個值。當 % = 0 時，f(0) = 1+q -%02 = 0，即廣(g 1)二二，2! 0 1 % 2 0 當 % = 1 時，f (1) =1 + 響(1 %0)2 = 0，即 f”G 2)= (f，2 8(1 % )2 01 2 1所以當 %0 e(0,2)時，f(g 1)=尹 8 ；當 %0 e(2,1)時，廣(g 2)=0故綜上，存在一點2 e (0,1)使f”(g ) 8。例 3 設 limZ凹=1，且 f(%) 0，證明 f (%) %。 % t0 %證明：由 lim二 1 知: limf (

20、%) = lim%-= lim%= 0x1二0，又 f(%)% to %tO%t0%tO %t0 %f (x) 一 f (0) . f (x) 1 存在,故 f (x)連續，所以 f (0) = limf (x) = 0，所以 f(0)二lim一-二hm 二 1,xt0xt0x 一0xt0 x因為f (x)二階可導，所以f(x)在點x= 0處二階泰勒公式f (g )f (x)二f(0)+f(0)x +x2成立,匕在0與x之間，因為:f”(x)0，所以 f ( ) 0，所以 f(x) f(0) + f(0)x=0+x=x，即 f(x)x。例4設f(x)在a,b上有二階導數，試證:3 c e(a,

21、 b)使得:ba +b1j f(x)dx二(b-a)f( 2 ) + 24f(c)(b-a)3。證明a+b記x0二2， 泰 勒 展 開 式1f(x)二 f(x0)+f(x0)(x - x0)+2! fG )(x 一 x0)2，在兩端同時取a, b上的積分，即jf (x)dx = jf (x )dx + jf(x )(x一x )dx +jb f (g)(x- x )2dx。0 0 0 2! 0 aaaa注意右端第二項積分為0，第三項的積分由于導數有界值性, 積分第一中值定理成立，使得 j f”(g )(x - )2 dx = f (c)j (x - )2 dx = 12 f(c)(b - a)3

22、，從而有：aaj f (x)dx 二 j f (x )dx+0+2 -12 f ” (c)(b - a)3 二(b - a)f) + 2_ f ” (c)(b - a)3，a命題成立。a例5設函數f(x)在-1,1上具有三階連續導數，且f(-1)二0,f(1)二1,f(0)二0, 證明在(-1,1)內至少存在一點g使f ) = 3。證明:由麥克勞林公式,得：1r)f (x) = f (0) + f(0)x + 2!f(0)x2 +3 x3，其中耳在0 與x 之間。分別令x = -1,x =1,并將所得兩式相減得:f”)+廣)=6,12由f (x)的連續性知f (x)在nn 上有最大值m和最小值

23、m。1, 21則有：m 2【廣”們)+ f(n2) 0)收斂。a1 xsin x例2研究廣義積分J dx的斂散性。x 一 sin x0x sin x解：因為hm，所以x = 0是瑕點。xT0 + x sin x由比較判別法可知hmxqf(x)=1,0 15,xtQ+11則q 0， 使 f”(x)| M，于是 |f(x)| 二1)|x_ Mx_，令 x =1，則 f (!) 5。綜上，我們有：1為自然數時，f21 (0) = 0，且：“、-1)1-1(21 +1)!/(21 - 9)當 1 5D 0當) 1 52.5 研究泰勒公式在近似計算中的應用這里所討論的是利用泰勒公式求函數值的近似值，利用

24、f (x)的帶有拉格朗日余項 的麥克勞林展開式得函數的近似計算式為：( 、 w、 門、f”(0)f (n )(0)f (x)沁 f (0) + f (0)x +x2 + . +xn，2!n!f (n+1) (g )其誤差是余項R (x)二f異xn+1。 n(n +1)!例1計算Ln1.2的值，使誤差不超過0.0001解：先寫出f (x) = Ln(1 + x)帶有拉格朗日型余項的麥克勞林展開式：f (x) Ln(1+x) x +.+(-1)n-1+ R (x),2 3n n其中R ( x) n(-1)n xn+1(n + 1)(1 + g )n+1g 在0 與 x 之間。令 x 0.2，使 |

25、R (x)(0.2)n+1(n + 1)(1 + g )n+1 (0.2)n+1 0.0001，0g 0.2；則取n5即可。因此 Ln1.2 0.20.02+0.00267 0.0004+ 0.00006 0.1823,其誤差 |RJ 0.0001。結語泰勒公式是數學分析中一個非常重要的內容，不僅在理論上占有重要的地位，在近似計算、極限計算、函數斂散性的判斷、不等式的證明、中值問題以及行列式的計算等 方面有重要的應用。通過本文對極限計算、斂散性的判斷、求函數的高階導數、中值問 題以及不等式的證明等幾個方面的論述，我們可以了解到高階（二階及二階以上）導數 的存在是提示使用泰勒公式最明顯的特征之一

26、。只要題中條件給出函數二階及二階以上 可導，不妨先把函數在指定點展成泰勒公式再說，一般是展成比最高階導數低一階的泰 勒公式，然后根據題設條件恰當選擇展開點（展開點未必一定是具體數值點，有時以x 為佳）。只要在解題訓練中注意分析、研究題設條件及其形式特點，并把握上述處理原 則，就能較好的掌握利用泰勒公式解題的技巧。致謝 本文是在我的導師向偉的精心指導和悉心關懷下完成的。在這里我首先要感謝的 就是向老師，感謝他對我的精心培養與指導，感謝他對我的關心和照顧。他那嚴謹踏 實的治學態度，認真的教學科研作風，正直坦蕩的為人處世原則，以及對待學生誨人 不倦、平易近人的做人品格深深感染了我，導師的言傳身教已經

27、并將繼續對學生的專 業發展和為人處世起到極為重要的作用。同時，感謝淮南師范學院數學系的所有教導過、幫助過我的師長。 最后，我要向我的同學和朋友表示深深的感謝,有了他們的關心和幫助,我才能一 步一步度過難關。感謝我的同學董婷，丁美玲，感謝你們的探討與幫助。參考文獻1華東師范大學數學系.數學分析M.北京:高等 教育出版社,2001.227-228 .劉玉璉數學分析M.北京：高等教育出版 社,1988.214.3 華東師范大學數學系數學分析（第二版）M 高等教育出版社，1991 P1824 裘兆泰，王承國，章仰文，數學分析學習指導M北京:科學出版社,2004.117-120.5 陳傳璋數學分析M北京：人民教育出版 社,19806 盛祥耀. 高等數 學 M. 北 京 ： 高等教 育 出 版 社,2000.7 華東師范大學數學系.數學分析M.3版.北京: 高等教育出版社,2001.8 陳守信.數學分析選講M.北京:機械工業岀版 社,2009同濟大學數學教研室.高等數學（第四版）M. 高等教育出版社,2000.10曹愛民 .高等數學中求極限的幾種常用方法 J 濟南教育學院學報,2001,（6）:57-59.11華東師范大學數學系 .數學分析 （第二版）,上冊.北京:高等教育出版社,1991,167-169.