線性系統的穩定性分析

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1、第三章 線性系統的穩定性分析3.1 概述如果在擾動作用下系統偏離了原來的平衡狀態，當擾動消失后，系統能夠以足夠 的準確度恢復到原來的平衡狀態，則系統是穩定的。否則，系統不穩定。 一個實際的系統 必須是穩定的，不穩定的系統是不可能付諸于工程實施的。因此，穩定性問題是系統控制 理論研究的一個重要課題。對于線性系統而言，其響應總可以分解為零狀態響應和零輸入 響應，因而人們習慣分別討論這兩種響應的穩定性，從而外部穩定性和內部穩定性的概 念。應用于線性定常系統的穩定性分析方法很多。然而，對于非線性系統和線性時變系 統，這些穩定性分析方法實現起來可能非常困難，甚至是不可能的。李雅普諾夫 (A.M. Lya

2、pun ov)穩定性分析是解決非線性系統穩定性問題的一般方法。本章首先介紹外部穩定性和內部穩定性的概念及其相互關系，然后介紹李雅普諾夫 穩定性的概念及其判別方法，最后介紹線性定常系統的李雅普諾夫穩定性分析。雖然在非線性系統的穩定性問題中， Lyapunov 穩定性分析方法具有基礎性的地 位，但在具體確定許多非線性系統的穩定性時，卻并不是直截了當的。技巧和經驗在解決 非線性問題時顯得非常重要。在本章中，對于實際非線性系統的穩定性分析僅限于幾種簡 單的情況。3.2 外部穩定性與內部穩定性3.2.1 外部穩定：考慮一個線性因果系統，如果對一個有界輸入u (t)，即滿足條件：|U (t )| k g的

3、輸入u (t)，所產生的輸出y (t)也是有界的，即使得下式成立：l|y(t)l k 2 5則稱此因果系統是外部穩定的，即BIBO (Bounded Input Bounded Output)穩定。注意：在討論外部穩定性的時候，我們必須要假定系統的初始條件為零，只有在這種假定下面，系統的輸入輸出描述才是唯一的和有意義的。系統外部穩定的判定準則系統的BIBO穩定性可根據脈沖響應矩陣或者傳遞函數矩陣來進行判別。a) 時變情況的判定準則對于零初始條件的線性時變系統，設G(t,T)為脈沖響應矩陣，則系統BIBO穩定的充的每一個元要條件是，存在一個有限常數k，使對于一切G o心G (t，T)ij tp)

4、有(t，T )(i 二 1,2,q; j 二 1,2,g (t,t) dT k gij即，G(t,T)是絕對可積的。b) 定常情況下的判定準則：對于零初始條件的線性定常系統，初始時刻t0=0,G(t)為脈沖響應矩陣，G(s)為傳遞函 數矩陣，則系統 BIBO穩定的充要條件是，存在一個有限常數k，G(t)的每一個元gq(t)(i 二 1,2,q； j 二 1,2,.p)有 Jt |g (t)dT k 0,均存在一個 (e,10) 0，當初始狀態滿足|x0 x | - 5時，系統運動軌跡滿足lim|x(t；x ,t ) -x | 0)臨界情況(Re(s)=0)穩定(Re(s)vO)Lyapunov

5、 意義下不穩定穩定漸近穩定3.3.2李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法是通過系統矩陣A的特征值來判斷系統的穩定性的，其主要內容:用一次近似表達式表達狀態方程，即X = AX，假如系統矩陣Ade全部特征值具有 負實部，則系統在平衡點處是穩定的，而且穩定性與高階導數無關。(2) 如果在一次近似式的系統矩陣 A 的特征值中至少有一個具有正實部時，無論高階 導數的情況如何，系統在平衡點處不穩定。(3) 如果在一次近似式的系統矩陣 A 的特征值中有零特征值，系統的穩定性要有高階 導數決定。當高階導數為零時，系統處于臨界穩定狀態。3.3.3 標量函數的正定性定義正定性：標量函數V(x)在域S中對所有非零狀態

6、(x豐0)有V(x) 0且V(0) = 0，稱 V(x)在域S內正定。如V(x) = x2 + x2是正定的。12負定性：標量函數V(x)在域S中對所有非零x有V(x) 0且V(0) = 0，稱V(x)在域 S內負定。如V(x) = -(x2 + x2)是負定的。如果V(x)是負定的，-V(x)則一定是正定 12的。負(正)半定性：V(0) = 0，且V(x)在域S內某些狀態處有V(x) = 0，而其它狀態 處均有V(x) 0 )，則稱V(x)在域S內負(正)半定。設V(x)為負半定，則 -V(x)為正半定。如V(x) = -(x + 2x )2為正半定。12不定性：V(x)在域S內可正可負，

7、則稱V(x)不定。如V(x) = x x是不定的。12關于V(x,t)正定性的提法是：標量函數V(x,t)在域S中，對于t t及所有非零狀態 0有V(x,t) 0,且V(0,t) = 0，則稱V(x,t)在域S內正定。V(x,t)的其它定號性提法類 同。二次型函數是一類重要的標量函數，記V ( x) = xT Px =p px x -111n11np,n1 pnnxnijji1)。顯然滿足V(x) = 0，其定號性由賽爾維斯特準則 判定。當P的各順序主子行列式均大于零時，其中，P為對稱矩陣，有p=pp pn p p 0,11pn12 0, ，111n11pp2122pn1 pnn即P為正定矩陣

8、,2)則V(x)正定。當P的各順序主子行列式負、正相間時，即p 0,，(1)n111n1112pp2122p n1pnnP為負定矩陣,則V(x)負定。若主子行列式含有等于零的情況，則V(x)為正半定或負半定。不屬以上所有情況的V (x)不定。3.3.4 李雅普諾夫第二法 由力學經典理論可知，對于一個振動系統，當系統總能量(正定函數)連續減小 (這意味著總能量對時間的導數必然是負定的)，直到平衡狀態時為止，則振則系統是穩 定的。Lyapunov第二法是建立在更為普遍的情況之上的，即：如果系統有一個漸近穩定的平 衡狀態，則當其運動到平衡狀態的吸引域內時，系統存儲的能量隨著時間的增長而衰減， 直到在

9、平穩狀態達到極小值為止。然而對于一些純數學系統，畢竟還沒有一個定義“能量函 數”的簡便方法。為了克服這個困難，Lyapunov 引出了一個虛構的能量函數，稱為Lyapunov 函數。當然，這個函數無疑比能量更為一般，并且其應用也更廣泛。實際上，任 一純量函數只要滿足Lyapunov穩定性定理的假設條件，都可作為Lyapunov函數。Lyapunov函數與x , x ,x和t有關，我們用V(x , x ,x ,t)或者V(x,t)來表示1 2 n 1 2 nLyapunov函數。如果在Lyapunov函數中不含t,則用V(x ,x ,x )或V(x)表示。在1 2 nLyapunov第二法中，V

10、(x,t)和其對時間的導數V(x,t)二dV(x,t)/dt的符號特征，提供了 判斷平衡狀態處的穩定性、漸近穩定性或不穩定性的準則，而不必直接求出方程的解(這 種方法既適用于線性系統，也適用于非線性系統)。1、關于漸近穩定性可以證明：如果x為n維向量，且其純量函數V(x)正定，則滿足V (x) = C的狀態x處于n維狀態空間的封閉超曲面上，且至少處于原點附近，式中C是正常數。隨 著|x| g，上述封閉曲面可擴展為整個狀態空間。如果q C2，則超曲面V(x) = C1 完全處于超曲面V(x) = C的內部。2對于給定的系統，若可求得正定的純量函數V(x)，并使其沿軌跡對時間的導數總 為負值，則隨

11、著時間的增加，V(x)將取越來越小的C值。隨著時間的進一步增長，最終 V(x) 變為零，而 x 也趨于零。這意味著，狀態空間的原點是漸近穩定的。 Lyapunov 主穩 定性定理就是前述事實的普遍化，它給出了漸近穩定的充要條件。該定理闡述如下： 定理31 (Lyapunov,皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基)考慮如下非線性系統x (t) = f (x(t), t)式中/(0,t)三0,對所有t 2 10如果存在一個具有連續一階偏導數的純量函數V(x,t)，且滿足以下條件：1、V(x, t)正定；2、V(x, t)負定則在原點處的平衡狀態是(一致)漸近穩定的。進一步，若|x| g , V(x,

12、t) fg，則在原點處的平衡狀態是大范圍一致漸近穩 定的。例 3.3 考慮如下非線性系統x = X - x (x2 + x2)1 2 1 1 2x = -x - x (x2 + x2)2 1 2 1 2顯然原點(x =0，x =0)是唯一的平衡狀態。試確定其穩定性。12如果定義一個正定純量函數V (x)V(x) = 2x x + 2x x 一2(x2 + x2)21 1 2 2 1 2是負定的，這說明V(x)沿任一軌跡連續地減小，因此V(x)是一個Lyapunov函數。由于 V(x)隨x偏離平衡狀態趨于無窮而變為無窮，則按照定理5.1,該系統在原點處的平衡狀 態是大范圍漸近穩定的。注意，若使V

13、(x)取一系列的常值0, C , C ,(0 C C )，則V(x)=01 2 1 2對應于狀態平面的原點，而 V(x) = C ， V(x) = C ， ，描述了包圍狀態平面原點的互12不相交的一簇圓，如圖3.2所示。還應注意，由于V(x)在徑向是無界的，即 隨著 |x| g，V(x) g，所以這一簇圓可擴展到整個狀態平面。由于圓V(x) = C完全處在V(x) = C 的內部，所以典型軌跡從外向里通過V圓的邊界。kk+1因此Lyapunov函數的幾何意義可闡述如下V(x)表示狀態x到狀態空間原點距離的一種度 量。如果原點與瞬時狀態x(t)之間的距離隨t的增加而連續地減小(即P(x(t) (

14、x,t)上 附加一個限制條件，即除了原點以外，沿任一軌跡V(x,t)均不恒等于零，則要求V(x,t) 負定的條件可用P(x,t)取負半定的條件來代替。定理 3.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛)考慮如下非線性系統x (t) = f (x(t), t)式中f (0,t)三0,對所有t 210若存在具有連續一階偏導數的純量函數V(x,t)，且滿足以下條件：1、V(x,t) 是正定的；2、V(x,t)是負半定的；3、卩(t; x , t ), t 對于任意t和任意x豐0,在t t時，不恒等于零，其中的0 0 0 0 0(t;x ,t )表示在to時從x出發的軌跡或解。則在系統原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩

15、0 0 0 0定的。注意，若P(x,t)不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定曲 面V (x, t) =C相切，然而由于卩(t; x , t ), t 對任意t和任意x豐0,在t t時不恒等0 0 0 0 0于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在這點上，卩(x,t)=0)，因而必然要運動到原 點。2、關于穩定性然而，如果存在一個正定的純量函數V(x,t)，使得V(x,t)始終為零，則系統可以保 持在一個極限環上。在這種情況下，原點處的平衡狀態稱為在Lyapunov意義下是穩定的。 定理 3.3 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統x (t) = f (x(t), t)式

16、中f (0,t)三0,對所有t 10若存在具有連續一階偏導數的純量函數V(x,t)，且滿足以下條件：1、V(x,t) 是正定的；2、V(x,t)是負半定的；3、卩(t; x ,t ),t對于任意t和任意x豐0，在t t時，均恒等于零，其中的 0 0 0 0 0(t；x ,t )表示在t時從x出發的軌跡或解。則在系統原點處的平衡狀態是Lyapunov意 0 0 0 0義下的大范圍漸近穩定的。3、關于不穩定性如果系統平衡狀態x =0是不穩定的，則存在純量函數W(x,t)，可用其確定平衡狀 態的不穩定性。下面介紹不穩定性定理。定理 3.4 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統x (t) = f

17、(x(t), t)式中f (0,t)三0,對所有t 10若存在一個純量函數W(x,t)，具有連續的一階偏導數，且滿足下列條件：1、W(x,t)在原點附近的某一鄰域內是正定的；2、帀(x,t)在同樣的鄰域內是正定的。則原點處的平衡狀態是不穩定的。3.3.5線性系統的穩定性與非線性系統的穩定性比較在線性定常系統中，若平衡狀態是局部漸近穩定的，則它是大范圍漸近穩定的，然 而在非線性系統中，不是大范圍漸近穩定的平衡狀態可能是局部漸近穩定的。因此，線性 定常系統平衡狀態的漸近穩定性的含義和非線性系統的含義完全不同。如果要檢驗非線性系統平衡狀態的漸近穩定性，則非線性系統的線性化模型穩定性分 析遠遠不夠。必

18、須研究沒有線性化的非線性系統。有幾種基于Lyapunov第二法的方法可達 到這一目的，包括用于判斷非線性系統漸近穩定性充分條件的克拉索夫斯基方法、用于構 成非線性系統Lyapunov函數的Schultz-Gibson變量梯度法、用于某些非線性控制系統穩定 性分析的魯里葉(Lure法，以及用于構成吸引域的波波夫方法等。下面僅討論克拉索夫斯 基方法。3.4 線性定常系統的 Lyapunov 穩定性分析3.4.1 概述如前所述， Lyapunov 第二法不僅對非線性系統，而且對線性定常系統、線性時變系 統，以及線性離散系統等均完全適用。利用 Lyapunov 第二法對線性系統進行分析，有如下幾個特點

19、：(1) 都是充要條件，而非僅充分條件；(2) 漸近穩定性等價于 Lyapunov 方程的存在性；(3) 漸近穩定時，必存在二次型Lyapunov函數V(x) = xHPx及V(x) = -xHQx ；(4) 對于線性自治系統，當系統矩陣A非奇異時，僅有唯一平衡點，即原點x二0 ；e(5) 漸近穩定就是大范圍漸近穩定，兩者完全等價。 眾所周知，對于線性定常系統，其漸近穩定性的判別方法很多。例如，對于連續時間定常系統x = Ax,漸近穩定的充要條件是：A的所有特征值均有負實部，或者相應的特征 方程|sI A sn + a sn-i HF a s + a = 0的根具有負實部。但為了避開困難的特征

20、1n -1n值計算，如 Routh-Hurwitz 穩定性判據通過判斷特征多項式的系數來直接判定穩定性，Nyquist 穩定性判據根據開環頻率特性來判斷閉環系統的穩定性。這里將介紹的線性系統的 Lyapunov 穩定性方法，也是一種代數方法，也不要求把特征多項式進行因式分解，而且可 進一步應用于求解某些最優控制問題。3.4.2 線性定常系統的 Lyapunov 穩定性分析考慮如下線性定常自治系統x Ax(3.3)式中，x G Rn , A G Rnxn。假設A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態x = 0，其平衡狀 e態的穩定性很容易通過Lyapunov第二法進行研究。對于式(5.3)的系統，選取

21、如下二次型Lyapunov函數，即V(x) xHPx式中P為正定Hermite矩陣(如果x是實向量，且A是實矩陣，則P可取為正定的實對稱 矩陣)。V (x)沿任一軌跡的時間導數為V(x) xHPxF xHPx (Ax)H Px F xH PAx xHAHPxF xHPAx xH(AHPF PA)x由于V(x)取為正定，對于漸近穩定性，要求V(x)為負定的，因此必須有V(x) -x HQx式中Q = -( AhP + PA)為正定矩陣。因此，對于式 (3.3)的系統，其漸近穩定的充分條件是 Q 正定。為了判斷 nxn維矩陣的正定性，可采用賽爾維斯特準則，即矩陣為正定的充要條件是矩陣的所有主 子行

22、列式均為正值。在判別P(x)時，方便的方法，不是先指定一個正定矩陣P,然后檢查Q是否也是 正定的，而是先指定一個正定的矩陣Q,然后檢查由AhP + PA = -Q確定的 P 是否也是正定的。這可歸納為如下定理。定理3.5線性定常系統X = Ax在平衡點x = 0處漸近穩定的充要條件是：對于VQ 0， e3 P 0，滿足如下Lyapunov方程AhP + PA = -Q這里P、Q均為Hermite矩陣或實對稱矩陣。此時，Lyapunov函數為V(x) = xh Px， V(x) = -xhQx特別地，當p(x) = -xHQx豐0時，可取Q 0(正半定)?，F對該定理作以下幾點說明：(1) 如果系

23、統只包含實狀態向量x和實系統矩陣A,則Lyapunov函數xHPx%xTPx,且 Lyapunov 方程為AtP + PA = -Q(2) 如果(x) = -xHQx沿任一條軌跡不恒等于零，則Q可取正半定矩陣。(3) 如果取任意的正定矩陣Q,或者如果P(x)沿任一軌跡不恒等于零時取任意的正半定 矩陣Q，并求解矩陣方程AhP + PA = -Q以確定P,則對于在平衡點x = 0處的漸近穩定性，P為正定是充要條件。 e注意，如果正半定矩陣 Q 滿足下列秩的條件Q1/2rank=nQi/2 AQ1/2 An-1則V(t)沿任意軌跡不恒等于零。(4)只要選擇的矩陣Q為正定的(或根據情況選為正半定的)，

24、則最終的判定結果將與 矩陣 Q 的不同選擇無關。(5) 為了確定矩陣P的各元素，可使矩陣AhP + PA和矩陣-Q的各元素對應相等。為了 確定矩陣P的各元素P二P，將導致n(n+l)/2個線性方程。如果用九，九，,九表示矩ij ji12 n陣 A 的特征值，則每個特征值的重數與特征方程根的重數是一致的，并且如果每兩個根的和九+九豐0jk則P的元素將唯一地被確定。注意，如果矩陣A表示一個穩定系統，那么九+九的和總jk 不等于零。(6) 在確定是否存在一個正定的 Hermite 或實對稱矩陣 P 時，為方便起見，通常取Q = I,這里I為單位矩陣。從而，p的各元素可按下式確定AhP + PA =

25、-1然后再檢驗P是否正定。例 3.5 設二階線性定常系統的狀態方程為x1-01 _x1x-1-1x2112顯然，平衡狀態是原點。試確定該系統的穩定性。解 不妨取 Lyapunov 函數為V (x) = xTPx此時實對稱矩陣p可由下式確定AtP + PA = -1l2 +22lll222l2將矩陣方程展開，可得聯立方程組為一 2 p= -1l2p - p - p = 011 12 222 p - 2 p= -112 22從方程組中解出pn、比、役，可得1211為了檢驗P的正定性，我們來校核各主子行列式2 0,顯然，P是正定的。因此，在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的，且Lyapunov函數

26、為V (x) = xtPx = (3 x 2 + 2 x x + 2 x 2)211 22且V ( x) = - ( x 2 + x 2) 12 例36試判斷下列線性系統平衡狀態的穩定性。x = x ， x = - x + x12212解 原點是惟一平衡狀態。選V(x) = x2 + x2，則V(x) = 2x2，V(x)與x無關，故存 . 1 2 2.1.在非零狀態(如x豐0, x = 0)，使V (x) = 0,而對其余任意狀態有V (x) 0，故V (x)12正半定。系統不穩定。例3.7試判斷下列非線性系統平衡狀態的穩定性。x = ax + x 2解 這實際上是一個可線性化的非線性系統的

27、典型例子。令x = 0，得知系統有兩個平 衡狀態，x = 0和x = a 0對位于原點的平衡狀態，選V(x) = x2，有V (x) = 2ax 2 + 2 x 3 = 2 x 2 (a + x)于是，當a0時，系統在原點處的平衡狀態是局部(x 0時原點顯然是不穩定的；a = 0時原點也是不穩定的x 0,“(x) 0。上述結論也 可以從狀態方程直接看出。對于平衡狀態x = a，作坐標變換z = x + a，得到新的狀態方程z = az + z 2因此，通過與原狀態方程對比可以斷定：對于原系統在狀態空間 x = a處的平衡狀 態，當a 0時是局部一致漸近穩定的；當a 13p12p22pp12 p

28、22 p232310 -000 _21=00001001I；：I33展開的代數方程為6個，即2kp - 0， kp + p 2p 二 0，132 p 一 4 p= 0 ,12解得2223 11 12p 3 p + p1323 22kp + p p 二 03312132 p 2 p= 02333k 2 + 12k12 12k6k12 2k6k12 2k3k12 2kk12 2kk12 2k6k12 2k由于是線使P正定的條件為：12 2k 0及k 0。故0 k 6時，系統漸近穩定。 性定常系統，系統大范圍一致漸近穩定。例 3.9 如下系統是不是外部穩定？e-2sI e(t2)t A 2g (t)

29、= g (S)t 2傳遞函數是無理分式，所以：f I g (t)1 dt = f I e -( t - 2) I dt = 1 1時，V(x) 0，可見該系統在單位圓外是不穩 定的。但在單位圓當x2 + x2 = 1內，由于|xj 1，此時V(x) 0。因此在這個范圍內系 統平衡狀態是漸近穩定的。這個單位圓稱做不穩定極限環。3.4.3離散系統的穩定性判別設系統狀態方程為x(k +1) = Ox(k)，式中陣非奇異，原點是平衡狀態。取正定二 次型函數Vx(k)= xT(k)Px(k)(5)以 AVx(k)代替 V(x)，有AV x(k) = V x(k +1) - V x(k)(6)考慮狀態方程，有AV x(k) = xt (k + 1)Px(k +1) 一 xt (k) Px(k)= x(k )t Px(k + 1)Px(k +1) 一 xt (k) Px(k)(7)=xt (k) tP 一 Px(k)令TPP = -Q式(8)稱為李雅普諾夫代數方程。xt(k)Px(k)是系統的一個李雅普諾夫函數，于是 有AVx(k)= -xT(k)Qx(k)(9)系統x(k +1) = Ox(k)漸近穩定的充要條件是：給定任一正定實對稱矩陣Q (常取Q =/),存在正定對稱矩陣P，使式(8)成立。