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        22.2.1一元二次方程的解法1直接開平方法ppt課件

        上傳人:痛*** 文檔編號:190280843 上傳時間:2023-02-27 格式:PPT 頁數:35 大?。?46.50KB
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        1、方程一元一次方程二元一次方程組一元二次方程復習舊知復習舊知消元消元猜測類比類比降次1、他學過的整式方程有哪些?它們是如何求解?、他學過的整式方程有哪些?它們是如何求解?去分母去分母去括號去括號移項、合并同類項移項、合并同類項把未知數的系數化為把未知數的系數化為1 1得解得解 2.什么叫平方根?怎樣表示一個數的平方根?假設x2=a,那么x叫a的平方根,記作)0aax(3.根據平方根的概念解方程:根據平方根的概念解方程:x24=0 復習舊知復習舊知 普通地普通地,對于形如對于形如x2=p(p0)的方程的方程,根據平方根據平方根的定義根的定義,可解得可解得 這種解一元二次方程的方法叫做開平方法這種解

        2、一元二次方程的方法叫做開平方法.p px x ,p px x2 21 1例例1 1:用開平方法解方程:用開平方法解方程 9x2=4 9x2=4解:兩邊同除以解:兩邊同除以9,得,得942x利用開平方法,得利用開平方法,得32x所以,原方程的根是所以,原方程的根是.32,3221xx例例2 2:用開平方法解方程:用開平方法解方程 3x2=-4 3x2=-4解:兩邊同除以解:兩邊同除以3,得,得342x 由于任何一個實數的平方根不能由于任何一個實數的平方根不能夠是負數,所以原方程沒有實數根夠是負數,所以原方程沒有實數根.例例3 3:用開平方法解方程:用開平方法解方程 -7x2+21=0 -7x2+

        3、21=0解:移項,得解:移項,得32x兩邊同除以兩邊同除以-7,得,得2172 x利用開平方法,得利用開平方法,得3x所以,原方程的根是所以,原方程的根是.3,321xx例例4 4:解方程:解方程 (x+1)2=16 (x+1)2=16 解:利用開平方法,得解:利用開平方法,得4141xx或可得可得41x所以,原方程的根是所以,原方程的根是.5,321xx上面這些解法中,本質上是把上面這些解法中,本質上是把一個一元二次方程一個一元二次方程“降次,降次,轉化為兩個一元一次方程轉化為兩個一元一次方程.解以下方程:解以下方程:298,x 移項28,9x 得2 2,3x 方程的兩根為:3221x22

        4、2.3x 解:解:359)1(2x 留意:二次留意:二次根式必需化根式必需化成最簡二次成最簡二次根式。根式。38x隨堂練習一隨堂練習一假設方程能化成假設方程能化成 的方式,那么等式兩邊直接開平方可得的方式,那么等式兩邊直接開平方可得)0()(22ppnmxpx或.xpm xnp 或對于一元二次方程對于一元二次方程x2=p,假設,假設p0,那么就可以,那么就可以用開平方法求它的根用開平方法求它的根.當當p0時時,方程有兩個不相等的根:方程有兩個不相等的根:當當p=0時時,方程有兩個相等的根:方程有兩個相等的根:p,21xpx021 xx用直接開平方法解以下方程:用直接開平方法解以下方程:2022

        5、 x1;0121 2y025162x(3)將方程化成(p0的方式,再求解px211y2x0212)4(2x45x21x把該方程把該方程“降次,降次,轉化為兩個一元一轉化為兩個一元一次方程,問題就處次方程,問題就處理了理了2.用直接開平方法可以解一元二次方程的類型:用直接開平方法可以解一元二次方程的類型:;0 nmx 0 22ppppx或3.根據平方根的定義,要特別留意:由于負數沒根據平方根的定義,要特別留意:由于負數沒有平方根,所以,當有平方根,所以,當p0時,原方程無解時,原方程無解.歸納歸納 小結小結1直接開平方法的根據是什么?直接開平方法的根據是什么?平方根平方根問題問題2 2 要使一塊

        6、矩形場地的長比寬多要使一塊矩形場地的長比寬多6m6m,并且,并且面積為面積為16m216m2,問場地的長和寬應各為多少米?,問場地的長和寬應各為多少米?x(x+6)=16,即即x2+6x16=0.解:設場地寬解:設場地寬x mx m,長,長x+6x+6m m,依題意得,依題意得思索:怎樣解方程思索:怎樣解方程 x2+6x x2+6x16=016=0?x2+6x16=0a+b)2=Pa+b)2=P?X2+6X+X2+6X+=16+=16+a2+2ab+b2=p(X+3)2=25(X+3)2=253232恒等變形恒等變形x2+6x-16=0 x2+6x=16x2+6x9=169(x+3)2=25x

        7、+3=5x3=5,x3=5x1=2,x2=8降次求解的思緒流程移項移項左邊寫成平方方式直接開平方降次兩邊加兩邊加9即即262左邊配成左邊配成 x22bxb2解一次方程解一次方程 可以看出,配方是為了降次,把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次可以看出,配方是為了降次,把一個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解方程來解以上解法中,為什么在方程以上解法中,為什么在方程x2+6x=16x2+6x=16兩邊加兩邊加9 9?加其他數行嗎?加其他數行嗎?配方法:經過配成完全平方方式來解一元二配方法:經過配成完全平方方式來解一元二次次方程的方法。方程的方法。根據完全平方公式:9是一次項系數6一半的平方,加9

        8、正好與x2+6x可以配成一個完全平方式:x2+6x+9=(x+3)2加其它數不行加其它數不行2230 xx2214xx 2(1)4x1231xx,配配方方開開平平方方解方程解方程12,x 12x 把二次化為一次,把二次化為一次,到達降次的目的到達降次的目的.l經過配方,把方程的一邊化成完全平方式,另一邊化成非負數,然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根.解一元二次方程的配方法解一元二次方程的配方法配方是關鍵解方程解方程210110.xx22210(5)11(5)xx ,2(5)36.x56,56.xx 或1211,1.xx 21011.xx解:解:把常數項移到方程的右邊把常數項移到方程的右邊

        9、方程兩邊都加上一次項系數一半的平方方程兩邊都加上一次項系數一半的平方 方程左邊是含未知數的完全方程左邊是含未知數的完全平方式平方式.方程的右邊是一個常數方程的右邊是一個常數一個正數的平方根有兩個,它們互為一個正數的平方根有兩個,它們互為相反數相反數45,x 解以下方程:解以下方程:21810 xx;12415,415.xx解:1移項,得x28x=1,配方x28x+42=1(x(x4)2=154)2=15由此可得切記:方程兩邊要同時加上一次項系數一半的平方。+42解方程解方程2332480.xx232160.3xx23216.3xx222321616()16()333xx ,221620()()

        10、33x,16201620.3333xx,或12412.3xx,解:解:將方程的二次項系數化為1,更便于配方!移項移項配方配方開平方開平方解一次方程解一次方程將二次項系數化為將二次項系數化為1 1配方配方2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得由此可得2111,.2xx二次項系數化為二次項系數化為1 1,得,得231,22xx 2 2213 xx;解:移項,得解:移項,得2x23x=1,方程的二次項系數不方程的二次項系數不是是1 1時,為便于配方,時,為便于配方,可以讓方程的各項除可以讓方程的各項除以二次項系數以二次項系數2 2?配方配方2224211,3xx 211

        11、.3x移項,得移項,得2364,xx 二次項系數化為二次項系數化為1 1,得,得242,3xx 2 33640 xx方程有實數解嗎?即原方程無實數根。即原方程無實數根。由于實數的平方不會是負數,所以由于實數的平方不會是負數,所以x取任何實數時,取任何實數時,(x1)2都都是非負數,上式都不成立。是非負數,上式都不成立。2364,xx242,3xx解解:2224211,3xx271,3x211,3x 1211,3x 2211.3x 0463)4(2 xx33212x32131x32131x32132x忠告:假設最終結果想由忠告:假設最終結果想由“和或差的方式和或差的方式要寫成要寫成“商的方式,請

        12、留意符號的問商的方式,請留意符號的問題。題。把一元二次方程化為普通方式后,配方降次把一元二次方程化為普通方式后,配方降次的普通步驟是:的普通步驟是:二次項的系數=111兩邊同除以二次項的系數 二次項的系數化成1移項配方移常數項到等號右邊(等式兩邊同加一次項系數一半的平方化成一次方程兩邊直接開平方用配方法解一元二次方程的步驟用配方法解一元二次方程的步驟4 4、用配方法解一元二次方程應留意?、用配方法解一元二次方程應留意?明確算理,按步驟操作解題;明確算理,按步驟操作解題;不要忘記在等式的兩邊同時加一次項不要忘記在等式的兩邊同時加一次項系數的一半的平方;系數的一半的平方;開平方時假設結果是二次根式

        13、要化簡;開平方時假設結果是二次根式要化簡;假設最終結果想由假設最終結果想由“和或差的方式寫和或差的方式寫成成“商的方式,符號問題要留意商的方式,符號問題要留意.2.領會轉化的數學思想領會轉化的數學思想.1.熟習配方法解方程的步驟熟習配方法解方程的步驟_)(_)(_)(_)(22222222_21)4(_5)3(_8)2(_2)1(yyyyxxxxyyxx)(25225)(412411242配方在解題中有廣泛的運用配方在解題中有廣泛的運用1 1、運用于求二次函數的最值、運用于求二次函數的最值例例1 1 知知x x是實數,求是實數,求y yx2-4x+5x2-4x+5的最小值的最小值解 由配方,得

        14、 y=x2-4x4-45y=x-221 x是實數,x-220當x-2=0,即x=2時,y最小,y最小=1例例2:證明無論證明無論x為何實數,代數式為何實數,代數式2x2-x+10的值恒大于零的值恒大于零1032:2 xx解10)23(22xx0)43(,2xx為何實數不論所以無論所以無論x為何實數,代數式為何實數,代數式2x2-3x+10的值均大于零的值均大于零10169)43(210)43()43(23 22222xxx871)43(21089)43(222xx0871)43(22x2 2、運用于求代數式的最值、運用于求代數式的最值.代數式代數式x2-2x+5的值一定是的值一定是.負數負數.

        15、非負數非負數.負數或負數或.正數正數練習練習2.代數式代數式-3x2+5x+1能否有最大值能否有最大值?C練習練習2.代數式代數式-3x2+5x+1能否有最大值能否有最大值?1)35(315322xxxx解:1)65()65(353222xx13625)65(32x11225)65(32x1237)65(32x0)65(,2xx為何實數不論12371237)65(32x所以有最大值所以有最大值,最大值是最大值是 12373 3、運用于解特殊方程、運用于解特殊方程例例1 1 解方程解方程x2-4x+y2-8yx2-4x+y2-8y20=020=0 x2-4xx2-4x4 4y2-8yy2-8y1

        16、616=0=0 x-2x-22 2y-4y-42 20 0由非負數的性質,得由非負數的性質,得x-2=0 x-2=0,y-4=0 y-4=0 x=2y=4解解:分別對分別對x x、y y配方,得配方,得a-ba-b2 2b-cb-c2+2+c-ac-a2 20 04 4、斷定幾何圖形的外形:、斷定幾何圖形的外形:例例9 9 知知 a a、b b、c c是是ABCABC的三邊,且滿足的三邊,且滿足a2a2b2b2c2-ab-bc-cac2-ab-bc-ca0 0斷定斷定ABCABC是正三角形是正三角形證明證明 由知等式兩邊乘以由知等式兩邊乘以2 2,得,得2a22a22b22b22c2-2ab-

        17、2bc-2ca=02c2-2ab-2bc-2ca=0,拆項、配方,得拆項、配方,得a2-2aba2-2abb2b2b2-2bcb2-2bcc2c2c2-2cac2-2caa2a20 0a-b=0a-b=0,b-c=0b-c=0,c-a=0c-a=0,aab b,b bc c,c ca a,即即:a=b=c:a=b=c故故ABCABC是等邊三角形是等邊三角形問題問題.一桶某種油漆可刷的面積為一桶某種油漆可刷的面積為1500dm21500dm2,李明,李明用這桶油漆恰好刷完用這桶油漆恰好刷完1010個同樣的正方體外形的盒個同樣的正方體外形的盒子的全部外外表,他能算出盒子的棱長嗎?子的全部外外表,他能算出盒子的棱長嗎?106x2=1500依題意得x2=25即x1=5,x2=5棱長不能是負值,所以正方體的棱長為5dm.解:設正方體的棱長為解:設正方體的棱長為x dmx dm,那么一個正方體的外表積為那么一個正方體的外表積為6x2 dm26x2 dm2,留意:實踐問題一定要思索解能否是實踐問題的解即解的合理性。留意:實踐問題一定要思索解能否是實踐問題的解即解的合理性。

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