高等數學：10-7 斯托克斯-stokes公式

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1、1第七節第七節 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環流環流量與量與旋度旋度斯托克斯公式斯托克斯公式物理意義物理意義-環流量與旋度環流量與旋度小結小結 思考題思考題 作業作業circulationcurl 斯托克斯斯托克斯 Stokes,G.G.(18191903)英英國數學家、物理學家國數學家、物理學家第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2 本節介紹空間曲面積分與曲線積分本節介紹空間曲面積分與曲線積分并同時介紹向量場的兩個重要概念并同時介紹向量場的兩個重要概念斯托克斯公式斯托克斯公式.環量與旋度環量與旋度.之間的關系之間的關系斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流

2、量與旋度環流量與旋度3一、斯托克斯一、斯托克斯(Stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 設設 的正向與的正向與的的側側符符合合右右手手規規則則，),(),(zyxQzyxP函函數數在在內內的的一一個個空空間間區區域域內內在在包包含含曲曲面面),(zyxR zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(為分段光滑的空間有向為分段光滑的空間有向閉閉曲線曲線,是以是以為邊界的分片光滑的為邊界的分片光滑的有向曲面有向曲面,具有一階連續偏導數具有一階連續偏導數,則有公式則有公式斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度 4 即有即有

3、SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos 其中其中 cos,cos,cos zRyQxPddd方向余弦方向余弦.是是指定一側的法向量指定一側的法向量 zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度5的正向與的正向與的側符合右手規則的側符合右手規則:當右手除拇指外的四指依當右手除拇指外的四指依 的繞行方向時的繞行方向時,是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則拇指所指的方向與拇指所指的方向與上法向量的指向相同上法向量的指向相同.是有向曲面是有向曲面的正向邊界曲線的正

4、向邊界曲線.稱稱斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度 n 6斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度(3)在坐標面上在坐標面上,應用格林公式把應用格林公式把(2)得到的平面閉得到的平面閉曲線積分化為二重積分曲線積分化為二重積分.因此因此斯托克斯公式是格林斯托克斯公式是格林注注證明思路證明思路(1)把曲面積分化為坐標面上投影域的二重積分把曲面積分化為坐標面上投影域的二重積分;(2)把空間閉曲線把空間閉曲線上的曲線積分化為坐標面上上的曲線積分化為坐標面上的閉曲線積分的閉曲線積分;分三步分三步當當為為 xOy 坐標面上的平面區域時坐標面上的平面

5、區域時,斯托克斯托克斯公式就是格林公式斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推廣公式在曲面上的推廣.yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd7 RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos 另一種形式另一種形式)cos,cos,(cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式 zRyQxPddd zRyQxPddd zRyQxPddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度()d d()d d()d dRQPRQPy zz xx yyzzxxy8Stokes公式的實質公式的實質 表達了有向曲面上的曲面積分與其表達

6、了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系邊界曲線上的曲線積分之間的關系.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度9解解zyyxxzddd yxzzyxyxxzzydddddd法一法一 按按斯托克斯公式斯托克斯公式,計算曲線積分計算曲線積分例例 ,dddzyyxxz1 zyx是平面是平面 其中其中被三坐標面所截成的被三坐標面所截成的三角形的整個邊界三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側它的正向與這個三角形上側的法向量之間符合右手規則的法向量之間符合右手規則.有有 yxxzzydddddd斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋

7、度xyzOnxyD11110 xyO111 yx yxxzzydddddd yxdd3.23.弦弦都都為為正正的的法法向向量量的的三三個個方方向向余余).1,1,1(n213 zyyxxzddd xyD cos)31cos cos yxxzzydddddd的法向量的法向量(對稱性對稱性1:zyx平面平面 xyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度11按按斯托克斯公式斯托克斯公式,zyyxxzddd SRQPzyxdcoscoscos Syxzzyxd313131 Syxzzyxd11131 Sd)111(31 法二法二1:zyx yxSdd3d xyDyxdd32

8、3 有有斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度xyO111 yxxyD12zxOy解解則則)1,1,1(31 n計算曲線積分計算曲線積分例例 zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223 zyx是平面是平面 其中其中截立方體截立方體:,10 x,10 y10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕,若從若從Ox軸的正向看去軸的正向看去,取逆時針方向取逆時針方向.取取為平面為平面23 zyx的上側被的上側被所圍成的部分所圍成的部分.)1,0,0()0,0,1()0,1,0(Oxy11212123 yx21 yxxyD在在xOy面上的投影為面上的投影為.xyD斯托克

9、斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度1311即即31coscoscos SyxxzzyzyxId313131222222 Szyxd)(34 Sd2334 xyDyxdd332.29 )23(zyx上上在在 yxSdd3d Oxy212123 yx21 yxxyD斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度14kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(1.環流量的定義環流量的定義上上的的曲曲線線積積分分中中某某一一封封閉閉的的有有向向曲曲線線則則沿沿場場 A zRyQxPsdAdddcirculationcurl環流量環流量.二

10、、物理意義二、物理意義-環流環流量與量與旋度旋度設向量場設向量場斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度A稱為向量場 沿曲線按所取方向的15 sAd利用利用Stokes公式公式,zRyQxPddd RQPzyxyxxzzydddddd)d,d,d(d),(zyxsRQPA yPxQxRzPzQyRRQPzyxkji,環流量環流量SRQPzyxkjid 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度dS(d d,d d,d d)y zz xx y16.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiA rot旋度旋度2.旋度的定義旋度的

11、定義).rot(ARQPzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度17.處處的的旋旋度度RQPzyxkjiA rot旋度旋度42322yzyzxxzzyxkji kxyzjxziyxz43)22(224 ),1,2,1(P在在點點解解例例)1,2,1(22423 PkyzjyzxixzA在在求求向向量量場場斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度rot(2,3,8).A 18斯托克斯公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式其中其中的單位法向量為的單位法向量為 的的單單位位切切向向量量為為 S

12、yPxQxRzPzQyRdcos)(cos)(cos)(sRQPd)coscoscos(kjin coscoscos kjit coscoscos 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度19斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 stASnAddrot sASAtndd)rot(或或其中其中 cos)(cos)(cos)(rot)rot(yPxQxRzPzQyRnAAn 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度coscoscostAA tPQR20Stokes公式公式的物理解釋的物理解釋 sAtd的的環環流流量量等等于于沿沿有有向向閉

13、閉曲曲線線向向量量場場 A.所張的曲面的通量所張的曲面的通量的旋度場通過的旋度場通過向量場向量場 A環流量環流量 SdrotA斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度()的正向與 的側符合右手法則旋度為零向量的向量場稱為無旋場旋度為零向量的向量場稱為無旋場或有勢場或保守場或有勢場或保守場.無源且無旋的場稱為調和場無源且無旋的場稱為調和場.21斯托克斯斯托克斯Stokes公式公式斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義環流量環流量與與旋度旋度斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度三、小結三、小結Stokes公式的實質公式的實質 表達了有向

14、曲面上的曲面積分與其表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系邊界曲線上的曲線積分之間的關系.(注意使用的條件注意使用的條件)22 計算計算 其中其中,drot0SnA ),3,2(2zxyA 9222 zyx是球面是球面 (1)用對面積的曲面積分用對面積的曲面積分;(2)用對坐標的曲面積分用對坐標的曲面積分;(3)用高斯公式用高斯公式;(4)用斯托克斯公式用斯托克斯公式.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度的上半部上側的上半部上側,是它的邊界是它的邊界.思考題思考題23 解答解答 232rotzxyzyxkjiA 22222211,1,1yxy

15、xyyxxzzzzzzzz(1)原式原式=Szzyxd1122 yxzzzzyxDyxxydd1112222 xyDyxdd.9 SnAdrot0 ),3,2(2zxyA )1,0,0(斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度0(cos,cos,cos)n24(2)原式原式=yxdd 9dd xyDyx(3)補平面補平面原式原式=.9)dd(xyDyx Sdcos12212211cos:,11cos:yxyxzzzz10dd dvx y 1dd yx斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度SnAdrot0 ),3,2(2zxyA 方向朝下方向

16、朝下,與與構成構成封閉曲面封閉曲面.0:1 z Sdcos1特別注意兩類曲面積分的區特別注意兩類曲面積分的區別別25將將寫成參數方程寫成參數方程:0,sin3,cos3 zyx 原式原式=zzyxxydd3d22原式原式=stASnAddrot sdA(4)邊界曲線邊界曲線:z=0 平面內一圓平面內一圓,922 yx 202022dcos93dsin92.9 斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度),3,2(2zxyA 由由斯托克斯公式斯托克斯公式SnAdrot0 26作作 業業習題習題10-7(18310-7(183頁頁)1.(1)(3)2.(1)(3)3.(1)4.(1)6.斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式 環流量與旋度環流量與旋度