高等數學：12-3 可降階的高階微分方程

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1、1小結小結 思考題思考題 作業作業 )()(xfyn 型的方程型的方程),(yxfy 型的方程型的方程),(yyfy 型的方程型的方程第三節第三節 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第十二章第十二章 微分方程微分方程2)()(xfyn 一、一、型的方程型的方程特點特點是未知函數是未知函數 y 的的n 階導數階導數,且不含未知函數且不含未知函數 y 及其及其.y 兩邊積分兩邊積分 1)1(d)(Cxxfyn 21)2(dd)(CxCxxfyn接連積分接連積分n次次,右端是右端是自變量自變量x的一個已知函數的一個已知函數,導數導數左端左端)()(xfyn 再積分再積分得到含有得到含有n個任意

2、常數的通解個任意常數的通解.1)1(d)(Cxxfyn可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程3例例 求解方程求解方程xeyxcos3 解解 將方程積分三次將方程積分三次,得得xey331 xey391 xey3271 最后得到的就是方程的通解最后得到的就是方程的通解.xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程4二、二、型的方程型的方程),(yxfy 特點特點方程缺方程缺y.解法解法,py 將將p作為新的作為新的則方程變為則方程變為 p這是一個關于變量這是一個關于變量 x,p 的的一階一階微分方程微分方程.如果其通解為如果

3、其通解為),(1Cxpp 則由則由),(1Cxpy 再積分一次再積分一次,21d),(CxCxpy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 設設 xpdd.p 未知函數，未知函數，),(fpx可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程54,100 xxyy例例 解方程解方程 因方程中不含未知函數因方程中不含未知函數y,py 解解令令型型屬屬),(yxfy ,py 代入原方程代入原方程,得得3213xpxp p的可分離變量的一階方程的可分離變量的一階方程xxxppd13d32 13ln)1ln(lnCxp )1(31xCp 由初始條件由初始條件40 xy知知C1=4,所以所以)1(43xy y的分

4、離變量方程的分離變量方程3213xyxy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程6xxyd)1(4d3 244Cxxy 再由初始條件再由初始條件,10 xy知知C2=1故所求故所求解為解為144 xxy4,100 xxyy3213xyxy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程7階方程階方程的的、對于不含有對于不含有nyyyk)1(0),()()(nkyyxF令令.)(kyp 0),()(knppxF求出通解后求出通解后,只須作變換只須作變換,再積分再積分k次次,即可求得原方程的通解即可求得原方程的通解.方程就可化為方程就可化為階方程階方程kn 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程8例

5、例 解方程解方程 .01)4()5(yxy解解 令令,)4(yp 則方程變為則方程變為,01 pxp由分離變量法解得由分離變量法解得.1xCp 于是于是,1)4(xCy 所以原方程的通解為所以原方程的通解為54233251CxCxCxCxCy 積分積分4次次 可分離變量方程可分離變量方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程9 xyydd22ddxyy 特點特點解法解法方程缺自變量方程缺自變量x 三、三、型的方程型的方程),(yyfy 則則xpdd xydd,ddypp 方程變成方程變成 yppdd這是關于變量這是關于變量y,p 的的一階方程一階方程.設它的通解為設它的通解為).,(1Cyp

6、 分離變量并積分分離變量并積分,得通解為得通解為21),(dCxCyy p設設ypdd).,(pyf y p)(yp)(ypx可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程10.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 則則,py 設設代入原方程代入原方程例例型型屬屬),(yyfy yppddyp212 yypppd1d22 可分離變量方程可分離變量方程12lnln)1ln(Cyp yCp121 11 yCp即即1dd1 yCxy可分離變量方程可分離變量方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程111dd1 yCxyxyCyd1d1 21112CxyCC 可降階的高階微分方程可降階

7、的高階微分方程12.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy 則則,py 設設代入原方程代入原方程y0)dd(pypyp即即，由由0dd pypy,1yCp 可得可得xCeCy12 原方程通解為原方程通解為yCxy1dd 例例yppdd 2p,0 型型屬屬),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程13的通解的通解求方程求方程02 yyy 22yyyyyCy1 故故從而通解為從而通解為xCeCy12 或解或解注注有些高階方程也可用類似于有些高階方程也可用類似于“湊全微分湊全微分”的方法求解的方法求解.21y)(ddxyy 0 可分離變量方程可分離變量方程1Cyy 兩端

8、同乘不為零的因子兩端同乘不為零的因子可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程14.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解 將方程寫成將方程寫成0)(dd x故故有有xCyydd1 兩邊積分兩邊積分后得通解后得通解212CxCy 例例yy 1Cyy 可分離變量方程可分離變量方程分離變量分離變量型型屬屬),(yyfy 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程15可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程解解例例 設位于坐標原點的甲艦向位于設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點軸上點 A(1,0)處的乙艦發射制導導彈處的乙艦發射制導導彈,乙艦以最大的速度乙艦以最大的速度v0(v0是常數是常數)沿平行于沿

9、平行于y軸的直線軸的直線目標的跟蹤問題目標的跟蹤問題 導彈頭始終對準乙艦導彈頭始終對準乙艦.如果如果行駛行駛,導彈的速度是導彈的速度是5v0,又問乙艦行駛多遠時又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中它將被導彈擊中?)(xyy )0,1(A),(yxP),1(0tvQ 設導彈的軌跡曲線為設導彈的軌跡曲線為),(xyy 并設經過時間并設經過時間 t,導彈位于點導彈位于點P(x,y),乙艦乙艦位于點位于點 Q(1,v0t)由于導彈頭始終對準乙艦由于導彈頭始終對準乙艦,故此時直線故此時直線PQ就是導彈的軌跡曲線弧就是導彈的軌跡曲線弧OP在點在點P處處(如圖如圖).的切線的切線,即有即有求導彈運行的曲線方程

10、求導彈運行的曲線方程.,10 xytvy Oyx16可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程Oyx)(xyy )0,1(A),(yxP),1(0tvQ,10 xytvy 即即.)1(0yyxtv 如果乙艦以最大的速度如果乙艦以最大的速度v0(v0是常數是常數)沿平行于沿平行于y軸軸的直線行駛的直線行駛,導彈的速度是導彈的速度是5v0,弧弧OP的長度為的長度為|AQ|的的5倍倍,即即.5d1002tvxyx (1)(2)由由(1)式與式與(2)消去消去 v0t 就得就得.d151)1(02xyyyxx 積分方程積分方程(3)17可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程.d151)1(02xyyy

11、xx 積分方程積分方程(3)將將(3)式兩端對式兩端對x求導并整理求導并整理,得得.151)1(2yyx 方程方程(4)轉化為轉化為,py 令令型型屬屬),(yxfy 初值條件初值條件:Oyx)(xyy )0,1(A),(yxP),1(0tvQ.0)0(,0)0(yy(4),151)1(2ppx .)1(5d1d2xxpp 可分離變量可分離變量方程方程分離變量分離變量 的二階微分方程的初值問題的二階微分方程的初值問題.18可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程.)1(5d1d2xxpp 兩邊積分兩邊積分,ln)1ln(51)1ln(2Cxpp 根據初始條件根據初始條件,0)0(p,)1(ln

12、51 xC 即即,)1(1512 xCpp 得得.1 C 得得.)1(1512 xyy 將將(5)式有理化式有理化,得得(5)1251(1).yyx(6)(5)-(6),得得.)1()1(215151 xxy19可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 根據初始條件根據初始條件 得得.245 C.)1()1(215151 xxy.)1(125)1(855654Cxxy ,0)0(y于是有于是有.245)1(125)1(855654 xxy這就是這就是導彈運行的曲線方程導彈運行的曲線方程.又問乙艦行駛多遠時又問乙艦行駛多遠時,它將被導彈擊中它將被導彈擊中?Oyx)(xyy )0,1(A),(yx

13、P),1(0tvQ 得得,1時時當當 x即當即當乙艦航行到點乙艦航行到點 245,1處時處時被導彈擊中被導彈擊中.,245 y202002年考研數學一年考研數學一,3分分02 yyy微分方程微分方程滿足條件滿足條件,10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分離變量方程可分離變量方程,10 xy由由210 xy211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C12 xy可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程21012 yy求微分方程求微分方程的積分曲線的積分曲線,2000級北方交大考題級北方交大考題,計算計算(8分分

14、)使該使該積分曲線過點積分曲線過點,21,0 且在該點的切線斜率為且在該點的切線斜率為2.解解方程方程012 yy型型屬屬),(yyfy ,ddyppy 則則,py 設設代入方程代入方程,得得1dd2 yppy1212Cyp 01 Cyxy2dd 223232Cxy 2322132 C所求積分曲線為所求積分曲線為232321223 xy可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程22 四、小結四、小結解法解法:通過代換將其化成較低階的方程來求解通過代換將其化成較低階的方程來求解.三種類型的可降階的高階微分方程三種類型的可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程23 思考題思考題1

15、996年考研數學一年考研數學一,7分分處處上上點點過過曲曲線線對對)(,()(,0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1軸上的截距等于軸上的截距等于的切線在的切線在.)(的的一一般般表表達達式式求求xf解解)()(xXxfxfY ,0 X令令軸軸上上的的截截距距得得切切線線在在y)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 積分方程積分方程過曲線過曲線 y=f(x)上點上點(x,f(x)處的切線方程為處的切線方程為可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程24處處上上點點過過曲曲線線對對)(,()(,0 xfxxfyx .)(的一般表達式的一般表達式求求x

16、f積分方程積分方程兩邊對兩邊對x求導求導,即即0)()(xfxfx型型可可降降階階的的方方程程屬屬于于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式,得得0)()(xpxpx可分離變量方程可分離變量方程可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程01()d,xyf ttx的切線在 軸上的截距等于0()d()()xf ttx f xxfx2521ln)(CxCxf 0)()(xpxpx可分離變量方程可分離變量方程分離變量并積分分離變量并積分xxppd1d1 得得xCCxp11lnlnlnln ,1xCp 即即,)(1xCxf 即即再積分再積分,得得 ,dd)(1xxCxxf即為所求即為所求.可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程26作作 業業習題習題12-6(29212-6(292頁）頁）1.(2)(3)(6)2.(2)(3)(6)3.可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程