復習-一秩二滿秩陣三解方程組課件

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1、復習復習一、秩一、秩二、滿秩陣二、滿秩陣三、解方程組三、解方程組異異奇奇非非逆逆可可滿滿秩秩AAAEAnARA 0)(線性方程組有解線性方程組有解)()(BRAR r=n 唯一解唯一解(齊次齊次唯一零解唯一零解)r n 無窮多解無窮多解(齊次齊次非零解非零解)求出解求出解 行最簡形行最簡形 判別有解否判別有解否階梯形階梯形 B1.解的判定解的判定2.求解求解 的階數的階數最高解非零最高解非零子式子式初等變換不改變矩陣的秩初等變換不改變矩陣的秩求秩求秩化為梯形陣化為梯形陣四、初等陣四、初等陣.有有唯唯一一零零解解對對應應的的齊齊次次線線性性方方程程組組 333231232221131211aaa

2、aaaaaaA 100001010 AE)2,1(333231131211232221aaaaaaaaa 100001010)2,1(333231232221131211aaaaaaaaaAE 333132232122131112aaaaaaaaanmmmnmAETAT )()(行行行行)()(nnnmnmETAAT 列列列列4 初等矩陣初等矩陣單位陣交換單位陣交換1、2兩行兩行 333231232221131211100001010aaaaaaaaa)2,1(E交換交換1、2 兩行兩行將初等變換用矩陣的乘法表示出來將初等變換用矩陣的乘法表示出來意義意義定義定義3 對單位陣進行一次初等變換后得

3、到的矩陣為對單位陣進行一次初等變換后得到的矩陣為初等矩陣初等矩陣。101101),(jiE三種初等行變換得到的三種初等矩陣分別：三種初等行變換得到的三種初等矩陣分別：1、對調兩行或兩列、對調兩行或兩列 E(i,j)mnjnmjinniaaaaaaaa111111A 對調對調 i、j 兩行兩行一、概念一、概念2、以數以數 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)i jnaa111jnjaa1iniaa1nnnaa1 11)(kkiE mnmiinniaaaaaa1111A mnmiinniaakaakaa1111以數以數 k 乘第乘第 i 行行2、以數以數 k 乘某行或列乘某行或列 E(i(k)3

4、、某行或列的某行或列的k 倍加到另一行或列上去倍加到另一行或列上去 E(i j(k)1111)(kkjiE mnmjnjininaaaaaaaa111111A mnmijninnjiaakaaakaaa11111對單位陣作一次列變換所得矩陣對單位陣作一次列變換所得矩陣就包括在上面的三類矩陣之中就包括在上面的三類矩陣之中初等初等變換變換 初等初等矩陣矩陣i),(),(jiEjiET 二、初等矩陣的性質二、初等矩陣的性質)()(kiEkiET)()(kjiEkijET(1)初等矩陣的轉置仍為同類型的初等矩陣初等矩陣的轉置仍為同類型的初等矩陣1),(jiEkkiE)(1)(,(kjiE(2)初等矩陣

5、都是可逆的且逆陣仍為同類型的初等矩陣初等矩陣都是可逆的且逆陣仍為同類型的初等矩陣定理定理4 對對 實施一次初等行實施一次初等行(列列)變換變換,相當于在相當于在 A 的左的左(右右)邊乘相應的邊乘相應的 m(n)階初等矩陣；階初等矩陣；nmA),(),(1ijEjiE )1()(1kiEkiE )()(1kjiEkj iE 行變換行變換 左乘初等矩陣左乘初等矩陣;列變換列變換 右乘初等矩陣右乘初等矩陣 41311221222832 101010001 1000012000100001 69031221222832 1000012000100001 6918312216228192E(3,1(1

6、)E(2,3(-2)例例1例例2 333231232221131211aaaaaaaaaA 133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB 1000010101P 1010100012PBAPPdBAPPcBPPAbBPPAa 12211221)()()()(011110001A 01011000113rr 11001000132rr 10001000123rrE 1010100011Q可以驗證可以驗證 0101000012Q 1100100013Q?1 AEAQQQ 123例例3 求矩陣的標準形并用初等矩陣表示初等變換。求矩陣的標準形并用初等矩陣表示初等變換。A

7、可逆可逆131211 QQQA321PPP 定理定理5llPPPAPPPA2121,，有有限限個個初初等等陣陣可可逆逆證證即即 E 經有限次初等變換可變為經有限次初等變換可變為 AlPPPA21 有有相相同同的的標標準準型型與與BABOAOPPOOPPtsts 1111,)()(BrAr 可可經經初初等等變變換換互互得得與與BABABPAOOnPm ,階階可可逆逆陣陣和和階階可可逆逆陣陣推論推論5個個?lPPAEAnARAAAA1)(0 滿滿秩秩非非奇奇異異可可逆逆APEPPPPPPlmml 1121,有有限限個個初初等等陣陣,EA由由條條件件知知自證自證lPPPAA21 可可逆逆等價矩陣的等

8、價矩陣的等式等式表達式表達式例例4).(,301020201,2)(34ABRBAR求求設設 ,3)(BR滿滿秩秩，故故B2)()(ARABR若若P、Q 為滿秩陣，則為滿秩陣，則 =R(AQ)=R(PAQ)R(A)R(PA)01046 B推論推論=P1 PS=三、用初等變換求逆陣三、用初等變換求逆陣11121 PPPlE E求逆陣的方法三求逆陣的方法三EAQQQm 21121 AEQQQm)()(1 AEEA行行變變換換逆陣的求法逆陣的求法用伴隨陣求用伴隨陣求用定義求用定義求用初等變換求用初等變換求1),(,ABEBAEABB則則或或 1 AEEA 1AEEA121)(lPPP121)(lPP

9、P11121 PPPl11121 PPPllPPPA21 1AmQQQ21mQQQ21 A 可逆，且可逆，且 343122321A?1 A解解 100010001343122321)(EA 103012001620520321 111012001100520321 111563231100020001 111253232311000100011 A例例4(P.90例例8)可可逆逆。ABXA,.2 BAXI1 解解法法EAPPPs 21 )()(XEBA行變換行變換（初等變換法）（初等變換法）解法解法IIsPPPA211 設設1 BAXI解解法法（初初等等變變換換法法）解解法法IIsPPPA21

10、1 設設XPPPBs 21EPPPAs 21 XEBA列變換列變換 XBPPPs 21P.91 例例9.,.1XBAXA求求可可逆逆設設 逆陣的應用逆陣的應用求解矩陣方程求解矩陣方程即即 將將 A 變成變成 E 的初等變換的初等變換就是將就是將 B 變為變為 X 的初等變換的初等變換可可逆逆。CABAXC,.3 11:BCAXI解解法法)(:初等變換法初等變換法解法解法II BAEBABAXC11:1 BCAX 1:BCEBC XEBCA 1 XEBAC1求解矩陣方程時求解矩陣方程時,一定要一定要先整理化簡先整理化簡,再求解再求解.例例2.,2XXAEAXA求求且且已已知知 解解)(2EAEA

11、EAXAX 原式原式),)()(EAEAXEA .,EAXEA 則則可逆可逆只要只要1 n 維向量及其線性運算維向量及其線性運算一、一、n 維向量的概念維向量的概念 定義定義1組組成成的的有有序序數數組組稱稱為為由由數數naa,1等等表表示示。字字母母字字母母列列向向量量通通常常用用黑黑體體小小寫寫,ba),(nTaaa21 行向量行向量 實數實數ia第第 i 個分量個分量 n 維向量維向量，簡稱簡稱向量向量。naaa21 列列向向量量第四章第四章 n 維向量維向量實向量實向量O=(0,0,0),(21naaa .,nibaii21維維數數相相同同，即即同同型型。零向量零向量負向量負向量(-1

12、,0,)三維向量三維向量)(3RrRT zyx,zyx,nxxx,21nxxx,21)(RrRTn dczbyax )(Tr zyx,bxaxann 11)(Tr nxxx,21三維向量空間三維向量空間n 維向量空間維向量空間 中的平面中的平面3R 中中n 1 維維超平面超平面nRie第第i 個坐標是個坐標是1其余均為零其余均為零單位向量組單位向量組),(nTaaa21 設向量設向量),(nTbbb21 1.加法加法(減法減法):),(2211nnTTbababa 2.數乘數乘:),(nTkakakak21 線性運算線性運算滿足運算規律滿足運算規律?同于矩陣的相應運算同于矩陣的相應運算 21k

13、k nnbbkaak1211 nnbkakbkak211211二二、n 維向量的線性運算維向量的線性運算一、線性表示一、線性表示1、向量組向量組由若干個同維數的列由若干個同維數的列(行行)向量構成的集合向量構成的集合nmijaA )(n 個個m 維列向量維列向量m 個個 n 維行向量維行向量n ,21矩陣矩陣A的列向量組的列向量組矩陣矩陣A的行向量組的行向量組AaaaTmTT 21),(iniiaaa21 Tia),(mi21 mjjjaaa21 j),(nj21 A)(2 向量組的線性相關性向量組的線性相關性BbA)(bxA(I)有解有解 ,nxxx21 mnmnmmnnnnbxaxaxab

14、xaxaxabxaxaxa22112222212111212111(I)均構成一一對應均構成一一對應向量組向量組 A:的一個線性組合的一個線性組合naaa,21 組合系數組合系數baaan 21nxxx21ie),(ni21 線性組合。線性組合。的的是是向向量量或或稱稱向向量量m ,21m ,21可可由由向向量量則則稱稱向向量量線性表示線性表示(出出)。12三個向量？三個向量？共面共面四個四個)(naaa,21m 21mkkk21使使，若若存存在在一一組組數數設設向向量量m ,21mkkk,，21naaa21neee 21定義定義12、線性表示、線性表示k11 k22有有解解線線性性方方程程組

15、組bm 21mkkk21線線性性表表示示可可由由向向量量向向量量mb ,21向量向量 b 可由向量組可由向量組 A 線性表示線性表示)(bAB ),(21maaaA 其其中中例例1),1,4,4,5(),9,0,4,1(),5,2,4,3(),2,1,0,1(321 TTTT 已已知知如如能能請請寫寫出出其其表表達達式式。線線性性表表出出能能否否由由試試問問?,321 解法解法I332211 xxx 設設 195242444533212132321xxxxxxxxxx即即 1445952021440131 0012000000110201 txtxtx321122)(,)1()22(321Rt

16、ttt 則則無窮多種表達式無窮多種表達式由向量組的線性表示與方程組的關系知由向量組的線性表示與方程組的關系知 R(A)=R(B)定理定理1TTTT 3211445904152432101 TTTTTTT131211531114011140111402101 TTTTTTTTT2132121122300000000111402101 O 212 32102 )(,)1()22(321Rtttt 則則矩陣的初等矩陣的初等(行行)變換變換 向量的線性運算向量的線性運算Ottt 3212 方程間的線性運算方程間的線性運算一個向量可由其他向量線性表示一個向量可由其他向量線性表示這個方程是其他方程的線性組

17、合這個方程是其他方程的線性組合多余方程多余方程解法解法II定義定義3設有兩個設有兩個 n 維向量組維向量組s21r21,:)(,:)(III 若向量組（若向量組（I）中每個向量都可由向量組（）中每個向量都可由向量組（II）線性表示，）線性表示，則稱向量組（則稱向量組（I）可由向量組（）可由向量組（II）線性表示線性表示；若向量組（若向量組（I）與向量組（）與向量組（II）可以互相線性表示，則稱向）可以互相線性表示，則稱向量組（量組（I）與向量組（）與向量組（II）等價等價。向量組的等價關系具有向量組的等價關系具有:自反性、對稱性、傳遞性自反性、對稱性、傳遞性向量組向量組 A與與B 等價等價 方程組方程組 AX=O 與與 BX=O 同解同解3 向量組的等價向量組的等價可由可由n21,eee線線性性表表示示，n21,等等價價。與與證證明明可可以以線線性性表表示示維維向向量量組組設設nnnneeeeeen,.,21212121 證證線線性性表表示示，顯顯然然可可由由n21n21,eee 又又由由題題設設等等價價。與與n21n21,eee 例例2