大學積分變換之矢量分析

《大學積分變換之矢量分析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《大學積分變換之矢量分析（33頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、工程數學矢量分析與場論(第第3版版)主要內容主要內容 重點闡述梯度、散度、旋度三個重要概念及其在不同重點闡述梯度、散度、旋度三個重要概念及其在不同坐標系中的運算公式，它們三者之間的關系。其中包坐標系中的運算公式，它們三者之間的關系。其中包括兩個重要定理：即括兩個重要定理：即 Gauss theorem 和和 Stokes theorem以及運算的重要公式。以及運算的重要公式。1.矢性函數的運算規則矢性函數的運算規則2.矢性函數及性質（極限、連續、導數、微分、積分）矢性函數及性質（極限、連續、導數、微分、積分）3.場論（梯度、散度、旋度）場論（梯度、散度、旋度）第一章 矢量分析 矢性函數矢性函數

2、1.2 1.2 矢性函數的導數與微分矢性函數的導數與微分1.3 1.3 矢性函數的積分矢性函數的積分 矢性函數矢性函數1.標量與矢量標量與矢量一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標量標量（Scalar），），例如，例如，電壓、溫度、時間、質量、電荷等。電壓、溫度、時間、質量、電荷等。實際上，實際上，所有實所有實數都是標量。數都是標量。一個有大小和方向的物理量稱為一個有大小和方向的物理量稱為矢量矢量(Vector)，電場、磁場、電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。力、速度、力矩等都是矢量。一個大小為零的矢量稱為一個大小為零的矢量稱為空矢空矢（Null V

3、ector）或）或零矢零矢（Zero Vector），一個大小為），一個大小為1的矢量稱為的矢量稱為單位矢量單位矢量（Unit Vector）。）。在直角坐標系中，用單位矢量在直角坐標系中，用單位矢量i、j、k表征矢量分別沿表征矢量分別沿x、y、z軸分量的方向。軸分量的方向。矢量：矢量：模的計算模的計算：222|xyzAAAA單位矢量單位矢量：方向角與方向余弦方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxzoyxAxAyAzA(1)矢量的定義矢量的定義kAjAiAzyxAkjikAAjAAiAAAzyxcoscoscos0(2)矢量的代數運算法則矢量的代數運算法則矢量的和或

4、差矢量的和或差:（Vector addition or subtraction）kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(a.a.標量積（點積）標量積（點積）|cosA BABBA有兩矢量點積：結論:兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。)()(zzyyxxzzyyxxeBeBeBeAeAeABAzzyyxxBABABA 交換律：交換律：ABBA 分配律：分配律：CABACBA)(與數量點積：與數量點積：)()(BAkBAk 特殊的點積：特殊的點積：同向、反向、正交同向、反向、正交矢量的相乘：矢量的相乘：ABACB 大?。捍笮。悍较颍悍较颍篊ABACBA)(與數量叉積：與數量叉積：)()(BA

5、kBAk 特殊的叉積：特殊的叉積：平行：平行：),sin(|BAABCC右手定則右手定則分配律：分配律：正交：正交：0BAABBA|b.b.矢量積（叉積）矢量積（叉積）)(ABBA 不服從交換律：不服從交換律：在直角坐標系中：在直角坐標系中：xyzzyeBABA)(yzxxzeBABA)(zxyyxeBABA)(zyxzyxzyxBBBAAAeeeBAc.c.三重積三重積 三個矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標量與矢量相乘。()ABC標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。標量三重積標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：|sincosA B CA B C()ABC含義

6、：標量三重積結果為三矢量構成的平行六面體的體積。ABChB C 注意：先后輪換次序。在直角坐標系中：矢量三重積矢量三重積()()()ABCA C BA B C()()()VAB CCABBCAABChB CzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxCCCBBBAAACCCBBBeeeeAeAeACBA)()(2.矢性函數的概念矢性函數的概念定義定義 設有數性變量設有數性變量t和變矢和變矢A，如果對于，如果對于t，在某個范圍，在某個范圍G內的每一個數值，內的每一個數值，A都以一個確定的矢量和它對應，則都以一個確定的矢量和它對應，則稱稱A為數性變量為數性變量t的矢性函數，記作的矢性函數，記作

7、 A=A(t)并稱并稱G為矢性函數為矢性函數A的定義域。的定義域。在直角坐標系中，用矢量的坐標表示法，矢函數可寫成在直角坐標系中，用矢量的坐標表示法，矢函數可寫成 ktAjtAitAtAzyx)()()()(即在空間直角坐標系下，一個矢函數相當于三個數性函數。即在空間直角坐標系下，一個矢函數相當于三個數性函數。3.矢端曲線矢端曲線本章所講的矢量均指自由矢量，所以，以后總可以把本章所講的矢量均指自由矢量，所以，以后總可以把A(t)的的起點取在坐標原點。這樣當起點取在坐標原點。這樣當t變化時，變化時，A(t)的終點的終點M就描繪出就描繪出一條曲線一條曲線l，稱為矢函數，稱為矢函數A(t)的矢端曲線

8、，也稱為矢函數的矢端曲線，也稱為矢函數A的的圖形。同時稱（）式或（）式為此曲線的矢量方程。原點也圖形。同時稱（）式或（）式為此曲線的矢量方程。原點也稱為矢端曲線的稱為矢端曲線的極極。由于終點為由于終點為M(x,y,z)的矢量的矢量OM對于原點對于原點O的的矢徑矢徑為為 kzj yi xOMr)(),(),(tAztAytAxzyx當把當把A的起點取在坐標原點時，的起點取在坐標原點時，A實際上就成為其終點的矢徑實際上就成為其終點的矢徑 xyzolM)(tA4.矢性函數的極限和連續性矢性函數的極限和連續性極限的定義極限的定義 設矢函數設矢函數A(t)在點在點t0的某個鄰域內有定義（但的某個鄰域內有

9、定義（但在在t0處可以無定義），處可以無定義），A0為一常矢。若對于任意給定的正數為一常矢。若對于任意給定的正數，都存在一個正數，都存在一個正數，使當，使當t 滿足滿足就有就有00tt0)(AtA成立，則稱成立，則稱A0為為A(t)當當 時的極限，記作時的極限，記作 0tt 0)(lim0AtAtt極限運算法則：極限運算法則：若設若設ktAjtAitAtAzyx)()()()(則有則有ktAjtAitAtAzttyttxtttt)(lim)(lim)(lim)(lim0000即求一個矢函數的極限可以歸結為求三個數性函數的極限。即求一個矢函數的極限可以歸結為求三個數性函數的極限。連續性的定義連續

10、性的定義 若矢函數若矢函數A(t)在點在點t0的某個鄰域內有定義，的某個鄰域內有定義，且有且有)()(lim00tAtAtt則稱則稱A(t)在在 t=t0 處連續。處連續。矢函數矢函數A(t)在在t0 處連續的充分必要條件是它的三個處連續的充分必要條件是它的三個坐標函數坐標函數Ax(t)，Ay(t)，Az(t)都在都在t0處連續。處連續。若矢函數若矢函數A(t)在某個區間內的每一點處都連續，則在某個區間內的每一點處都連續，則稱函數稱函數A(t)在該區間內連續在該區間內連續?；蚍Q?；蚍QA(t)是該區間內的連是該區間內的連續函數。續函數。一個矢性函數的極限、連續、導數、微分、積分，用三個有序一個矢

11、性函數的極限、連續、導數、微分、積分，用三個有序數性函數的極限、連續、導數、微分、積分來描述（或表示）。數性函數的極限、連續、導數、微分、積分來描述（或表示）。ktAjtAitAtAzyx)()()()(矢性函數的導數與微分矢性函數的導數與微分1.矢性函數的導數矢性函數的導數(導矢導矢)若若且函數且函數A x(t)，A y(t)，A z(t)在點在點t可導，則有可導，則有 kdtdAjdtdAidtdAkttAjttAittAttAdttAdzyxztytxtt)(lim)(lim)(lim)(lim)(0000ktAjtAitAtAzyx)()()()(即即矢函數的導數計算轉化為三個數性函數

12、的導數計算矢函數的導數計算轉化為三個數性函數的導數計算。例例 已知已知r(t)=etcost i+etsint j+et k，求導矢，求導矢r(t)。解解 kejtteittekejteitetrtttttt)cos(sin)sin(cos)()sin()cos()(證明證明)(cossin)(sin)(cos)(1ejijie)(sincos)(cos)sin()(1eiijie例例 設設 jiejiecossin)(,sincos)(1證明證明 e()=e1(),e1()=-e()，及，及e()e1()xyo)(e)(1e0cossin)sin(cos)()(1ee)()(1ee所以所以

13、容易看出，容易看出，e()為一單位矢量，故其矢端曲線為一單位為一單位矢量，故其矢端曲線為一單位圓，因此又叫圓，因此又叫e()圓函數圓函數；與之相伴出現的；與之相伴出現的e1()亦為亦為單位矢量，其矢端曲線亦為單位圓。單位矢量，其矢端曲線亦為單位圓。2.導矢的幾何意義導矢的幾何意義xyzolM)(tA)(tA導矢在幾何上為一矢端曲線的導矢在幾何上為一矢端曲線的切向矢量切向矢量，指向對應，指向對應t值增大的一值增大的一方。方。矢性函數的導數公式矢性函數的導數公式設矢函數設矢函數A(t),B(t)及數性函數及數性函數u(t)在在t的某范圍內可導，則的某范圍內可導，則()d A BdBdAABdtdt

14、dt()d A BdBdAABdtdtdt)(0)1(為常矢CCdtddtBddtAdBAdtd)(2）（為常數）（）（kdtAdkAkdtd)(3dtAduAdtduAudtd)(4）（dtduduAddtAd（5）（6）（7）復合函數求導：A=A(u),u=u(t)3.矢性函數的微分矢性函數的微分kdttAjdttAidttAdttAAdzyx)()()()(kdAjdAidAAdzyx或或 例例 設設r()=acosi+bsinj,求求dr及及 dr 。解解 djbiajdbidajbdiadrd)cossin(cossin)sin()cos(|cossin)cos()sin(|2222

15、22dbadbdardxyzolM)(tA)(tA)0(dtAd)0(dtAd曲線的弧微分曲線的弧微分0ds0dsxyzolM)(tAM0如果矢函數如果矢函數A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k看作其終點看作其終點M(x,y,z)的矢徑函數的矢徑函數kzj yi xr這里，這里，)(),(),(tAztAytAxzyxkdzjdyidxrd其模為其模為222)()()(dzdydxrd另一方面，若在有向曲線另一方面，若在有向曲線l上，取定一點上，取定一點M0作為計算弧長作為計算弧長s的的起點，并以起點，并以l之正向作為之正向作為s增大的方向，則在增大的方向，則在l上任一點上任一點

16、M處，處，弧長的微分是弧長的微分是222)()()(dzdydxds|dsrddr/ds的幾何意義的幾何意義|dsdsrddsdsrdrd有有1rdsddsrd矢函數對（其矢端曲線）弧長矢函數對（其矢端曲線）弧長 s的導數的導數 在幾何上為一在幾何上為一切向單位矢量切向單位矢量，恒指向，恒指向s增大的一方。增大的一方。由由dsrd曲線的切向單位矢量曲線的切向單位矢量dtrddtrddtdsdtrddsrd例例 求圓柱螺旋線求圓柱螺旋線 的切向單位矢量的切向單位矢量。ktjti tr4sin3cos3解解 kjti tr4cos3sin354)cos3()sin3(222ttrkjti trr5

17、4cos53sin53例例 導矢的物理意義。設質點導矢的物理意義。設質點M在空間運動，其矢徑函數在空間運動，其矢徑函數r=r(t)。vdtdsdsrddtrdxyzolM)(trM0svdtrdv即速度矢量22dtrddtvdw加速度矢量v 矢性函數的積分矢性函數的積分1.矢性函數的不定積分矢性函數的不定積分dttAkdttAjdttAidttAzyx)()()()(CtBdttA)()(其中其中C為任意常矢。為任意常矢。矢函數的不定積分計算轉化為求三個數性函數的不定積分矢函數的不定積分計算轉化為求三個數性函數的不定積分。具有與數性函數不定積分類似的性質。具有與數性函數不定積分類似的性質。Ce

18、Cueduuede)1()()()1(22112例例 計算計算 de)1(22解解 用換元法，令用換元法，令u=2+1，則，則例例 若質點運動的方程是若質點運動的方程是r=r(t)，當質點運動的加速度為，當質點運動的加速度為i(6cost)+j(4sint)+ke-t，求，求r(t)與速度與速度v(t)，其中，其中r(0)=0。dtrdv加速度為加速度為 22dtrddtvdw解解)()cos4()sin6()sin4(cos6321cekctjctidtektdtjtdtidtwvtt質點速度為質點速度為例例 計算積分計算積分 deA)()(解解 用分部積分法用分部積分法Ceedeeedde

19、A)()()()()()()(1111由于由于v(0)=0，因而，因而c1=0,c2=4,c3=1，即，即)1()4cos4()sin6(tektjtiv)()4sin4()cos6()1()4cos4(sin6321ktekkttjktidtekdttjtdtidtvrtt由于由于r(0)=0，因而，因而k1=6,k2=0,k3=-1，于是，于是)1()4sin4()6cos6()(tekttjtitrt2.矢性函數的定積分矢性函數的定積分21212121)()()()(TTzTTyTTxTTdttAkdttAjdttAidttA)()()(1221TBTBdttATT矢函數的定積分計算轉化

20、為求三個數性函數的定積分。矢函數的定積分計算轉化為求三個數性函數的定積分。具有與數性函數定積分類似的性質。具有與數性函數定積分類似的性質。例例 設設 tktjeitAtsin)4()(10)(dttA求求 解解 kjietktjeitdtktdtjdteidttAtt)1cos1(2)1(cos2sin4)(101021010101010直角直角(x,y,z)zxyz=z 0 x=x 0y=y 0P0zexeyeO正交坐標系正交坐標系 zyyyxxeAeAeAA圓柱圓柱(,z)yzxP0 0 =0=0z=z 0ezeeOzzeAeAeAAzzyx,sin,cos002z 1000cossin0sincoszeeekji例例 設設 kxyjxziyzA2求其柱坐標表達式。求其柱坐標表達式。解解 zzyx,sin,cos柱坐標系中柱坐標系中zekeejeei,cossin,sincoszeezezkjzizA2sin2cos2sinsincos2cossin2eAeAeArrA球球(r,)xzy=00 0r=r 0 =0ereeP0Ocos,sinsin,cossinrzrxrx0002r 作業作業1.1-4、6、9