淺談有關概率論的幾個有趣的隨機偶然問題

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淺談有關概率論的幾個有趣的 隨機偶然問題 摘 要 概率論是數學中的一門基礎學科，不僅可以研究古老難題，解決應試的需求，更廣泛應用于現實生活中的各個方面。尤其在解決帶有偶然性的問題時，其獨特的思維方法使得問題淺顯易懂，從而變的簡單易解?，F實生活中那些趣味性的隨機問題更離不開概率論的思想。 關鍵詞 概率論 偶然性 趣味性 隨機 On on is a in be to in in in of 002年 8月在北京舉行國際數學家大會（ 間，陳省身大師為兒童題詞，寫下了“數學好玩” 4個大字。也許這會讓很多學生不解，數學如何好玩？更有 學生會坦言在所有學科里面最讓人頭疼的就是數學，它怎么可能會好玩？陳省身先生之所以說它好玩是因為他是數學大師，他樂于其中。然而我們這種出于對應試需求的一種學習當然會認為它枯燥、難理解等等。其實不然，陳省身大師在他十幾歲的時候就覺得數學好玩，他是因為覺得好玩才專研其中，并不是因為專研其中才覺得數學好玩的。這就如同世間上的很多事情，只有感受體驗才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白寫到“但得此中味，勿為醒著傳”，不體會是不能理解詩人所傳達的意境與樂趣的。 概率論是 研究隨機現象的數量規律學科。 17、 18世紀，數學獲得 了巨大的進步。數學家們沖破了古希臘的演繹框架，向自然界和社會生活的多方面汲取靈感，至此 數學領域 里 出現了眾多嶄新的生長點 。 概率論就是這一時期 使歐幾里得幾何相形見絀 的若干重大成就之一。 早在 16世紀，意大利學者卡丹與塔塔里亞等人就 已經開始 從數學角度研究賭博問題。他們的研究 不僅包含 賭博還 涉及到 當時的人口、保險業等，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明 確，于是很快被人淡忘了。 真正的概率論的歷史開始于 17世紀中葉，最初概率論是起源于對賭博問題的研究。據說， 1654年左右愛好賭博的法國人梅雷（ 610信向帕斯卡（ 623教。兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 s 局就算贏，現在一個人贏了 a（ as）局另外一個人贏了 b 局（ bs） ,如果賭博提前中斷，改如何在兩賭徒間分配賭金？于是帕斯卡和費馬（ 601通信中討論了“點數問題”，“骰子問題”等問題。他們把一些日常賭博問題變成了真正的數學問題，用排列組合理論得出正確答案，并提出數學期望這一核心概念。他們也被大家公認為是概率論的創立者。 數學的有趣性體現于此， 它能把生活中的問題轉化為數學問題，用數學的思想與方法解決。與上述案例大致相同的一例有關概率論的賭博游戲就是著名的兩個吸收壁的隨機游戲問題，也叫做賭徒輸光問題。原題如下： 設袋中有 、乙兩賭徒分別有 們不知道袋中哪種球多。他們約定：每次有放回從袋中摸一個球，如果摸到白球甲給乙 11元，如果摸到黑球，乙給甲 1元，知道兩個人有一個人輸光為止。求甲輸光的概率。由題知，甲贏 1元的概率為，輸 1元的概率為 1 ，設 甲的賭金， = 或0:，即表示最終摸球次數。如果 0: （為空集），則令 =。 設 A=“第一局（次）甲贏”，則 P(A)=p， )( ，且在第一局甲贏的條件下（因為甲有 n+1元）甲最終輸光的概率為1第 1局甲輸的條件下甲最終輸光的概率為1全概率公式，得齊次一元二階常系數差分方程與界條件 11 ) 0,10 ) 解具有邊界條件（ 2）的差分方程（ 1）有兩種方法，其 解分別介紹如下。 解法一： 令 ，由（ 1）得關于 的代數方程 2)( （ 3） （）當 )( 即 時 ，方程（ 3）有兩個解 21 ,1 ，故方程（ 1）有兩個特解： 1與（從而方程（ 1）通解為 nn (21 由邊界條件（ 2）得 11,1)(21故得 111 ( ) 當 p=程（ 3）有兩個相等的解 121 ，故方程（ 1）有通解1 ，再由邊界條件（ 2）得 1,1 21從而得 mn 1綜合（）與（）得 ,)(1)(11（ 4） 解法二： （）當 時，由方程（ 1）得 11 （遞推） = .)(212 nn = 1101 （ 5） 又因 10 101 = 1111 1101 所以1111 ，從而由（ 5）得 111 （遞推） = 10011 =111 （）當 時，由方程（ 1）得 110111 推） 又因 101111 = 11 所以， 111，從而 111 11 推） =mn n 10從而，亦得（ 4）。 這樣我們就圓滿的算出了所要求的量，而且每個步驟都是非常的清晰，使人一看就很明了， 我們在此題中也是充分的運用了概率論的知識。這樣的題目現在已經從大學的課本中“下放”到高中的知識，相信還是會有同學不覺得概率論有趣，不過下面這一例問題相信會改變一些同學會概率論的看法 蒲豐（ 針問題，題目如下： 平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都是 a。向此平面隨意投一長度為l(la)的針，試求此針與任一平行線相交的概率。 剛看到此題的時候如果不是要求所求的答案為概率是不是很難想象的到它能和概率論結合在一起？甚至根本不會聯系到概率呢？這就是概率的有趣之處，隨后我們將詳細的展現它的有趣。 解 ：以 表示針與平行線的交角，針與平行線的位置關系見圖 圖 1多對數學有偏見甚至討厭數學的人依然會說這不還是計算題嗎？不還是一樣的數學死模版：分析 假設 大膽求證 得出正確的結果，還是數學的那一套模式也逃不出數學求解的框框，最終還是那么的討厭。也許像這樣出現數字，明顯一看就是算數的題目不會引起對數學反感之人的興趣，那么也就無從談起概率論的有趣 ?？墒侨绻怕收摵图t樓夢“扯”上關系，是不是從文學的方面能說明概率論的有趣，也能引起對數字反感之人的興趣？ a M x 眾所周知紅樓夢的問世過程比較復雜，一經流傳就受到極大地關注?！凹t學”的影響很深，至今仍有很多的學者為之陶醉，沉迷于研究不曾自拔。要說這紅樓夢的內容，在各類小說橫行的今天看來已經沒有太多的新穎，可是為什么大家還是那么的熱衷它，還是那么的廢寢忘食研究？因為紅樓夢不但只是我國的四大名著之一，它里面所暗含的內容已經遠遠超出人們的想象，甚至敢于說出那個年代人們忌諱的話語。 霍國玲女士曾經提出紅 樓夢中有暗喜雍正歸天之意，在“紅學”界，認為有暗罵雍正的看法。其實在此之前已經有多種版本的論說，在此我們只論霍國玲女士提出的罵雍正的一條具體例證，并用概率統計的思想方法加以討論，認為可信概率很大，也就是說很可能就是曹雪芹自己的意思。 相信讀過紅樓夢的人對曹氏家族與兩個黃帝之間的關系都非常的了解，就現代的思想來看曹雪芹罵雍正正是絕對有動機的，這一點毋庸置疑?？墒窍氡卮蠹叶记宄?，在清朝中期“文字獄”就像一個魔鬼一樣住在每個文人的心中，稍加不注意的文人就會被捕風捉影的人按上“藐視朝廷”、“輕視皇上”諸如此類的罪過，輕則打入地牢重則殺頭甚至滿門抄斬。試想一下在這樣的壞境下又怎么可能容得下罵皇上？可曹雪芹卻在小說紅樓夢中多次暗罵皇上。其中暗喜雍正歸天就是顯著地一例?？梢院唵蔚母爬椋?八月二十三日 =雍正死亡日 =曹雪芹歡欣鼓舞之日 就當時的情形而言，曹雪芹肯定不能明目張膽的表達出自己的歡喜之情，那么他用了怎樣的手法呢？若寫的顯而易見，便有滅頂之災；若忽略則難以表達曹家的怨恨，于是使用了多種隱蔽的技巧，下面我們便對大家一一的詳解。 史書記載，雍正的死亡之日是 8月 22日深夜與 8月 23日凌晨 之間，這一年曹雪芹 21歲，他必會記住這個日期，又因為有抄家的怨恨內心歡喜是必然的。在紅樓夢的前 80回中，多記載的是貴族的生活場景，尤以 3741回將鮮花著錦之盛，歡樂無限之態，推向了頂峰。只要看了第 40回中貴婦人、貴公子和貴小姐們的歡笑場面便會有具體的感受。曹雪芹誓要將此無比歡騰的場面呈現在雍正忌日這一天，可是曹雪芹知道自己不能如實地寫出 8月 23日小說中任務的歡呼雀躍，那么這一愿望如何實現呢？不得不說曹雪芹確實有很高超的文學技巧與筆法。 在地 37回的開端處，有這樣兩行文字：“這年賈政又點了學差，擇于八月 二十起身”注意，這兩行是承前啟后文字，其中的日期可以不必寫的如此準確，可用“這日”一類的簡單記述。這里似乎又別有用意了。在第 42回的開端處，尤以小段文字是對前幾回歡唱而豪放場面的收斂，卻借著查看崇書之機說出：“八月二十五日，病者在東南方得遇花神”。請注意，此處十分自然而巧妙地設計出又一個確鑿日期。在第 3741回的 5回里，大約有四萬字的篇幅，只管大書特書如何歡呼如何盛宴，再看不到任何月日的記述。不過在關鍵時刻都能找到“這日”或“次日”等字眼，使得 8月 20日至 8月 25日的活動安排井然有序。然而作者仍舊未進 行，還在第 38回中，暗筆點明這一天正是 8月 23日，記述了大觀園里吟詩作樂歡天喜地的盛況，濃墨林黛玉菊花詩奪魁，淡抹薛寶釵螃蟹詠諷和。后半回看似累贅（有文學家這樣認為），好像是給薛寶釵一個安慰賽，實則是有難言之隱，看看她的稱冠的“螃蟹詠”吧： 桂靄桐陰坐舉觴，長安涎口盼重陽。 眼前道路無經緯，皮里春秋空黑黃。 酒未敵醒還用菊，性防積冷定須姜。 于今落斧成何益？月浦空余禾黍香。 書中還明白寫道，在看了“眼前道路無經緯，皮里春秋空黑黃”之后，“眾人不禁叫絕”“寫的痛快！”?？赐耆姾?，“都說這是食螃蟹絕唱，這些小 題目，原要寓大意才算是人才，只是諷刺世人太毒了些?！弊髡咄纯炝芾斓亓R出了心里話，橫行霸道詭計多端者，終究逃脫不了落入湯鍋的下場。結合前文的敘述，所罵何人不言而明。 很明顯，這樣的例證屬于陳維昭所說的“既不能直接形成定論，而無論通過如何縝密的邏輯推理，最終依然不能間接形成定論”。但即使是問到曹雪芹本人，恐怕情況的不同答案也會不同的。如此說來，對這一結論無話可說了嗎？不是的，這時恰好可用概論來分析兩種可能性大小的差別，如 經濟或實驗中獲取的知識中的不確定性的度量”。這不僅僅是估算兩個概率 大小的問題，更重要的是一種方法論，帶有“哲學、邏輯和實踐的問題”。這里將要論述的對“不確定性的度量”，也是來源于公眾生活的實踐。對概率不熟悉的人也許會看不懂我在這里的敘述，下面我就用一個簡單的例子闡述我的原理。 想必大家都玩過撲克牌，那我們都知道在每局開始之前都要先洗牌再抓牌。若某人第一手抓牌時，無意之中發現他抓到的是一張大王牌，于是牌友之間對他是否作弊可能產生爭執。通常分為三種：其一，有人看到了他作弊的動作，他會受到批評；其二。洗牌的動作是對方完成的，他沒有作弊的可能，當然也就不應當受到為難；其三，他自己 洗牌，又第一個抓牌，不能排除作弊的可能性。此時，大家也會有共識，即重新洗牌，而且要按標準程序操作。 在這樣的了結方案中，對于前兩種情況我們是很容易理解的。對于第三種情況的共識心態，應當進行思索和解釋，這恰好與概率有關系。首先注意，某人未作弊而又第一手抓到大王牌是可能的。這種可能性的大小也是可以計算的。每副撲克牌的張數為 54，按照第一節的論述，此可能性是 1/54，或者說概率是 =1/54=容易看出這種概率是非常小的。相反，若是有人呢作弊，那么它的概率就不再是 1/54，是多少那就取決于 作弊人水平的高低了。對于高手，可能近乎于 100%。而此時我們只討論 100%的情況，不僅僅因為這種情況容易討論，而且在后文的應用只與此情況有關。那么我們現在就用概率的方法解釋第三種情況的共識心態。 我們先想一下前述的第三種情況：某人自己洗牌，又第一手抓牌，又抓到了一張大王牌。此時產生對某人是否作弊的爭論，源于他既有可能作弊，也有可能沒作弊，這都和情況不沖突。顯然，只承認存在作弊的可能性，不足以了結此番爭論。就某人自己而言，他應當知道是否作弊了。但就某種意義而言，他是受害者，他的陳述算不得數。對于牌友而言，他們 一致認為：不作弊而又一手抓到大王牌的概率是 =1/54=；如果作弊則可以確保抓到大王牌。換言之也就是說，若牌友堅持他作弊的說法則冤枉他的概率是 即“某人作弊”之說不真的概率為 那么為真的概率是 100% 。我們看到真與不真的概率相差甚遠，那么最終就會以包括某人在內的多數人都要求重新洗牌，而且按照標準程序操作了結。其實也就暗含了相信以及接受“某人作弊”的說法，使用“共識”一詞只是為了達到緩和氣氛的目的。 相信很多人已經明白了，上述所說的玩撲克 牌的例子就與暗罵雍正之事有類似之處?？醇t樓夢懷疑作者暗罵雍正與玩牌時懷疑某人作弊才抓到大王牌，兩者在邏輯上是相同的。我們可以仿照計算“為作弊而又第一手抓到大王牌”的 概率算法，再注意到農歷的天數是 354，那么書中人數的歡暢與雍正死亡時間相同的巧合為 1/354（ ，那么非巧合的概率就是 353/354(,這比剛剛不作弊抓大王牌真假的概率相差還要大。相反，如果不是作者故意而為之，那么就與洗牌作弊的道理相似，雖然能想到用如此高妙的手法不容易，但成功率卻是 100%。曹雪芹先生 有宣泄的動機有知道雍正死亡的時間，這就類似于玩撲克“自己洗牌又第一手抓牌”的情況，故無法排除作者故意所為的可能性，除非紅樓夢在雍正死之前就已經問世，那么這樣自然不會有人懷疑其中暗罵雍正之事，這與“他人洗牌”的情況相類似。 至此，按照“歸納概率推理”的思考結果是：在“可能”與“不可能”的兩種觀點中，曹雪芹在紅樓夢中有暗喜雍正歸天的看法，具有最大的概率，而且與相反看法“為真”概率的差別是懸殊的。 看到此，我們是否要為概率歡呼？是否在心中暗暗驚嘆，如此博大精深的紅樓夢竟然也要用到概率論的知識？其實概率 論的有趣不僅僅體現在紅樓夢的這幾回中，后面亦有用到。我們這里所討論到的還只是九牛一毛，僅介紹這一處，希望有興趣人士可以自行閱讀。 其實概率的有趣又豈是幾頁紙，幾句話就能概括的。眾所周知的中國古算解趣一書中也只是涵蓋了比較廣為流傳的有趣數學題，譬如“三翁垂釣”、“五猴分桃”等等諸如此類的題目。要想更加深入的體會到概率的有趣還需要多加鉆研，由于篇幅有限，上述論文僅以典型例子解說。若有不妥之處還望諒解。 參考文獻 1孫榮恒 北京 ,科學出版社 (第六版 ),2009年 9月 . 2安鴻志 率 科學出版社 ,2009年 1月 . 3田錚 ,秦超英等 北京 ,科學出版社 ,2007年 4月 . 4朱秀娟 ,洪再吉 50題 湖南科學技術出版社 ,1981年 . 5統計與真理 科學出版社 ,2004. 6復旦大學 北京 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